2019全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)試題及詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2019全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.設(shè)集合A=xx2-5x+6>0,B=xx-1<0,則AB=( A ) A. (-,1) B. (-2,1) C. (-3,-1) D. (3,+)2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知AB=2,3,AC=3,t,BC=1,則ABBC=( C ) A. -3 B. -2 C. 2 D. 34.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天 事業(yè)取得又一重大成

2、就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探 測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”。鵲橋沿著圍繞地月 拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上，設(shè)地球質(zhì)量為M1 ，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定理和萬(wàn)有引力 定律，r滿足方程： M1R+r2+M2r2=(R+r)M1R3 設(shè)=rR,由于的值很小，因此在近似計(jì)算中33+34+5(1+)233,則r的近似值為( D ) A. M2M1R B. M22M1R C. 33M2M1R D. 3M23M1R5.演講比賽共有9為評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)

3、定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè) 原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè) 原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( A ) A. 中位數(shù) B. 平均數(shù) C. 方差 D.極差6.若a>b,則( C ) A. lna-b>0 B.3a<3b C. a3-b3>0 D. a>|b|7.設(shè)，為兩個(gè)平面，則的 充要條件是( B ) A. 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B. 內(nèi)有兩條相交直線與平行 C. ，平行于同一條直線 D. ，垂直于同一平面8.若拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=( D ) A. 2 B. 3 C

4、. 4 D. 89.下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的是( A ) A. fx=|cos2x| B. fx=|sin2x| C. fx=cosx D. fx=sin|x|10.已知0,2,2sin2=cos2+1,則sin=( B ) A. 15 B. 55 C. 33 D. 25511.設(shè)F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑 的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn).若PQ=OF,則C的離心率為( A ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 512.設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿足fx+1=2fx,且當(dāng)x0,1時(shí)，fx=xx

5、-1. 若對(duì)任意x-,m,都有fx-89,則m的取值范圍是( B ) A. (-,94 B. (-,73 C.(-,52 D. (-,83二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的 正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng) 停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為 14.已知fx是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，fx=-eax,若fln2=8,則a= 15.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,則ABC 的面積為 16.中國(guó)有悠久

6、的金石文化，印信時(shí)金石文化的代表之一。印信的形狀多為長(zhǎng)方體、 正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員孤獨(dú)信的印信形狀是“半正多面體”圖1. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)的對(duì)稱美。圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一正方 體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有 個(gè)面，其棱長(zhǎng) 為 （本題第一空2分，第二空3分。）三、解答題：共70分。第1721題為必考題。第22、23題為選考題。（一）必考題：共60分17.（12分） 如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形、 點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1. 1證明：BE

7、平面EB1C1; 2若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.18.（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多 得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的 概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立。在某局雙方10:10后， 甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束。 1求PX=2; 2求事件“X=4且甲獲勝”的概率。19.（12分）已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. 1證明：an+bn是等比數(shù)列，an-bn是等差數(shù)

8、列; 2求an和bn的通項(xiàng)公式.20.(12分)已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-11討論fx的單調(diào)性，并證明fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn); 2設(shè)x0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0,lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線。21（12分）已知點(diǎn)A-2,0，B2,0,動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足直線AM與BM的斜率之積為-12. 記M的軌跡為曲線C.1求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線; 2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E， 連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C與點(diǎn)G. i證明：PQG是直角三角形; ii求PQG面積的最大值.二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果

9、多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分） 在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M0,00>0在曲線C：=4sin上.直線l過(guò)點(diǎn) A4,0且與OM垂直，垂足為P. 1當(dāng)0=3時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程; 2當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程. 23.【選修4-5：不等式選講】(10分) 已知fx=x-ax+x-2x-a. 1當(dāng)a=1時(shí)，求不等式fx<0的解集; 2若x-,1時(shí)，fx<0,求a的取值范圍.參考答案：2019全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.設(shè)集合A=xx2-5x+6>0,B

10、=xx-1<0,則AB=( A ) A. (-,1) B. (-2,1) C. (-3,-1) D. (3,+) 解析：A=xx2-5x+6>0=xx<2或x>3,B=xx<1, AB=xx<1,選A2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：z=-3+2i，z=-3-2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)-3,-2位于復(fù)平面第三象限，選C3.已知AB=2,3,AC=3,t,BC=1,則ABBC=( C ) A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 解析：BC=AC-AB=1,t-3,BC=1+t-

11、32=1,t=3 BC=1,0,ABBC=2，選C4.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天 事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探 測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”。鵲橋沿著圍繞地月 拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上，設(shè)地球質(zhì)量為M1 ，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定理和萬(wàn)有引力 定律，r滿足方程： M1R+r2+M2r2=(R+r)M1R3 設(shè)=rR,由于的值很小，因此在近似計(jì)算中33+34+5(1+)233,則r的

