非正選周期電路

1、8.1 換路定律與初始條件換路定律與初始條件 8.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng) 8.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 8.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)8.5 一階電路的三要素法一階電路的三要素法第第8章章 動(dòng)態(tài)電路的過渡過程動(dòng)態(tài)電路的過渡過程8.1 換路定律與初始條件換路定律與初始條件 8.1.1 過渡過程的概念過渡過程的概念SUsCLRL1L2L3圖 8.1 過渡過程演示電路圖 在電路理論中, 通常把電路狀態(tài)的改變（如通電、斷電、短路、電信號(hào)突變、電路參數(shù)的變化等）, 統(tǒng)稱為換路。 換路是外因, 電路中有儲(chǔ)能元件（也叫動(dòng)態(tài)元件）是內(nèi)因。 8.1.2 換路定

2、律換路定律 1. 具有電感的電路具有電感的電路 )0()0(LLii2. 具有電容的電路具有電容的電路 )0()0(CCuu 8.1.3 初始值的計(jì)算初始值的計(jì)算 換路后的最初一瞬間（即t=0+時(shí)刻）的電流、電壓值, 統(tǒng)稱為初始值。 SUsCuCiCR1i1R2i2(a)UsCuC (0)iC (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b) 例例8.1 圖8.2（a）所示電路中, 已知Us=12V, R1=4k, R2=8k, C=1F, 開關(guān)S原來處于斷開狀態(tài), 電容上電壓uC(0-)=0。求開關(guān)S閉合后, t=0+時(shí), 各電流及電容電壓的數(shù)值。 圖 8.2 例 8.1電路圖(a) 電原理圖；

3、 (b) t=0+時(shí)的等效電路 解解 選定有關(guān)參考方向如圖所示。 (1) 由已知條件可知: uC(0-)=0。 (2) 由換路定律可知: uC(0+)=uC(0-)=0。 (3) 求其它各電流、電壓的初始值。畫出t=0+時(shí)刻的等效電路, 如圖8.1（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有mARUiRRuisC310412)0(, 00)0()0(311222由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。 例例8.2 如圖8.3（a）所示電路, 已知Us=10V, R1=6, R2=4, L=2mH, 開關(guān)S原處于斷開狀態(tài)。求開關(guān)S閉合后t=

4、0+時(shí), 各電流及電感電壓uL的數(shù)值。 SUsi3R1i1R2i2(a)Usi3 (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b)iL (0) =1 AuL (0)LuL圖8.3 例 8.2 電路圖(a) 電原理圖； (b) t=0+時(shí)的等效電路 解解 選定有關(guān)參考方向如圖所示。 (1) 求t=0-時(shí)電感電流iL(0-)。 由原電路已知條件得0)0(14610)0()0()0(32121iARRUiiisL(2) 求t=0+時(shí)iL(0+)。由換路定律知AiiLL1)0()0( (3) 求其它各電壓、電流的初始值。畫出t=0+時(shí)的等效電路如圖8.3（b）所示。由于S閉合, R2被短路, 則R2兩端電

5、壓為零, 故i2(0+)=0。 由KCL有 Aiiii1)0()0()0()0(1213由KVL有 VRiUUuRiUsLLs46110)0()0()0()0(1111 例例8.3 如圖8.4（a）所示電路, 已知Us=12V, R1=4, R2=8, R3=4, uC（0-）=0, iL（0-）=0, 當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合。 求當(dāng)開關(guān)S閉合后, 各支路電流的初始值和電感上電壓的初始值。 SUsLuLiLR1iR2uCCiCR3UsuL (0)R1R2uC (0)CiC (0)R3i (0)iL (0)(a)(b) 圖8.4 例 8.3電路圖 (a) 電原理圖； (b) t=0+時(shí)的等效電路

