西工大、西交大自動(dòng)控制原理 第八章 非線性系統(tǒng)_03_描述函數(shù)法_1描述函數(shù)

1、一、概述一、概述用途：用途：分析分析非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的的穩(wěn)定性穩(wěn)定性及及自振自振問題問題性質(zhì)：性質(zhì)：分析分析非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的一種的一種近似近似方法方法原理：原理：基于基于頻域分析頻域分析的一種方法的一種方法線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論中中頻率特性頻率特性在在一定假設(shè)條件下一定假設(shè)條件下在在非線非線性系統(tǒng)性系統(tǒng)中的中的推廣推廣應(yīng)用應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對任何階次的非線性系統(tǒng)都能提供穩(wěn)定性和自振蕩對任何階次的非線性系統(tǒng)都能提供穩(wěn)定性和自振蕩的信息的信息基本思想：基本思想：用用穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出信號中信號中基波分量基波分量代替代替非線性元件非線性元件(環(huán)節(jié)環(huán)節(jié))在在正弦信號輸入正弦信號輸入信號作用下的

2、信號作用下的實(shí)際輸出實(shí)際輸出實(shí)際輸出：實(shí)際輸出：非正弦的周期函數(shù)，可展開成傅立葉級數(shù)非正弦的周期函數(shù)，可展開成傅立葉級數(shù)限制：限制：對非線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性不能提供確切信息對非線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性不能提供確切信息一、概述一、概述當(dāng)非線性特性元件當(dāng)非線性特性元件(環(huán)節(jié)環(huán)節(jié))的輸入信號為的輸入信號為正弦函數(shù)正弦函數(shù)時(shí)時(shí)其輸出一般為與輸入信號其輸出一般為與輸入信號同周期同周期的的非非正弦函數(shù)正弦函數(shù) 非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié))(tx)(ty二、非線性特性的描述函數(shù)二、非線性特性的描述函數(shù)1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義例：例：設(shè)輸入為正弦函數(shù)，設(shè)輸入為正弦函數(shù)，在線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)兩種情況下的輸出。在線

3、性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)兩種情況下的輸出。tAtx sin)( ：直流分量：直流分量對一般奇對稱非線性特性有：對一般奇對稱非線性特性有： 10)sincos()(nnntnBtnAAty 10)sin(nnntnYA 0A00 A 20)(cos)(1ttdntyAn 20)(sin)(1ttdntyBn22nnnBAY )(1nnnBAtg 設(shè)其輸入為正弦函數(shù)，即：設(shè)其輸入為正弦函數(shù)，即：則其輸出則其輸出 為非正弦周期函數(shù)，為非正弦周期函數(shù)，對非正弦周期函數(shù)對非正弦周期函數(shù) ，可以展開成傅立葉級數(shù)：，可以展開成傅立葉級數(shù)：tAtx sin)( )(ty)(ty1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義)sin

4、(sincos)(11111 tYtBtAty基波分量：基波分量：頻率與輸入正弦信號相同頻率與輸入正弦信號相同高次諧波分量：頻率愈高，振幅越小高次諧波分量：頻率愈高，振幅越小1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義忽略各高次諧波分量，只用基波分量近似代替實(shí)際輸出，則忽略各高次諧波分量，只用基波分量近似代替實(shí)際輸出，則)sin()()(111 tYtyty非線性元件非線性元件(環(huán)節(jié)環(huán)節(jié))在正弦輸入作用下其輸出也在正弦輸入作用下其輸出也(近似近似)為為與輸入同頻率的正弦量。與輸入同頻率的正弦量。條件：條件：與基波分量相比，各高次諧波振幅很小，可忽略與基波分量相比，各高次諧波振幅很小，可忽略諧波線性化方法諧波

5、線性化方法1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義非線性元件非線性元件(環(huán)節(jié)環(huán)節(jié))的的描述函數(shù)定義描述函數(shù)定義：11)( jeAYAN 非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)諧波線性化諧波線性化近似線性環(huán)節(jié)近似線性環(huán)節(jié)線性環(huán)節(jié)頻率特性線性環(huán)節(jié)頻率特性非線性環(huán)節(jié)幅相特性非線性環(huán)節(jié)幅相特性1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義A描述函數(shù)描述函數(shù)11)( jeAYAN 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意又稱為：非線性環(huán)節(jié)的又稱為：非線性環(huán)節(jié)的復(fù)數(shù)放大系數(shù)復(fù)數(shù)放大系數(shù)或：非線性環(huán)節(jié)的或：非線性環(huán)節(jié)的幅相特性幅相特性為一為一復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)B：描述函數(shù)：描述函數(shù) 與與線性環(huán)節(jié)的頻率特性線性環(huán)節(jié)的頻率特性不同不同一般只是輸入信號一般只是輸入信號振幅振幅 的函數(shù)的函數(shù)

