第10章結(jié)構(gòu)動力計(jì)算基礎(chǔ)

1、基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動的計(jì)算基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動的計(jì)算( (微分方程的微分方程的 建立建立、求解、自振周期和自振頻率的計(jì)算）、求解、自振周期和自振頻率的計(jì)算）； 了解單自由度體系強(qiáng)迫振動的計(jì)算；了解單自由度體系強(qiáng)迫振動的計(jì)算； 了解兩個(gè)自由度體系自由振動的計(jì)算。了解兩個(gè)自由度體系自由振動的計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：動力計(jì)算的特點(diǎn)和動力自由度動力計(jì)算的特點(diǎn)和動力自由度單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 單自由度體系的強(qiáng)迫振動單自由度體系的強(qiáng)迫振動 兩個(gè)自由度體系的自由振動兩個(gè)自由度體系的自由振動 第第10章章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動力計(jì)算基礎(chǔ)1.1.動

2、力荷載與靜力荷載動力荷載與靜力荷載靜力荷載靜力荷載是指大小、方向和作用位置是指大小、方向和作用位置不隨時(shí)間不隨時(shí)間變化或變化變化或變化很小的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的很小的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較小慣性力較小因而可以忽略不計(jì)因而可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。是確定的。動力荷載動力荷載是指其大小、方向和作用位置是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間隨時(shí)間而變化的荷而變化的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較大因而不能慣性力較大因而不能忽略忽略，由它所引起的內(nèi)力和變形都是，由它所引起的內(nèi)力和變形都是坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)的函

3、數(shù)。10.1 動力計(jì)算的特點(diǎn)和動力自由度動力計(jì)算的特點(diǎn)和動力自由度一、動力荷載的概念及分類一、動力荷載的概念及分類區(qū)別：區(qū)別：靜力荷載只與靜力荷載只與作用位置有關(guān)作用位置有關(guān)，而動力荷載的變化，而動力荷載的變化是坐標(biāo)和時(shí)間的是坐標(biāo)和時(shí)間的 函數(shù)函數(shù)。 （1 1）周期荷載周期荷載隨時(shí)間作周期性變化隨時(shí)間作周期性變化2.2.動力荷載的分類動力荷載的分類確定性確定性非確定性（隨機(jī)荷載）非確定性（隨機(jī)荷載）周期荷載周期荷載非周期荷載非周期荷載P(t )t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）Pt一般周期荷載一般周期荷載簡諧荷載：最簡單的周期荷載，隨時(shí)間按簡諧荷載：最簡單的周期荷載，隨

4、時(shí)間按正弦或余弦正弦或余弦規(guī)律變化。如規(guī)律變化。如 機(jī)器轉(zhuǎn)動時(shí)轉(zhuǎn)子做勻速轉(zhuǎn)動時(shí)就會產(chǎn)生這種荷載。機(jī)器轉(zhuǎn)動時(shí)轉(zhuǎn)子做勻速轉(zhuǎn)動時(shí)就會產(chǎn)生這種荷載。非簡諧荷載非簡諧荷載：按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對 堤壩的動水壓力；輪船螺旋槳產(chǎn)生的推力等。堤壩的動水壓力；輪船螺旋槳產(chǎn)生的推力等。突加荷載突加荷載：突然施加在結(jié)構(gòu)上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的突然施加在結(jié)構(gòu)上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的 卷揚(yáng)機(jī)突然開動時(shí)施加于鋼絲繩上的荷載。卷揚(yáng)機(jī)突然開動時(shí)施加于鋼絲繩上的荷載。沖擊荷載：短時(shí)間內(nèi)劇增或劇減沖擊荷載：短時(shí)間內(nèi)劇增或劇減P(t)

5、ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷載突加荷載（2）非周期荷載）非周期荷載沖擊荷載：在很短時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、沖擊荷載：在很短時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、 打樁機(jī)的錘頭對樁柱的沖擊等。打樁機(jī)的錘頭對樁柱的沖擊等。（3 3）隨機(jī)荷載隨機(jī)荷載荷載有很大的隨意性，任一時(shí)刻的數(shù)值無法確定，荷載有很大的隨意性，任一時(shí)刻的數(shù)值無法確定， 如地震荷載、風(fēng)荷載、海浪對堤岸、碼頭的沖擊等。如地震荷載、風(fēng)荷載、海浪對堤岸、碼頭的沖擊等。 1.1.地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的震動；地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的震動；二、常見的動力問題二、常見的動力問題2.2.風(fēng)荷載作用下大型橋梁、高