6、解解 (1) 由已知條件可得由已知條件可得0)0(,0)0(LCiu(2) 求求t=0+時(shí)時(shí), uC(0+)和和iL（0+）的值。）的值。由換路定律知 0)0()0(,0)0()0(LLCCiiuu（3） 求其它各電壓電流的初始值。求其它各電壓電流的初始值。 VRiuARRUiiCLsC881)0()0(18412)0()0(2218.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路稱為一階電路。 8.2.1 RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 圖8.7 一階RC電路的零輸入響應(yīng)(a) 電路圖； (b) 換路瞬間等效電路 根據(jù)KVL, uR=uC=Ri, 而i=-

7、C(duC/dt)(式中負(fù)號(hào)表明iC與uC的參考方向相反)。將i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得RCtptCptptptptCCAeAeuRCpRCpAeRCpAeRCpAeAeuucdtduRC1010)1(00由換路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即將A=U0代入式（8.6）, 得.000AAeAeURCRCtCeUu0RCCeRURui10 的數(shù)值大小反映了電路過渡過程的快慢, 故把叫RC電路的時(shí)間常數(shù)。 圖 8.8 一階 RC電路的零輸入響應(yīng)波形 (a) uC波形； (b) i波形 表表8.1 電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律 ti0e0

8、=1 2 3 4 5 00te368. 01e135. 02e050. 03e018. 04e007. 05eeCu0U0368. 0U0135. 0U0050. 0U0018. 0U0007. 0URU0RU0368. 0RU0135. 0RU0050. 0RU0018. 0RU0007. 0 例例8.4 供電局向某一企業(yè)供電電壓為kV, 在切斷電源瞬間, 電網(wǎng)上遺留有 的電壓。已知送電線路長L=30km, 電網(wǎng)對(duì)地絕緣電阻為500M, 電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008 F/km, 求 (1) 拉閘后1分鐘, 電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少？ (2) 拉閘后10分鐘, 電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多

9、少？ 解解 電網(wǎng)拉閘后, 儲(chǔ)存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對(duì)地絕緣電阻放電, 這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問題。 由題意知, 長30 km的電網(wǎng)總電容量為KV210FFLCC70104 . 224. 030008. 0tCeUtukVUsRCMR00788)(210120104 . 2105105500VesukVVesuCC3 .9510210)600(6 . 8857610210)60(1206003120603放電電阻為時(shí)間常數(shù)為 電容上初始電壓為 在電容放電過程中, 電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為 故8.2.2 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) SuRUsR1ARLuLi

10、L圖 8.9 一階RL電路的零輸入響應(yīng) 由KVL得0LRuu而uR=iLR, uL=L(diL/dt)。故 tLLtLRtLLLLIdtdiLuIRiueIiidtdiRLdtdiLRiReRe00000或0I0iLt(a)0I0RuRt(b)0 I0RuLt(c)圖 8.10 一階RL電路的零輸入響應(yīng)波形 (1) 一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化而衰減到零的。 (2) 零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時(shí)間常數(shù)。 8.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 若在一階電路中, 換路前儲(chǔ)能元件沒有儲(chǔ)能, 即uC（0-）, iL（0-）都為零, 此情況下由外加激勵(lì)而引起的響應(yīng)

11、叫做零狀態(tài)響應(yīng)。 8.3.1 RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuRuCCiRUs圖 8.12 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 由KVL有 sCRUuu 將各元件的伏安關(guān)系uR=iR和 代入式(8.11)得dtduCiCsCCUudtduRCtCsCCCCAeuUuuuu（8.11）(8.12)(8.13)(8.14)(8.15)上式中=RC。 將式（8.14）、（8.15）代入式（8.13）, 得tsCCCAeUuuu0)0()0(CCuussssUAAUAeUAeU000于是tssCeUUu式中, Us為電容充電電壓的最大值, 稱為穩(wěn)態(tài)分量或強(qiáng)迫分量。 是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的分量，稱

