圖像頻域處理的概述參考模板

1、摘要圖像的頻域處理是指根據(jù)一定的圖像模型，對圖像頻譜進行不同程度修改的技術(shù)。二維正交變換是圖像處理中常用的變換，其特點是變換結(jié)果的能量分布向低頻成份方向集中，圖像的邊緣、線條在高頻成份上得到反映，因此正交變換在圖像處理中得到廣泛運用。傅里葉作為一種典型的正交變換，在數(shù)學上有比較成熟和快速的處理方法。卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號處理中的重要地位應(yīng)用最廣。在用頻域方法進行卷積過程中尤其要注意傅里葉變換的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次課設(shè)將對此作詳細的介紹。關(guān)鍵字：頻域處理，二維傅里葉變換，卷積，周期延拓0 / 261 圖像頻域處理的概述圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇

2、烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變化劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。頻域處理是指根據(jù)一定的圖像模型，對圖像頻譜進行不同程度修改的技術(shù)，通常作如下假設(shè)：1)引起圖像質(zhì)量下降的噪聲占頻譜的高頻段；2)圖像邊緣占高頻段；3)圖像主體或灰度緩變區(qū)域占低頻段?；谶@些假設(shè)，可以在頻譜的各個頻段進行有選擇性的修改。為什么要在頻率域研究圖像增強 （1）可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強任務(wù)，在頻率域中變得非常普通。（2）濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空

3、間域濾波的某些性質(zhì)。 （3）可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域濾波器的指導。 （4）一旦通過頻率域試驗選擇了空間濾波，通常實施都在空間域進行。2 二維傅里葉變換由于圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。傅立葉變換在實際中的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函

4、數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。 2.1 二維連續(xù)傅里葉變換 如果二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則將有下面的傅立葉變換對存在：與一維傅立葉變換類似，二維傅立葉變換的傅立葉譜和相位譜為：2.2 二維離散傅里葉變換一個M×N大小的二維函數(shù)f(x,y)，其離散傅立葉變換對為 ：在數(shù)字圖像處理中，圖像一般取樣為方形矩陣，即N×N，則其傅立葉變換及其逆變換為 ：2.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 離散傅里葉變換主要有以下性質(zhì)：1. 平移性質(zhì) 2. 分配律 3. 尺度變換（縮放） 4. 旋轉(zhuǎn)性 5. 周期性和共軛對稱性 6. 平均值 7. 可分性 8

5、. 卷積 9. 相關(guān)性。這里主要簡述周期性，卷積相關(guān)內(nèi)容會在下一節(jié)中介紹。離散傅里葉變換有如下周期性性質(zhì)：反變換也是周期性的：頻譜也是關(guān)于原點對稱的：這些等式的有效性是建立在二維離散傅里葉變換公式基礎(chǔ)上的。圖像的周期性在圖像處理中有非常重要的作用，下面會在卷積部分繼續(xù)闡述周期性的相關(guān)內(nèi)容。3 卷積相關(guān)知識介紹卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號處理中的重要地位應(yīng)用最廣。共分二個定理：時域卷積定理；頻域卷積定理。3.1 時域卷積定理給定兩個時間函數(shù)已知： 則： 時域卷積 頻域相乘即兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積。3.2 頻域卷積定理給定兩個時間函數(shù)已知： 則：

6、頻域卷積 時域相乘。即兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個時間函數(shù)的乘積（乘以系數(shù)1/）。3.3周期延拓在卷積中的作用基于卷積理論，頻率域的乘法相當于空間域的卷積，反之亦然。當處理離散變量和傅里葉變換時，要記住不同函數(shù)所包含的周期性(4.6.1節(jié))。雖然可能不太直觀，但周期性是定義離散傅里葉變換對時產(chǎn)生的數(shù)學副產(chǎn)品。周期性是處理操作的一部分,不應(yīng)忽視。圖3.1列舉了周期性的重要性。圖3.1 左邊（ae）：兩個離散函數(shù)的卷積 右邊（fj）：相同函數(shù)的卷積，考慮DFT周期性的應(yīng)用。圖的左邊一列是用下式的一維形式計算的卷積：在此詳細地解釋卷積運算的過程。為簡化表示，簡單的數(shù)字將代替那些表示函數(shù)長度和高度

