復(fù)合函數(shù)的零根探究參考模板

1、復(fù)合函數(shù)的零根探究例1.已知函數(shù) f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x)+1的零根個(gè)數(shù)。例2.已知函數(shù)y=（k0）,若函數(shù)y=f(f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4，則k的取值范圍為 例3.已知定義在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對(duì)任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為 例4. 已知函數(shù)f(x)=x+-2，如果關(guān)于x的方程f(|)+t()=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求t的范圍。例5已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>0，a1)恰有三個(gè)不同的根，求a的取值

2、范圍。例6。已知函數(shù)y=f(x)是定義域R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=，若關(guān)于x的方程式f(x)2+af(x)+=0，a,bR有且僅有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 例7.(2015年南通二模第19題第三問）設(shè)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 8。設(shè)定義在R上的函數(shù)若關(guān)于x的方程c0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則 1 / 9復(fù)合函數(shù)的零根探究對(duì)于函數(shù)y=f(x)與y=g(x)稱函數(shù)y=f(g(x)為函數(shù)y=f(x)對(duì)y=g(x)的復(fù)合函數(shù),可以看作由函數(shù)y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成，對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。復(fù)合函數(shù)和零點(diǎn)都是高中函數(shù)的

3、重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容一直是學(xué)生難以理解和難以掌握的內(nèi)容，下面就復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題作一探究。例1. 已知函數(shù) f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x)+1的零根個(gè)數(shù)。分析一：函數(shù)y=f(x)為分段函數(shù)，用分段方法求出y=f(f(x)的表達(dá)式，進(jìn)而求解。解法一：(1)當(dāng)x0時(shí)f(x)=x+1,y=f(f(x)+1=f(x+1)+1,當(dāng)x+10即x1時(shí)y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以2；當(dāng)x+1>0即-1<x0時(shí)，y=f(x+1)+1+10，所以。110xy圖（1）-1（2）當(dāng)x>0時(shí)f(x)=,y=f(f(x)+1=f()+1,當(dāng)0即0x1時(shí)y=f()+1=

4、+2=0,所以；當(dāng)0即x>1時(shí)y=f()+1=+1=0,所以。綜上所述函數(shù)y=f(f(x)+1的零根有4個(gè)。分析二：可以作出y=f(x)圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法解決此問題。解法二：作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖（1）所示由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1， 由圖象知：f(x)=-1時(shí)x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=結(jié)合圖象知各有兩個(gè)解，綜上所述函數(shù)y=f(f(x)+1的零根有4個(gè)。1k0x圖（2）-1y例2. 已知函數(shù)y=（k0）,若函數(shù)y=f(f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4，則k的取值范圍為 分析：由于本題為填空題，可采用圖象法解決。解：（1）先畫出k>0時(shí)y

5、=f(x)的圖象，如圖（2）所示，由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,由圖象知：f(x)=-1時(shí)x=或x=,k>0,<0, 由圖象知：f(x)= 必有兩個(gè)解；f(x)= 兩解時(shí)才能保證函數(shù)y=f(f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)，要保證函數(shù)f(x)= 兩解必有：k。圖（3）1k0x-1y（2）再畫出k<0時(shí)y=f(x)的圖象，如圖（3）所示，由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,由圖象知：當(dāng)k>-1時(shí)直線 f(x)=-1與y=f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，無(wú)法滿足題意要求，只有當(dāng)k-1時(shí)直線 f(x)=-1與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x

6、=或x=,由圖象知：f(x)= 要有兩個(gè)解，必須滿足k，化簡(jiǎn)得：恒成立；f(x)= 恒有兩解；當(dāng)k-1時(shí)函數(shù)y=f(f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)。綜上所述：k的范圍為k-1 或k例3.已知定義在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對(duì)任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為 解：令f(x)+c，則f(c)=3,在上式中令x=c，則f(c)+=c，c-3，解得c=2，故f(x)=2，22+，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=和y=的圖象，可知這兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即（4，2）和（16，4），則方程f(x)=2+的解集為4，16例4. 已知函數(shù)f(x)=x+-2，如果關(guān)于x的方程

7、f(|)+t()=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求t的范圍。分析：此方程可看作是函數(shù)y=f(g(x)與g(x)= |復(fù)合而成，方程的根也可看作是函數(shù)的零點(diǎn)，此類問題的解決仍然采用數(shù)形結(jié)合方法。解：令|m，則f(m)+t(=0，m+-2+t(=0，去分母得：，此方程最多有兩個(gè)根，由函數(shù)m=|圖象（如圖（4）可知，方程的兩根必須有一根m 1，另一根0<m<1，才能保證原方程有三根，設(shè)g(m)= ，因此由根的分布知識(shí)得：解得：xm01圖（4）（4）例5已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>

8、;0，a1)恰有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍。解：令函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為m，即f(m)=0，對(duì)任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，則f(f(n)=n恒成立，即f(f(x)=x，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>0，a1)恰有三個(gè)不同的根，即|x-3|=1-(a>0，a1)恰有三個(gè)不同的實(shí)根。（1）當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（5）所示，兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以不滿足條件。0124xy圖（6）y0124x圖（5）（2）當(dāng)1<a<3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（6）所示，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所

9、以不滿足條件。（3）當(dāng)a>3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（6）所示，兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，（4）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象只有二個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件。綜上所述，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的范圍為a>3-1yx0-22。圖（8）0124xy圖（7）例6.解：畫函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖（8）所示，要使方程有八個(gè)不同的解，必須使y=f(x)在x（-1，）上有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為根的分布問題來(lái)求解，結(jié)果為例7. 解：設(shè)， 令0xT=f(x)aT=t1T=t2T=t30Y=f(x)t-a則，第一步，令，所以，當(dāng)時(shí)，判別式，解得，；當(dāng)時(shí)，由得，即，解得； 第二步，易得，且，若，其中， 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有2個(gè)不同的實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根， 從而方程有3個(gè)不同的實(shí)根； 若，其中，由知，方程有3個(gè)不同的實(shí)根； 若， 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且， 14分記，則故為上增函數(shù)，且， 所以有唯一解，不妨記為，且，若，即，方程有0個(gè)實(shí)根； 若，即，方程有1個(gè)實(shí)根；若，即，方程有2個(gè)實(shí)根， 所以，當(dāng)時(shí)