12、為暫態(tài)分量或自由分量。 tseU)1 (tsCeUuttsRCsRCtssCeIeRUeURCCeUUdtdCdtduCi01)(1)(tstsReUReRUiRu。 圖 8.13 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線 0uRtUsuRiUsR0uCtUs(a)(b)i 例例8.5 如圖8.14(a）所示電路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 電容事先未充電, 在t=0時(shí)合上開關(guān)S。求 (1） 時(shí)間常數(shù); （2） 最大充電電流; （3） uC, uR和i的表達(dá)式; （4） 作uC , uR和i隨時(shí)間的變化曲線; （5） 開關(guān)合上后1ms時(shí)的uC, uR和i的值。 解解 （1） 時(shí)間常數(shù)s

13、sRC20010210120046（2） 最大充電電流 ARUis1 . 1200220max（3） uC, uR, i的表達(dá)式為AeeeRUiVeeUuVeeeUutttsttsRtttsC33341051051051021 . 1200220220)1 (200)1 (200)1 ( （4） 畫出uC, uR, i的曲線如圖8.14(b)所示。 SuRuCCiR0i /At220 VuRiUs(a)(b)uC1.1 AuC uR /V，圖 8.14 例8.5 圖 （5） 當(dāng) 時(shí)smst3101AeiVeuVeeuRC0077. 0007. 01 . 11 . 15 . 1007. 0220

14、2205 .218)007. 01 (220)1 (220)1 (22033333310105101055101058.3.2 RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuLiLRUsLAuR.圖8.15 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)電路 由KVL有: uR+uL=Us。根據(jù)元件的伏安關(guān)系得sLUdtdiLRi即 RUidtdiRLsLLtsLAeRUi0)0(ARUAeRUistsL(8.22) 即 RUAs將A=-Us/R 代入式(8.22), 得)1 (ttssLeIeRURUi式中, I=Us/R。 求得電感上電壓為tststtLeUeRULRLIeLeIdtdLdtdiLu1)1 (

15、)1 ()1 (tstLReUeRIRiu0iLt(a)0tuR(b)uLUsUsRuLuR，圖8.16 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)波形 例例8.5 如圖8.14(a）所示電路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 電容事先未充電, 在t=0時(shí)合上開關(guān)S。 求 (1） 時(shí)間常數(shù); （2） 最大充電電流; （3） uC, uR和i的表達(dá)式; （4） 作uC , uR和i隨時(shí)間的變化曲線; （5）開關(guān)合上后 1 ms時(shí)的uC, uR和i的值。 解解 （1） 時(shí)間常數(shù)ssRC20010210120046（2） 最大充電電流ARUis1 . 1200220max（3） uC, uR, i的表達(dá)

16、式為 AeeeRUiVeeUuVeteeUuttstsRttsCtt33310510510541 . 1200220220)1 (220)1021 (220)1 (（4） 畫出uC、 uR、 i的曲線如圖8.14(b)所示。 SuRuCCiR0i /At220 VuRi(a)uC1.1 AuC uR /V，圖 8.14 例8.5 圖 （b）（5） 當(dāng)t=1ms=10-3s 時(shí)AeeeRUiVeuVeeuttsRCt33333105101055101051 . 12002205 . 1007. 02202205 .218)007. 01 (220)1 (220)1 (2208.3.2 RL串聯(lián)電

17、路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuLiLRUsLAuR.圖8.15 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)電路 由KVL有: uR+uL=Us。 根據(jù)元件的伏安關(guān)系得sLLUdtdiLRi即 RUidtdiRLsLLtsLAeRUi0)0(ARUAeRUistsL(8.22)SuLiLRUsLAuR.即 RUAs將A=-Us/R 代入式(8.22), 得 )1 (t-tssLeIeRURUi式中,I=Us/R。 求得電感上電壓為 )1 ()1 (1)1 (ttttteUeRIRiueUeRULRLIeLeIdtdLdtdiLusLRsstLL0iLt(a)0tuR(b)uLUsUsRuLuR，圖8.16