7、的通用符號。圖3.1(a)和(b)是兩個要進行卷積的函數(shù)。每個函數(shù)包含400個點。卷積的第一步是將一個函數(shù)關(guān)于原點進行鏡像映射(倒轉(zhuǎn))，在本例情況下，對第二個函數(shù)進行，在圖3.1(c)中以h(-m)示出。下一步是將h(-m)滑過f(m)。這要增加一個常數(shù)x到h(-m)，即變成h(x-m)，如圖3.1(d)所示。注意只有一個置換值。在第一次遇到時這個簡單步驟通常是引起混亂的根源。而這恰好是卷積計算的全部關(guān)鍵。換言之，為了執(zhí)行卷積，倒轉(zhuǎn)了一個函數(shù)，并將它滑過另一個函數(shù)。在每一個置換點(的每一個值)都要計算式的全部總和。這個總和不比在給定位移處f和h乘積的和更太。位移x的范圍為h完全滑過f需要的所有

8、值。圖3.1(e)顯示了h完全滑過f后的結(jié)果，并在x的每個點計算式。在此例中，為使h(x-m)完全滑過f,x值的范圍是從0到799。這幅圖是兩個函數(shù)的卷積。要清楚地記住卷積中的變量是x.從上面介紹的卷積理論可知，由F(u)H(u)的傅里葉反變換能得到同樣的準確結(jié)果。但是，從前面對周期性的討論又知離散傅里葉變換自動地將輸入函數(shù)周期化。換言之，采用DFT允許在頻率域進行卷積計算，但函數(shù)必須看做周期性的，且周期等于函數(shù)的長度?？梢酝ㄟ^圖3.1右邊一列考察這種隱含的周期性。圖3.1(f)同圖3.1(a)一樣，但同樣的函數(shù)在兩個方向上周期性地無限擴展(擴展部分用虛線表示)。從圖3.1(g)到圖3.1(i

9、)同樣應(yīng)用該擴展?，F(xiàn)在，可以通過將h(x-m)滑過f(m)進行卷積。如前面一樣，變化x完成滑動。然而，h(x-m)的周期性擴展產(chǎn)生了圖3.1左邊的計算中所沒有的值。例如，在圖3.1(i)中，當x=0時，看到h(x-m)右側(cè)第一個擴展周期的一部分進 入圖3.1(f)中所示的f(m)(從原點開始)的一部分。當h(x-m)向右滑動時，在f(m)中的那部分開始向右側(cè)移出，但被h(x-m)左側(cè)相同部分所取代。這引起卷積產(chǎn)生一個常量值，如圖3.1(j)所示的0，100的一段.從100到4OO的一段是正確的，但周期性是周而復始的，這樣就引起卷積函數(shù)尾部的一部分丟失，由圖3.1(j)和圖3.1(e)實線部分的

10、比較可以看出這一點。在頻率域，該過程需要計算圖3.1(a)和(b)中函數(shù)的傅里葉變換。根據(jù)卷積理論，兩個變換要相乘，再計算傅里葉反變換。結(jié)果包含40O個點的卷積，如圖3.1(j)的實線部分所示。簡單的解釋表明當使用傅里葉變換得出卷積函數(shù)時，錯誤地處理周期性將得到錯誤的結(jié)論。結(jié)果，在開頭有錯誤數(shù)據(jù)，結(jié)尾將丟失數(shù)據(jù)。問題的解決辦法很簡單。假設(shè)f和h分別由A和B個點組成。對兩個函數(shù)同時添加零，以使它們具有相同的周期，表示為P。這個過程產(chǎn)生擴展的或延拓的函數(shù)，如下所示：和可以看出,除非選擇PA+B-1，否則卷積的獨立周期將會混疊。已經(jīng)在圖3.1中看到了這種現(xiàn)象的結(jié)果，這通常歸于纏繞誤差。若P=A+B-