6、層結(jié)構(gòu)的振動；風(fēng)荷載作用下大型橋梁、高層結(jié)構(gòu)的振動；3.3.機(jī)器轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的不平衡力引起的大型機(jī)器基礎(chǔ)的振動；機(jī)器轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的不平衡力引起的大型機(jī)器基礎(chǔ)的振動；4.4.車輛運(yùn)行中由于路面不平順引起的車輛振動及車輛引車輛運(yùn)行中由于路面不平順引起的車輛振動及車輛引 起的路面振動；起的路面振動；5.5.爆炸荷載作用下防護(hù)工事的沖擊動力反應(yīng)；爆炸荷載作用下防護(hù)工事的沖擊動力反應(yīng)；6.6.海洋工程結(jié)構(gòu)在波浪、冰凌、臺風(fēng)等動力荷載作用下的海洋工程結(jié)構(gòu)在波浪、冰凌、臺風(fēng)等動力荷載作用下的 反應(yīng)等等，量大而面廣。反應(yīng)等等，量大而面廣。三、結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的特點(diǎn)三、結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的特點(diǎn)1.1.結(jié)構(gòu)動力學(xué)的主要特征結(jié)構(gòu)動力

7、學(xué)的主要特征 由于荷載隨時(shí)間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，由于荷載隨時(shí)間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮考慮慣性力的影響慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的最主要特征。是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的最主要特征。 達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的所有的主動：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的所有的主動力、約束反力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系力、約束反力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系（即主動力、約束反力和質(zhì)點(diǎn)的慣性力的矢量和等于零）。（即主動力、約束反力和質(zhì)點(diǎn)的慣性力的矢量和等于零）。動靜法動靜法：根據(jù)達(dá)朗伯原理，動力計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為：根據(jù)達(dá)

8、朗伯原理，動力計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題靜力平衡問題來求解，這種方法稱為動靜法。來求解，這種方法稱為動靜法。2.2.結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的原理和方法結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的原理和方法靜力計(jì)算靜力計(jì)算靜力平衡方程靜力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)荷載、約束力、內(nèi)力、位移是不隨時(shí)力、位移是不隨時(shí)間變化的常量間變化的常量動力計(jì)算動力計(jì)算動力平衡方程動力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)荷載、約束力、內(nèi)力、位移是隨時(shí)間力、位移是隨時(shí)間變化的函數(shù)變化的函數(shù)引進(jìn)慣性力（達(dá)朗伯原理）引進(jìn)慣性力（達(dá)朗伯原理）瞬時(shí)的靜力平衡問題瞬時(shí)的靜力平衡問題3.3.靜力計(jì)算與動力計(jì)算的區(qū)別靜力計(jì)算與動力計(jì)算的區(qū)別動力平衡動力平衡的特點(diǎn)的特點(diǎn)：與靜力平衡

9、不同，動力平衡只是形式上的平衡，：與靜力平衡不同，動力平衡只是形式上的平衡， 是在引進(jìn)是在引進(jìn)慣性力慣性力條件下的平衡條件下的平衡。（1）在所考慮的力系中要包括慣性力；）在所考慮的力系中要包括慣性力；（2）所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內(nèi)力、位移、速度、加速所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內(nèi)力、位移、速度、加速 度等都是時(shí)間的函數(shù)。度等都是時(shí)間的函數(shù)。慣性力慣性力：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力作用而改變其原來的運(yùn)動狀態(tài)時(shí)，由于質(zhì)點(diǎn)的：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力作用而改變其原來的運(yùn)動狀態(tài)時(shí)，由于質(zhì)點(diǎn)的慣性產(chǎn)生對外界反抗的反作用力稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。慣性產(chǎn)生對外界反抗的反作用力稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。慣性力的方向慣性力的方向與加速度方向相反

10、，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積。與加速度方向相反，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積。amFG 即注意：注意：質(zhì)點(diǎn)的慣性力并不是質(zhì)點(diǎn)本身受到的力，而是質(zhì)點(diǎn)作用于施質(zhì)點(diǎn)的慣性力并不是質(zhì)點(diǎn)本身受到的力，而是質(zhì)點(diǎn)作用于施 力物體上的力。力物體上的力。)(tP)(ty )()(tPtym )(tP)()(tymtP 0)()(tymtP )(tP)(tym amF 在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位移等）都在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位移等）都隨時(shí)間變化，它除與隨時(shí)間變化，它除與動力荷載動力荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固固有特性有特性（自振頻率