12、近似值為( D ) A. M2M1R B. M22M1R C. 33M2M1R D. 3M23M1R 解析：M1R+r2+M2r2=R+rM1R3，r=R, M1R+R2+M2(R)2=(R+R)M1R3 M2=M11+-11+22=M133+34+51+2M133=3M1r3R3, r3M23M1R3,r3M23M1R,選D5.演講比賽共有9為評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè) 原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè) 原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( A ) A. 中位數(shù) B. 平均數(shù) C. 方差 D.極差 解析：不妨把9個(gè)原始評(píng)分從

13、小到大排序記作：x1,x2,x9,去掉x1,x9,剩余7個(gè) 有效評(píng)分為，x2,x3,x8,由數(shù)字特征定義知，不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，選A6.若a>b,則( C ) A. lna-b>0 B.3a<3b C. a3-b3>0 D. a>|b| 解析：由函數(shù)y=lnx,y=3x,y=x3,y=x的基本性質(zhì)知，當(dāng)a>b時(shí)，只有a3-b3 >0成立，選C7.設(shè)，為兩個(gè)平面，則的 充要條件是( B ) A. 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B. 內(nèi)有兩條相交直線與平行 C. ，平行于同一條直線 D. ，垂直于同一平面 解析：由面面平行的判定定理知，B正確，選B8.若拋物線

14、y2=2pxp>0的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析：拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為Fp2,0,所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上，由題知， 3p=p+(p2)2,p2=8p,又p>0，p=8,選D9.下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的是( A ) A. fx=|cos2x| B. fx=|sin2x| C. fx=cosx D. fx=sin|x| 解析：由y=cos2x,y=sin2x,y=cosx,y=sinx的函數(shù)圖象可知，周期為2且 在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的函數(shù)是y=cos2x，選A10.已知0,

15、2,2sin2=cos2+1,則sin=( B ) A. 15 B. 55 C. 33 D. 255 解析：2sin2=cos2+1，4sincos=2cos2,sin=12cos, sin2=141-sin2,sin2=15，又0,2，sin=55，選B11.設(shè)F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑 的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn).若PQ=OF,則C的離心率為( A ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 解析：由題知，PQ=OF，2abc=c,c4=4a2b2=4a2c2-a2, c4-4a2c2+4a4=0,c2-2

16、a22=0,c2-2a2=0，c2a2=2,ca=2,選A12.設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿足fx+1=2fx,且當(dāng)x0,1時(shí)，fx=xx-1. 若對(duì)任意x-,m,都有fx-89,則m的取值范圍是( B ) A. (-,94 B. (-,73 C.(-,52 D. (-,83 解析：fx+1=2fx，fx=2fx-1,fx=12fx+1 x0,1時(shí)，fx=xx-1-14， x1,2時(shí)，fx=2fx-1=2x-1x-2-12 x2,3時(shí)，fx=2fx-1=22x-2x-3-1 ,xn,n+1nN時(shí), fx=2nx-nx-n-1-2n-2, x-1,0時(shí),fx=12fx+1=12x+1x-18, x

17、-2,-1時(shí)，fx=12fx+1=122x+2x+1-116 ，x-n-1,-nnN時(shí)，fx=12n+1x+n+1x+n-12n+3, 故當(dāng)x2,3時(shí)，令fx=22x-2x-3=-89，得x=73,x=83，結(jié)合圖象 x-,73時(shí)，都有都有fx-89，m73,選B二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的 正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng) 停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為 解析：平均正點(diǎn)率估計(jì)值為0.97×1040+0.98×

18、2040+0.99×1040=0.98，填0.98 14.已知fx是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，fx=-eax,若fln2=8,則a= 解析：已知fx是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，fx=-eax， fln2=-f-ln2=e-aln2=eln12a=12a=8,a=-3,填-315.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,則ABC 的面積為 解析：b=6,a=2c,B=3，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,知 36=4c2+c2-22cc12=3c2,c=23,a=43 ABC的面積S=12acsinB=12432332=63,填6316.

19、中國(guó)有悠久的金石文化，印信時(shí)金石文化的代表之一。印信的形狀多為長(zhǎng)方體、 正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員孤獨(dú)信的印信形狀是“半正多面體”圖1. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)的對(duì)稱美。圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一正方 體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有 個(gè)面，其棱長(zhǎng) 為 （本題第一空2分，第二空3分。） 解析：由圖知，該半正多面體的面數(shù)為26，設(shè)所求棱長(zhǎng)為a,則由題知a+2a=1,a=2-1， 第一空填26，第二空填2-1三、解答題：共70分。第1721題為必考題。第22、23題為選考題。（一）必考題：共

20、60分17.（12分） 如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形、 點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1. 1證明：BE平面EB1C1; 2若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. 解析：1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1平面ABB1A1 BEÜ平面ABB1A1，B1C1BE，又BEEC1，B1C1EC1=C1， 且B1C1，EC1Ü平面EB1C1，BE平面EB1C1 2底面ABCD是正方形，若AE=A1E，由1知BE平面EB1C1，則BEEB1， ABE為等腰直角三角形，取AB=BC=1,則AE=1，CC1=2 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD，C