11、1，周期便會鄰接起來。若PA+B-1，周期將會是分隔開的，分隔的程度等于P與A+B-1的差。擴展后的卷積結(jié)果如圖3.2所示。在這里，選擇P=A+B-1(799)，即可知卷積周期是相鄰的。遵循與前面的解釋相同的過程，得到如圖3.2(e)所示的卷積函數(shù)。該結(jié)果的一個周期與圖3.1(e)相同，是正確的。這樣，如果要在頻率域計算卷積，應(yīng)該：(1)得到兩個擴展序列的傅里葉變換(每個序列有8OO個點)；(2)將兩個變換相乘；(3)計算傅里葉反變換。結(jié)果便得到正確的8OO個點的卷積函數(shù)，見圖3.2(e)中周期加重的部分。圖3.2（ae） 用擴展函數(shù)執(zhí)行卷積的結(jié)果這些概念擴展到二維函數(shù)時遵循了相同的前提。假設(shè)

12、有f(x,y)和h(x,y)兩幅圖像，大小分別為A×B和C×D。如同一維情況，這些行列必須假定在x方向上有相同的周期P，在y方向上有相同的周期Q。二維卷積的混疊可由選擇如下周期避免：擴展f(x,y)和h(x,y)形成如下周期性序列：為了簡化圖例，假設(shè)f和h是方形的，且大小相同， 圖3.3 對二維函數(shù)周期延拓的說明。（a）沒有延拓執(zhí)行二維卷積的結(jié)果；（b）合格的函數(shù)延拓；（c）正確的卷積結(jié)果。圖3.3(a)顯示了圖像沒有延拓時得到的濾波結(jié)果。這通常是由于沒有對一幅輸入圖像進行延拓就進行傅里葉變換，然后又乘上同樣大小的函數(shù)(也沒有延拓)，計算傅里葉反變換。結(jié)果就是與輸入圖像相同

13、的大小為A×B的圖像，如圖3.3(a)左上象限所示。如同一維情況，圖像前面邊沿(阻影部分)由于周期性而引入了錯誤數(shù)據(jù)，而在尾部邊沿將丟失數(shù)據(jù)。如圖3.3(b)所示，通過對輸入圖像和函數(shù)進行合適的延拓，將得到正確的、大小為P×Q的過濾圖像，如圖4.38(c)所示。這幅圖像在兩個坐標方向上是原始圖像的兩倍大小，有原始圖像4倍數(shù)量的像素點。4 程序設(shè)計MATLAB中提供的變換函數(shù)（1）fft2:用于計算二維快速傅立葉變換，語句格式：B=fft2(I,m,n)按指定的點數(shù)計算m,返回矩陣B的大小為m×n,不寫默認為原圖像大小。（2）ifft2:用于計算圖像的二維傅立葉反變

14、換，語法格式：B=ifft2(i)這里在MATLAB工作路徑里輸入兩副灰度圖像，分別為1.jpg和2.jpg，如下圖所示。 圖4.1 1.jpg 圖4.2 2.jpg%直接卷積程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');I5=conv2(I1,I2);figure(2);imshow(I5,);%正確的頻域處理程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');m1,n1=size(I1);m2,n2=size(I2);I1(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I2

15、(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2);I3=I3(1:m1+m2-1,1:n1+n2-1);I3=real(I3);figure(1);imshow(I3,);%比較頻域方法與直接卷積的結(jié)果，顯示差矩陣并且顯示錯誤數(shù)據(jù)數(shù)F=minus(I3,I5);figure(3)imshow(F);s=0;for i=1:m1+m2-1 for j=1:n1+n2-1 if (minus(abs(F(i,j),0.000001)>0) s=s+1; end; end;end;%補0不夠的頻域處理程序I1=imread('1.jpg&#

