空間垂直關(guān)系

1、基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)第第4講講垂直關(guān)系垂直關(guān)系基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)最新考綱最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)知 識(shí) 梳 理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的_一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直.任何基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線lalba b 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考

2、點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)平行ab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條_，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面垂線交線ll alal 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平

3、行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.()基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面2.下列命題中錯(cuò)誤的是()基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)解析對(duì)于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的.答案D基礎(chǔ)診斷基

4、礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()A.ml B.mn C.nl D.mnC基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)4.(2017江西六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是()A.且m B.且mC.mn且n D.mn且解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確.答案C基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)5.(教材改編)在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心.(2)若

5、PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心.解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)圖2(2)如圖2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB 平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG 平面PGC，ABCG，基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)即CG為ABC邊AB的高.同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心.答案(1)外(2)垂基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課

6、堂總結(jié)課堂總結(jié)考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD 平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)

7、PA底面ABCD，AB 平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD 平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，l l).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷

8、考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 (2015山東卷)如圖，三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn).(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 證明(1)連接DG，CD，設(shè)CDGFM，連接MH.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G為AC中點(diǎn)，可得DFGC，且DFGC，則四邊形DFCG為平行四邊形.從而M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HMBD，又HM 平面FGH，BD 平面FGH，故BD平面FGH.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總

9、結(jié)(2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理.(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)【訓(xùn)練

10、2】 如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn).(1)求證：PB平面MNC；(2)若ACBC，求證：PA平面MNC.證明(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MNPB.又因?yàn)镸N 平面MNC，PB 平面MNC，所以PB平面MNC.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)因?yàn)镻APB，MNPB，所以PAMN.因?yàn)锳CBC，AMBM，所以CMAB.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.因?yàn)镻A 平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突

11、破課堂總結(jié)課堂總結(jié)考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究)命題角度一多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 (2016江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)命題角度二平行垂直中探索性問(wèn)題

12、【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明：AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，OF為ACE的中位線，OFAE，又OF 平面BDF，AE 平面BDF，AE平面BDF.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接

13、DP，PH，CH，P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD 平面ABCD，CDBC.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM 平面DPHC，BEPM，即PMBE.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點(diǎn)的位置

14、探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(1)求證：AC平面FBC.(2)求四面體FBCD的體積.(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM.證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN.因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn).所以EAMN.因?yàn)镸N 平面FDM，EA 平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)2.證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個(gè)平面相交