21、B，CC1分別為x,y,z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz. 則C0,0,0,B0,1,0,E1,1,1,C10,0,2, CE=1,1,1,CB=0,1,0,CC1=0,0,2 設(shè)平面CEB的法向量n=x,y,z,則 nCE=0nCB=0,x+y+z=0y=0,取x=1,則y=0,z=-1 n=(1,0,-1) 設(shè)平面CEC1的法向量m=a,b,c,則 mCE=0mCC1=0,a+b+c=02c=0,取a=1,則y=-1,z=0 m=(1,-1,0) cos<m,n>=mnmn=122=12 二面角B-EC-C1的正弦值為3218.（12分） 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分

22、，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多 得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的 概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立。在某局雙方10:10后， 甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束。 1求PX=2; 2求事件“X=4且甲獲勝”的概率。 解析：1用甲表示甲發(fā)球時(shí)甲得分，用乙表示乙發(fā)球時(shí)乙得分，用甲表示甲發(fā)球時(shí)乙得分， 用乙表示乙發(fā)球時(shí)甲得分，甲先發(fā)球,X=2，甲:乙為10:12或12:10時(shí)比賽結(jié)束。 則PX=2=P甲乙+P甲乙=0.5×0.4+1-0.5×(1-0.4)=0.5 2甲先發(fā)球，X=

23、4且甲獲勝，則甲：乙為13:11時(shí)比賽結(jié)束 則PX=4且甲獲勝=P甲 乙 甲 乙+P甲 乙 甲 乙 =1-0.5×0.4×0.5×0.4+0.5×1-0.4×0.5×0.4=0.1 事件“X=4且甲獲勝”的概率為0.119.（12分） 已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. 1證明：an+bn是等比數(shù)列，an-bn是等差數(shù)列; 2求an和bn的通項(xiàng)公式. 解析：14an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. +得：4an+1+bn+1=2an+bn，即an

24、+1+bn+1=12an+bn -得：4an+1-bn+1=4an+bn+8，即an+1+bn+1=an+bn+2 又a1=1,b1=0，a1+b1=1，a1-b1=1 an+bn是首項(xiàng)為1，公比為12的等比數(shù)列，an-bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列. 2由1知，an+bn=12n-1, an-bn=2n-1, an=12an+bn+an-bn=12n+n-12，bn=12an+bn-an-bn=12n-n+1220.(12分) 已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-1 1討論fx的單調(diào)性，并證明fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn); 2設(shè)x0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0,lnx0處的切線也是

25、曲線y=ex的切線。 解析：1fx=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1(x>0且x1) f'x=1x+2x-12>0,fx在0,1上單調(diào)遞增，在1，+上單調(diào)遞增。 f1e=-1-1+e1-e=2e-1>0,f1e2=e2+1e2-1-2<0,fe=12-e+1e-1<0,fe2=2-e2+1e2-1>0 fx在0,1和1，+上各有一個(gè)零點(diǎn).fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn). 2設(shè)x0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，則lnx0-2x0-1-1=0 y=lnx,y'=1x，y=lnx在點(diǎn)Ax0,lnx0處的切線斜率為1x0, y=lnx在點(diǎn)Ax0,lnx0處的切線

26、方程為：y-lnx0=1x0x-x0， 即y=1x0x+lnx0-1=1x0x+2x0-1 設(shè)該切線與y=ex切于Bt,et，又y'=ex,et=1x0,且et=1x0t+2x0-1 1x0=1x0t+2x0-1，t=1-2x0x0-1=-2x0-1-1=-lnx0, 曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0,lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線且切點(diǎn)為B(-lnx0,1x0)21（12分） 已知點(diǎn)A-2,0，B2,0,動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足直線AM與BM的斜率之積為-12. 記M的軌跡為曲線C. 1求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線; 2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，

27、 連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C與點(diǎn)G. i證明：PQG是直角三角形; ii求PQG面積的最大值. 解析：1設(shè)直線AM與BM的斜率分別為kAM，kBM，點(diǎn)A-2,0，B2,0,動(dòng)點(diǎn)Mx,y kAMkBM=yx+2yx-2=y2x2-4=-12，C：x24+y22=1x±2,曲線C是去掉左右頂點(diǎn) A-2,0，B2,0,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)為±2,0的橢圓. 2(i)設(shè)Px0,y0,則Ex0,0,Q-x0,-y0,由題知直線PQ斜率存在且不為0，則直線PQ的方程 為y=y0x0x,直線 QE的方程為y=y02x0x-x0=y02x0x-y02，且x02+2y02=4,x0>0,y0>0， 由x24+y22=1與y=y02x0x-y02，聯(lián)立得 2x02+y02x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0,