11、、振型和阻尼）有關(guān)。（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。 不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動相同的荷載下具有相同的反應(yīng)。可見，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動力荷載下的反應(yīng)，故稱之為力荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)構(gòu)的動力特性結(jié)構(gòu)的動力特性。4 4動力反應(yīng)的特點(diǎn)動力反應(yīng)的特點(diǎn)5 5結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的目的結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的目的 研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的的最大動內(nèi)力最大動內(nèi)力和和最大動位移最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性

12、設(shè)計(jì)提供依據(jù)。，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性設(shè)計(jì)提供依據(jù)。 1940 1940年美國西海岸華盛頓州建成了一座當(dāng)時(shí)位居世界第三的年美國西海岸華盛頓州建成了一座當(dāng)時(shí)位居世界第三的TacomaTacoma大橋，大橋中央跨距為大橋，大橋中央跨距為853853米，為懸索橋結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)可以抗米，為懸索橋結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)可以抗6060米米/ /秒的大風(fēng)，但不幸的是大橋剛建成四個(gè)月就在秒的大風(fēng)，但不幸的是大橋剛建成四個(gè)月就在1919米米/ /秒的小風(fēng)秒的小風(fēng)吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風(fēng)旋渦脫落的頻率與懸索橋板的吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風(fēng)旋渦脫落的頻率與懸索橋板的固有頻率一致，從而產(chǎn)生了強(qiáng)烈的固有頻率一致，從而產(chǎn)生了強(qiáng)

13、烈的共振共振。因此盡管橋塌毀的這天風(fēng)。因此盡管橋塌毀的這天風(fēng)并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。 強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研究結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研究結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振 動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。 四、自由振動和強(qiáng)迫振動四、自由振動和強(qiáng)迫振動自由振動自由振動：結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時(shí)，由初速度、初位移所引起的結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時(shí)，由初速度、初位移所引起的 振動。研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振動。研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、 振型和阻尼參數(shù)。振型和阻尼參數(shù)。五、動力計(jì)算中體系

14、的自由度五、動力計(jì)算中體系的自由度1.1.動力自由度的定義動力自由度的定義確定體系運(yùn)動過程中任一時(shí)刻確定體系運(yùn)動過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量全部質(zhì)量位置所需的位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目數(shù)目，稱為體系的動力自由度。，稱為體系的動力自由度。 動力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，慣性力與動力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，慣性力與質(zhì)量和加速度有關(guān)，這就要求分析質(zhì)量分布和質(zhì)量位移，所以，動力質(zhì)量和加速度有關(guān)，這就要求分析質(zhì)量分布和質(zhì)量位移，所以，動力學(xué)一般將學(xué)一般將質(zhì)量位移作為基本未知量質(zhì)量位移作為基本未知量。2.2.動力自由度簡化方法動力自由度簡化方法 嚴(yán)格意義

15、上講，實(shí)際結(jié)構(gòu)都是具有分布質(zhì)量的彈性體，是無限自由度嚴(yán)格意義上講，實(shí)際結(jié)構(gòu)都是具有分布質(zhì)量的彈性體，是無限自由度體系。體系。 實(shí)際結(jié)構(gòu)動力自由度簡化方法有：實(shí)際結(jié)構(gòu)動力自由度簡化方法有：應(yīng)用中存在的問題：應(yīng)用中存在的問題：（1 1）計(jì)算復(fù)雜，有時(shí)甚至無法求解；）計(jì)算復(fù)雜，有時(shí)甚至無法求解； （2 2）從工程角度沒有必要。）從工程角度沒有必要。故，故，為計(jì)算方便，實(shí)際結(jié)構(gòu)通常簡化為有限自由度為計(jì)算方便，實(shí)際結(jié)構(gòu)通常簡化為有限自由度體系。體系。 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法 有限單元法有限單元法 根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由