16、39;);I2=imread('2.jpg');m1,n1=size(I1);m2,n2=size(I2);I1(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I2(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2);I3=I3(1:m1+m2-100,1:n1+n2-100);I3=real(I3);I3(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;figure(1);imshow(I3,);%比較頻域方法與直接卷積的結(jié)果，顯示差矩陣并且顯示錯誤數(shù)據(jù)數(shù)F=minus(I3,I5);figure(3)imshow(F);s=0;for

17、 i=1:m1+m2-100 for j=1:n1+n2-100 if (minus(abs(F(i,j),0.000001)>0) s=s+1; end; end;end;5 運行結(jié)果及結(jié)果分析在MATLAB中輸入程序后，顯示的卷積結(jié)果如下， 圖5.1 正確延拓頻域法得到的卷積圖像 圖5.2 補0不夠頻域法得到的卷積圖像圖5.3 直接函數(shù)卷積得到的圖像 圖5.4正確延拓差矩陣的二值圖像 圖5.5 補0不夠的差矩陣的二值圖像比較圖5.1和圖5.3，看不出兩個圖像有任何區(qū)別。通過作差，認為舍入誤差小于0.000001的均可作為0來處理，這里S= 76295，差值矩陣的二值圖像全為黑，可以認

18、為兩圖幾乎沒有任何區(qū)別，即頻域方法的卷積結(jié)果是完全正確的。比較圖5.2和圖5.3，表面上也看不出兩個圖像有什么區(qū)別，圖5.2的靠左和靠上部分有亮度增加，這部分是疊加錯誤，而靠下和靠右部分是兩條黑杠，這是補零的數(shù)據(jù)，也就是原來丟失的數(shù)據(jù)。通過檢測差值矩陣，S= 327863,錯誤的有很多，即沒有補0的頻域方法計算的結(jié)果不正確。值得注意的是這里差值矩陣應(yīng)該四周都是白色，因為左邊和上邊是混疊錯誤的地方應(yīng)該為，行數(shù):100，列數(shù)100；同理右邊和下邊是數(shù)據(jù)丟失人為補0的地方也有與混疊相同的行數(shù)和列數(shù)。但因為這里2.jpg周圍為0，因此正確卷積的結(jié)果也為0，因此差矩陣得到的相應(yīng)區(qū)域也為0，顯示的2值圖像

19、就看不到白色地方了。通過以上分析說明，二維圖像或矩陣的線性卷積可以通過補零周期延拓后，經(jīng)二維傅里葉變換相乘，再做反變換來實現(xiàn)。而不補零或補零不足，用此方法求得卷積圖像靠左靠上會有疊加錯誤和靠下靠右會有數(shù)據(jù)丟失。6 心得體會數(shù)字圖像處理是一門理論與實踐緊密結(jié)合的課程。做大量的上機實驗有助于進一步理解和鞏固理論知識，還有助于提高分析和解決問題的能力。MATLAB強大的運算和圖形處理功能，可以使數(shù)字圖像處理效率大大提高，使數(shù)字圖像處理工作變得十分簡單和直觀。這次數(shù)字圖像處理課程設(shè)計歷時四天，在整整四天的日子里，可以說得是苦多于甜，但是可以學到很多很多的的東西，特別是學到了很多在書本上所沒有學到過的知識。以前總是在課堂上面聽老師講一些理論方面的知識，看著覺得簡單。但這次課設(shè)，當我在實際中自己處理問題時，才發(fā)現(xiàn)有許多我們不了解的細節(jié)方面的知識，這些都需要我們在實踐中去嘗試解決。剛開始題目給的不清楚，沒有搞明白是要干什么，通過老師的指導明確了這次課程設(shè)計的目的。這次課設(shè)說白了就是讓我們驗證卷積定理，用傅里葉變換和反變換都很簡單。但要真正弄明白補0周期延拓還要仔細看課本，搞明白原理。而且怎么樣去比較兩種算法的結(jié)果，這里想到用求差的方法，通過用差矩陣來變