18、 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)波形 例例8.6 圖8.17所示電路為一直流發(fā)電機(jī)電路簡圖, 已知?jiǎng)?lì)磁電阻R=20, 勵(lì)磁電感L=20H, 外加電壓為Us=200V, 試求 （1）當(dāng)S閉合后, 勵(lì)磁電流的變化規(guī)律和達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間; (2) 如果將電源電壓提高到250V, 求勵(lì)磁電流達(dá)到額定值的時(shí)間。 SiLRUsLG圖8.17 例8.6圖 解解 (1） 這是一個(gè)RL零狀態(tài)響應(yīng)的問題, 由RL串聯(lián)電路的分析知: )1 (tsLeRUi式中Us=200 V, R=20 , =L/R=20/20=1s, 所以AeeittL)1 (10)1 (20200 一般認(rèn)為當(dāng)t=（35）時(shí)過渡過程基本結(jié)束, 取t

19、=5, 則合上開關(guān)S后, 電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間為5秒。 （2） 由上述計(jì)算知使勵(lì)磁電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要5秒鐘時(shí)間。 steeetittt6 . 1)1 (5 .1210)1 (5 .12)1 (20250)(0iL/At/s1012.51.65圖8.18 強(qiáng)迫勵(lì)磁法的勵(lì)磁電流波形 8.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng) 當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí), 電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)叫做一階電路的全響應(yīng)。SiuCRUsUot = 0圖 8.19 一階RC電路的全響應(yīng) 由KVL有sCCsCRUudtduRCUuu或RCtsCCCAeUuuu 由初始條件:uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入上式有

20、U0=Us+A, 即A=U0-Us。所以, 電容上電壓的表達(dá)式為 t-0)(eUUUussC 由式（8.26）可見, Us為電路的穩(wěn)態(tài)分量, 為電路的暫態(tài)分量, 即全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量tseUU)(0(8.26)有三種情況: (a) U0Us 0uCtUsU0U0 Us穩(wěn)態(tài)分量全響應(yīng)暫態(tài)分量uCt全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量0uCt全響應(yīng)0U0=Us穩(wěn)態(tài)分量U0 UsU0Us暫態(tài)分量圖 8.20 一階RC電路全響應(yīng)曲線 電路中的電流為 tsCeRUUdtduCi0ttsCeUeUu0)1 ( 上式中 是電容初始值電壓為零時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng), 是電容初始值電壓為U0時(shí)的零輸入響應(yīng)。 故又有 )1 (tse

21、UteU0全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng) ReUeRUist-0t-(8.27) 例例8.7 圖8.21所示電路中, 開關(guān)S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。 設(shè)已知Us=20V, R1=R2=1k, C=1F。求開關(guān)打開后, uC和iC的解析式, 并畫出其曲線。 SR2Ci1iCR1t = 0UsuCi2圖8.21 例 8.7圖 解解 選定各電流電壓的參考方向如圖所示。因?yàn)閾Q路前電容上電流iC（0-）=0, 故有 mAARRUiis101010101020)0()0(3332121換路前電容上電壓為 VRiuC101011010)0()0(3322即 U0=10V。 SR2Ci1iCR1t = 0UsuC

22、i2 由于UoUs, 所以換路后電容將繼續(xù)充電, 其充電時(shí)間常數(shù)為 mssCR1101011013631將上述數(shù)據(jù)代入式(8.26) , (8.27), 得33101001000010001000()20(1020)20 1020 1010000.0110ttttCsstsCttuUUU eeeVUUieeReAemASR2Ci1iCR1t = 0UsuCi2uC , iC隨時(shí)間的變化曲線如圖8.22所示。 0uC / V20(a)1012430iC / mA(b)101243t / ms t / ms圖8.22 例8.7 uC、iC隨時(shí)間變化曲線 例例8.8 如圖8.23(a)所示電路, 已

23、知Us=100V, R0=150, R=50, L=2H, 在開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài), t=0時(shí)將開關(guān)S閉合, 求開關(guān)閉合后電流i和電壓UL的變化規(guī)律。 UsR0RLi (0) = IouLS(a)LuLR i (0) = 0LuLR(b)(c)Usi圖8.23 例8.8圖(a) 電路圖； (b) 零輸入； (c) 零狀態(tài) 解法解法1 全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量開關(guān)S 閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài), 故有0)0(5 . 0150150100)0(00LsuARRUIi當(dāng)開關(guān)S 閉合后, R0被短路, 其時(shí)間常數(shù)為ARUisRLs25010004. 0502電流的穩(wěn)態(tài)分量為 tTAeAei25電流的

