線面垂直習題精選

1、實用標準線面垂直的證明中的找線技巧u 通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直1 如圖1，在正方體中，為 的中點，AC交BD于點O，求證：平面MBD證明：連結(jié)MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 設正方體棱長為，則， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明u 利用面面垂直尋求線面垂直2 如圖2，是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BC平面PAC 證明：在平面PAC內(nèi)作ADPC交PC于D因為平面PAC平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性質(zhì)，得AD平面PB

2、C 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC （另外還可證BC分別與相交直線AD，AC垂直，從而得到BC平面PAC） 評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直線面垂直面面垂直這三者之間的關系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學們應

3、當學會靈活應用這些定理證明問題下面舉例說明3 如圖所示，ABCD為正方形，平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于求證：，證明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可證評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4 如圖，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD 證明：取AB的中點，連結(jié)CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD評注：本題在運用判定定理證明線面

4、垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復，直到證得結(jié)論5 如圖，是圓的直徑，是圓周上一點，平面ABC若AEPC ，為垂足，是PB上任意一點，求證：平面AEF平面PBC證明：AB是圓的直徑，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關系6. 空間四邊形ABCD中，若ABCD，BCAD，求證：ACBD 證明：過A作AO平面BCD于O

5、同理BCDO O為ABC的垂心 7. 證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 證明：連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影 8. 如圖，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證： . 證：取PD中點E，則 9如圖在ABC中， ADBC， ED=2AE， 過E作FGBC， 且將AFG沿FG折起，使A'ED=60°，求證:A'E平面A'BC分析： 弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關系和位置關系。解： FGBC，ADBCA'EFGA'EBC設A'E=a，則ED=2a由余弦定理得： A'

6、;D2=A'E2+ED2-2A'EEDcos60° =3a2ED2=A'D2+A'E2A'DA'EA'E平面A'BC10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ÐABC = 90°, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM分析: 要證ANBC, 轉(zhuǎn)證, BC平面SAB。要證SC平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉(zhuǎn)證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA

7、 = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60°，BPC=90 °求證：平面ABC平面PBC分析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點D，證明AD垂直平PBC即可證明：取BC中點D 連結(jié)AD、PD PA=PB；APB=60° PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a

8、 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC13 以AB為直徑的圓在平面內(nèi)，于A，C在圓上，連PB、PC過A作AEPB于E，AFPC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。解：面AEF例1 如圖939，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60°，BSC=90°，求證：平面ABC平面BSC【證明】SB=SA=SC，ASB=ASC=60°AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO， 則AOBC，SOBC，AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又B

9、SC=90°，BC=a，SO=a，AO2=AC2OC2=a2a2=a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90°，從而平面ABC平面BSC【評述】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角這也是證兩平面垂直的常用方法例2如圖940，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC圖940（1）求證：ABBC；（2）若設二面角SBCA為45°，SA=BC，求二面角ASCB的大?。?）【證明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影為SB，BCSB，又SASB=S，BC平

10、面SABBCAB（2）【解】SA平面ABC，平面SAB平面ABC，又平面SAB平面SBC，SBA為二面角SBCA的平面角，SBA=45°設SA=AB=BC=a，作AESC于E，連EH，則EHSC，AEH為二面角ASCB的平面角，而AH=a，AC=a，SC=a，AE=asinAEH=，二面角ASCB為60°【注】三垂線法是作二面角的平面角的常用方法例3如圖941，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求證：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD

11、，故PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45°（2）【證明】取PD中點E，連結(jié)EN，EA，則EN CD AM，四邊形ENMA是平行四邊形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，從而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN平面PCD較困難，轉(zhuǎn)化為證明AE平面PCD就較簡單了另外，在本題中，當AB的長度變化時，可求異面直線PC與AD所成角的范圍例4如圖942，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點圖942（1

12、）求證：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（1）【證明】M、N、E是中點，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，從而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF（2）【解】過N作NHEF于H，連結(jié)MHMN平面ENF，NH為MH在平面ENF內(nèi)的射影，由三垂線定理得MHEF，MHN是二面角MEFN的平面角在RtMNH中，求得MN=a，NH=a，tanMHN=，即二面角MEFN的平面角的正切值為例5在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形，側(cè)棱長為，E、F分別是AB1、CB1的中點，求證：平面D1EF平面AB1C【證明】如圖943，E、F分

13、別是AB1、CB1的中點，圖943EFACAB1=CB1，O為AC的中點B1OAC故B1OEF在RtB1BO中，BB1=，BO=1BB1O=30°，從而OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1為BO與EF的交點）D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1，B1O平面D1EF又B1O平面AB1C，平面D1EF平面AB1C1棱長都是2的直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，BAD=60°，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為_【解】過A1作A1GC1D1于G，由于該平行六面體是直平行六面體，A1G平面D1C，連結(jié)CG，A1CG即為A

14、1C與側(cè)面DCC1D1所成的角A1G= A1 D1 ·sinA1 D1 G=2sin60°=2·=而AC=A1C=，sinA1CG=【答案】2E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點，EF、BD相交于O，以EF為棱將正方形折成直二面角，則BOD=_【解析】設正方形的邊長為2a則DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2cosDOB=DOB=120°3如圖944，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱與底面成的角，側(cè)面ABB1A1垂直于底面，圖944（1）證明：B1CC1A（2）

15、求四棱錐BACC1A1的體積（1）【證明】過B1作B1OAB于O，面ABB1A1底面ABC，面B1O面ABC，B1BA是側(cè)棱與底面所成角，B1BA=，又各棱長均為2，O為AB的中點，連CO，則COAB，而OB1CO=O，AB平面B1OC，又B1C平面OB1C，B1CAB，連BC1，BCC1B1為邊長為2的菱形，B1CBC1，而ABBC1=B，B1C面ABC1A1C面ABC1B1CAC1（2）【解】在RtBB1O中，BB1=2，BO=1，B1O=，V柱=Sh=·4·=3，=V柱=1，=V柱=31=24如圖945，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，PA底面ABCD，E為

16、AB的中點，且PA=AB圖945（1）求證：平面PCE平面PCD；（2）求點A到平面PCE的距離（1）【證明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四邊形ABCD為矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA為二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜邊PD的中點F，則AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中點G，連GF、AG、EG，則GF CD又AE CD，GF AE四邊形AGEF為平行四邊形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面P

17、EC，平面PCD平面PEC，過F作FHPC于H，則FH平面PECFH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離在PFH與 PCD中，P為公共角，而FHP=CDP=90°，PFHPCD，設AD=2，PF=，PC=，F(xiàn)H=A到平面PEC的距離為5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，對角線AC=2，BD=2，E、F分別為棱CC1、BB1上的點，且滿足EC=BC=2FB圖946（1）求證：平面AEF平面A1ACC1；（2）求異面直線EF、A1C1所成角的余弦值（1）【證明】菱形對角線AC=2，BD=2BC=2，EC=2，F(xiàn)B=1，取AE中點M，連結(jié)MF，設BD與AC交于點

18、O，MO EC FB平面AEF平面ACC1A1（2）在AA1上取點N，使AN=2，連結(jié)NE，則NE ACA1C1故NEF為異面直線A1C1與EF所成的角，連結(jié)NF，在直角梯形NABF中易求得NF=，同理求得EF=在ENF中，cosNEF=，即EF與A1C1所成角的余弦值為 【解題指導】在證明兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直解決這類問題的關鍵是熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應用 【拓展練習】一、備選題1如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA平面ABC（1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面（1）【證明】C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，