6、而與輸入信號的而與輸入信號的頻率頻率 無關(guān)無關(guān)。)(AN)(AN)( jG A1、描述函數(shù)定義、描述函數(shù)定義tAtx sin)( )sin(sincos)(11111 tYtBtAty2、非線性特性描述函數(shù)的求法、非線性特性描述函數(shù)的求法根據(jù)描述函數(shù)定義求根據(jù)描述函數(shù)定義求正弦輸入信號正弦輸入信號穩(wěn)態(tài)輸出信號基波分量：穩(wěn)態(tài)輸出信號基波分量： 201)(sin)(1ttdtyB21211BAY )(1111BAtg 201)(cos)(1ttdtyAAAjABeAYANj1111)( )(/1AN )(/1ANA)(/1AN 負(fù)倒特性負(fù)倒特性描述函數(shù)的描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)負(fù)倒數(shù)負(fù)倒特性曲線負(fù)倒特性曲

7、線負(fù)倒特性負(fù)倒特性 隨隨 變化的變化的軌跡軌跡仍為一仍為一復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)描述函數(shù)的負(fù)倒特性描述函數(shù)的負(fù)倒特性2、非線性特性描述函數(shù)的求法、非線性特性描述函數(shù)的求法根據(jù)描述函數(shù)定義求根據(jù)描述函數(shù)定義求則：則：34121)(xxxy tAtx sin)( 3)sin(41sin21)(tAtAty 0)sin(41sin2121)(21203200 tdtAtAtdtyA例例1 設(shè)非線性元件的特性為設(shè)非線性元件的特性為試計(jì)算其描述函數(shù)。試計(jì)算其描述函數(shù)。解：解：由定義：由定義：2、非線性特性描述函數(shù)的求法、非線性特性描述函數(shù)的求法根據(jù)描述函數(shù)定義求根據(jù)描述函數(shù)定義求0cos)sin(41sin2121c

8、os)(1203201 ttdtAtAttdtyA33204320220320116322834424sin41sin214sin)sin(41sin211sin)(1AAAAttdAttdAttdtAtAttdtyB 例例121116321)(AAjABAN xy)(ANA123361234245故：該非線性元件的描述函數(shù)為故：該非線性元件的描述函數(shù)為例例1二、應(yīng)用描述函數(shù)法的基本假設(shè)條件二、應(yīng)用描述函數(shù)法的基本假設(shè)條件基本條件：基本條件：非線性環(huán)節(jié)正弦輸入的響應(yīng)輸出非線性環(huán)節(jié)正弦輸入的響應(yīng)輸出高次諧波可忽略高次諧波可忽略基本條件基本條件成立的條件成立的條件：A經(jīng)結(jié)構(gòu)圖經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換等效變

9、換，非線性系統(tǒng)可簡化成如下，非線性系統(tǒng)可簡化成如下典型結(jié)構(gòu)典型結(jié)構(gòu)非線性部分非線性部分 )(AN 線性部分線性部分 )( jG)(te)(tr)(tx)(tc無法簡化無法簡化成該典型結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)成該典型結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)不能使用不能使用描述函數(shù)法描述函數(shù)法基本條件：基本條件：非線性環(huán)節(jié)正弦輸入的響應(yīng)輸出非線性環(huán)節(jié)正弦輸入的響應(yīng)輸出高次諧波可忽略高次諧波可忽略基本條件基本條件成立的條件成立的條件：B非線性部分非線性部分正弦響應(yīng)輸出中的基波分量以外的各正弦響應(yīng)輸出中的基波分量以外的各 高次諧波分量振幅要小高次諧波分量振幅要小C線性部分線性部分低通濾波低通濾波性能較性能較好好（高次諧波被衰減）（高

10、次諧波被衰減）二、應(yīng)用描述函數(shù)法的基本假設(shè)條件二、應(yīng)用描述函數(shù)法的基本假設(shè)條件三、非線性系統(tǒng)等效變換三、非線性系統(tǒng)等效變換經(jīng)結(jié)構(gòu)圖經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換等效變換，非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成如下，非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成如下典型典型結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)非線性部分非線性部分 )(AN 線性部分線性部分 )( jG)(te)(tr)(tx)(tc條件：條件：0)( tr（1 1）等效變換為典型結(jié)構(gòu)形式）等效變換為典型結(jié)構(gòu)形式)(tx)(tr)(tc1G2G3GN)(tc1G2G3GN)(tx三、非線性系統(tǒng)等效變換三、非線性系統(tǒng)等效變換)(tc1G2G3GN)(tx)(tc21321GGGG N)(tx三、非線性系統(tǒng)等效變換三、非線

11、性系統(tǒng)等效變換并聯(lián)的等效非線性特性為兩個(gè)非線性特性的并聯(lián)的等效非線性特性為兩個(gè)非線性特性的疊加疊加w（2 2）非線性特性的并聯(lián)）非線性特性的并聯(lián)xK xM xK （3 3）非線性特性的串聯(lián)）非線性特性的串聯(lián)xxK 1x2K y兩個(gè)非線性特性串聯(lián)，可用圖解法簡化。1xyyxK 1xx1K1 1 1x2K2 yaa)(112 K)(112 aKa2a)()()(2112212 xKKxKxKy線性段內(nèi)線性段內(nèi)四、描述函數(shù)的物理意義四、描述函數(shù)的物理意義A反映了非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中反映了非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的一次諧波分量的幅值幅值 和和相位相位相對于輸入信號的變化。相對于輸入信號的變化。