24、暫態(tài)分量為全響應(yīng)為tAeiiti252)(由初始條件和換路定律知 Aii5 . 0)0()0(02525 . 0ttAeVeedtddtdiLuAetiAAttLt25252575)5 . 12(25 . 12)(5 . 1,25 . 0故即所以 解法解法2 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 電流的零輸入響應(yīng)如圖8.23 (b)所示, i(0+)=I0=0.5A。于是AeeIitt2505 . 0電流的零狀態(tài)響應(yīng)如圖8.23 (c)所示, i(0+)=0。所以 AeeRUitts2522)1 (全響應(yīng) VeedtddtdiLuAeeeiiittLttt252525252575)5 . 12(25

25、 . 12225 . 08.5 一階電路的三要素法一階電路的三要素法 穩(wěn)態(tài)值, 初始值和時(shí)間常數(shù), 我們稱這三個(gè)量為一階電路的三要素, 由三要素可以直接寫出一階電路過渡過程的解。 此方法叫三要素法。 設(shè) f（0+）表示電壓或電流的初始值，f（）表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值,表示電路的時(shí)間常數(shù), f（t）表示要求解的電壓或電流。這樣, 電路的全響應(yīng)表達(dá)式為teffftf)()0()()(（8.30）表表 8.2 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表 名 稱微分方程之解三要素表示法RC電路的零輸入響應(yīng) 直流激勵(lì)下RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)teRUiRCeUutC00)(teR

26、UieeUustsC)1 (teftf)0()(tteftfeftf)0()()1)()(名 稱微分方程之解三要素表示法直流激勵(lì)下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) RL電路的零輸入響應(yīng)一階RC電路的全響應(yīng) 表表8.2 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表 tsLteUuRLeIi)(1 (tLteRIueIi00tstssCeRUUieUUUu00)(teftfeftft)0()()1)()(teftf)0()(tteftfeffftf)0()()()0()()( 下面歸納出用三要素法解題的一般步驟: (1) 畫出換路前（t=0-）的等效電路。求出電容電壓uC（0-）或電感

27、電流iL(0-)。 (2) 根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 畫出換路瞬間（t=0+）時(shí)的等效電路, 求出響應(yīng)電流或電壓的初始值i(0+)或u(0+), 即f(0+)。 (3) 畫出t=時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路（穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路, 電感相當(dāng)于短路）, 求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值 i()或u(), 即f()。 (4) 求出電路的時(shí)間常數(shù)。=RC或L/R, 其中R值是換路后斷開儲(chǔ)能元件C或L, 由儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去, 用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。 (5) 根據(jù)所求得的三要素, 代入式(8.30)即可得響應(yīng)電流或電壓的動(dòng)態(tài)過程表達(dá)式。 例例 8.9

28、如圖8.26（a）所示電路, 已知R1=100, R2=400, C=125F, Us=200V, 在換路前電容有電壓uC(0-)=50V。求S閉合后電容電壓和電流的變化規(guī)律。 解解 用三要素法求解: (1) 畫t=0- 時(shí)的等效電路，如圖8.26(b)所示。由題意已知uC(0-)=50V。 (2) 畫t=0+時(shí)的等效電路, 如圖8.26 (c)所示。由換路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。 (3) 畫t=時(shí)的等效電路, 如圖8.26(d)所示。 VRRRUusC160400400100200)(221(4) 求電路時(shí)間常數(shù) sCRRRRRR01. 01012580804001004001006021210(5) 由公式(8.30)得 VeeeuuututttCCCC10001. 0110160)16050(160)()0()()(AedttduCtitCC100375. 1)()(UsR1R2CuC(a)iCSUsR1R2(b)iC (0)uC (0) = 50 VUsR1R2(c)iC (0)uC (0) = 50 VUsR1R2(d)i ()uC() 圖 8.26 例 8.9圖 例8.9波形圖 例