12、B因?yàn)楹雎粤烁叽沃C波分量，僅考慮了基波分量，非因?yàn)楹雎粤烁叽沃C波分量，僅考慮了基波分量，非 線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器復(fù)數(shù)增益的放大器。tt)(te22exKaa11111sin Aa Aa11sin 五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))特性的描述函數(shù)特性的描述函數(shù) )(0)()sin()0(0)(1111 atAKtx00 A)(tx01 A 2/0201)(sin)(4)(sin)(1 ttdtxttdtxB由圖由圖死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))非線性特性非線性特性對稱對稱為為奇函數(shù)奇函數(shù))(1)(sin2

13、221AaAaAaKA 死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))特性的描述函數(shù)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))特性的描述函數(shù)特性的描述函數(shù)故得死區(qū)不靈敏區(qū)的故得死區(qū)不靈敏區(qū)的描述函數(shù)描述函數(shù))(1)(sin22)(211AaAaAaKABAN )(aA 死區(qū)特性描述函數(shù)的死區(qū)特性描述函數(shù)的負(fù)倒特性負(fù)倒特性121)(1)(sin22)(1 AaAaAaKAN 五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))特性的描述函數(shù)特性的描述函數(shù)負(fù)倒特性負(fù)倒特性121)(1)(sin22)(1 Aa

14、AaAaKAN aAA )(/10)(ANAN；KANKAN/1)(/1)( ； AaKANKAN/1)(/1)(0 ；當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)死區(qū)死區(qū)(不靈敏區(qū)不靈敏區(qū))特性的描述函數(shù)特性的描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線負(fù)倒特性曲線)(aA )(AAK/1j五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù) 2)()sin(002211 taKttAKtyxytytx2212A0120a死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù),arcsin,arcsin21AaA 由非線性特

15、性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可確定：由非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可確定：01 A)(ty為奇函數(shù)，有：為奇函數(shù)，有：00 A)(ty半周期內(nèi)對稱，有：半周期內(nèi)對稱，有：死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù) 220201221sin)(4sin)sin(4sin)(4sin)(1 ttdaKttdtAKttdtyttdtyB死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù))11arcsin(arcsin222 AAAaAaAAaKA 死區(qū)飽和特性的描述函數(shù)為：死區(qū)飽和特性的描述函數(shù)為：)11arcsin(arcsin2

16、)(221 AAAaAaAAaKABAN )(aA 五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)對于死區(qū)特性，對于死區(qū)特性， ， ，則其描述函數(shù)為：，則其描述函數(shù)為：)1(arcsin2)(21 AaAaAaKABAN aA 22 1 Aa)1arcsin2(2)(21 AAAKABAN A0當(dāng)當(dāng) 時(shí)，飽和特性的描述函數(shù)為時(shí)，飽和特性的描述函數(shù)為死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù) ttMty2211000 xytytx21212A0120mhMh死區(qū)滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)滯環(huán)繼電非線

17、性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù),arcsin,arcsin21AmhAh 221112sin221AhAmhMttdMB )1(2cos2211 mAMhttdMA 由非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可確定：由非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可確定：)(ty00 A為奇對稱函數(shù)，但非奇函數(shù)，有為奇對稱函數(shù)，但非奇函數(shù)，有因其在一個(gè)周期內(nèi)對稱：因其在一個(gè)周期內(nèi)對稱：死區(qū)滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù))1(2112)(222 mAMhjAhAmhAMAN )(hA AMAN 4)(

18、死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為0h當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可得理想繼電特性的描述函數(shù)時(shí)，可得理想繼電特性的描述函數(shù)死區(qū)滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)死區(qū)滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù))()()(21tytyty )()(11txfty )()(22txfty )(1AN)(2AN)()()(21ANANAN A若非線性特性是若非線性特性是單位函數(shù)單位函數(shù)，則其描述函數(shù)為，則其描述函數(shù)為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)； 若非線性特性是若非線性特性是多值函數(shù)多值函數(shù)，則其描述函數(shù)為，則其描述函數(shù)為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)；B若某非線性為若某非線性為則有則有非線性環(huán)節(jié)特性描述函數(shù)的特點(diǎn)非線性環(huán)節(jié)特性描述函數(shù)的特點(diǎn)五、典型非線性特性的描述函數(shù)五、典型非線性特性的描述函數(shù)bbKxeKAbAN 4)(1 KAN )(2KAbANANAN 4)()()(21非線性環(huán)節(jié)特性描述函數(shù)的特點(diǎn)非線性環(huán)節(jié)特性描述函數(shù)的特點(diǎn)例例 如圖的非線性特性是理想繼電特性和線性特性如圖的非線性特性是理想繼電特性和線性特性 之和。之和。理想繼電特性描述函數(shù)為：理想繼電特性描述函數(shù)為：線性特性的描述函數(shù)為：線性特