16、度體系，多自由度體系和無限自由度體系。和無限自由度體系。 將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量，除這些點(diǎn)之外物體是無除這些點(diǎn)之外物體是無質(zhì)量的質(zhì)量的從而把一個(gè)無限自由度問題簡化為有限自由度問題。從而把一個(gè)無限自由度問題簡化為有限自由度問題。 （1 1）集中質(zhì)量法）集中質(zhì)量法m本章主要討論集中質(zhì)量法。本章主要討論集中質(zhì)量法。 （2 2）廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法 m)(xy1)()(iiixaxyniiixaxy1)()(ia0)()0(lii)(xi滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)滿

17、足位移邊界條件的形狀函數(shù) （3 3）有限元法）有限元法 綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的特點(diǎn)特點(diǎn),將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元的集將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元的集合，以合，以結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)，將無限作為廣義坐標(biāo)，將無限自由度問題化為有限自由度問題。自由度問題化為有限自由度問題。m廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)為自由度個(gè)數(shù)結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)為自由度個(gè)數(shù)mm梁梁my(t)1 1個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)1 1個(gè)自由度個(gè)自由度廠房排架水平振動廠房排架水平振動時(shí)的計(jì)算簡圖時(shí)的計(jì)算簡圖EIEI2EImy(t)1個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)1個(gè)自由度個(gè)自由度2個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)

18、質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度個(gè)自由度1個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度個(gè)自由度說明：說明：自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)數(shù)目不一定相等。自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)數(shù)目不一定相等。總結(jié)：總結(jié)：動力計(jì)算中的自由度數(shù)目動力計(jì)算中的自由度數(shù)目與結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目和結(jié)構(gòu)的幾與結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目和結(jié)構(gòu)的幾何組成無關(guān)。何組成無關(guān)。)(xmy(x,t)x無限自由度體系無限自由度體系y1y23. 3. 自由度的確定自由度的確定 1) 1) 平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)1y2y彈性支座不減少動力自由度彈性支座不減少動力自由度計(jì)軸變時(shí)計(jì)軸變時(shí)不計(jì)軸變時(shí)不計(jì)軸變時(shí)為減少動力自由度，梁與剛架不為減少動力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。計(jì)軸向變形。1yEI自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)

19、個(gè)數(shù)無關(guān)，但自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2 2倍。倍。1y2y1y2yEImEI結(jié)論：結(jié)論： 結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無關(guān) 結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)考慮軸向變形后各計(jì)算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？考慮軸向變形后各計(jì)算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？思考：思考： 自由振動的概念：自由振動的概念：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。體系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動產(chǎn)生原因：自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（體系在初始時(shí)刻（t=t=0 0）受到外界的干擾，由受到外界的干擾，由初位移初位移

20、或或初速度初速度引起。引起。1 1）很多實(shí)際的動力問題都可按單自由度體系進(jìn)行動力分析或進(jìn)行）很多實(shí)際的動力問題都可按單自由度體系進(jìn)行動力分析或進(jìn)行 初步估算。初步估算。hy(t)10.2 單自由度體系的自由振動（不計(jì)阻尼）單自由度體系的自由振動（不計(jì)阻尼） 單自由度體系的自由振動分析的必要單自由度體系的自由振動分析的必要性：性： 2 2）單自由度體系自由振動的分析是單自由度體系受迫振動和多）單自由度體系自由振動的分析是單自由度體系受迫振動和多自自 由度振動分析的基礎(chǔ)。由度振動分析的基礎(chǔ)。 要掌握單自由度體系的動力反要掌握單自由度體系的動力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其運(yùn)動方應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其

21、運(yùn)動方程。下面介紹建立在程。下面介紹建立在達(dá)朗伯原理基達(dá)朗伯原理基礎(chǔ)上的礎(chǔ)上的“動靜法動靜法”。 分析自由振動的目的分析自由振動的目的：確定結(jié)構(gòu)的動力確定結(jié)構(gòu)的動力特性（自振頻率特性（自振頻率、自振周期）。自振周期）。 一、自由振動微分方程的建立一、自由振動微分方程的建立 單自由度體系的自由振動及相應(yīng)的彈單自由度體系的自由振動及相應(yīng)的彈簧簧- -質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標(biāo)質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在原點(diǎn)，在t 時(shí)刻，質(zhì)量時(shí)刻，質(zhì)量m的位移為的位移為 y(t)。1.剛度法建立平衡方程：剛度法建立平衡方程：（以質(zhì)點(diǎn)為研究對象）（以質(zhì)點(diǎn)為研究對象） 取質(zhì)量取質(zhì)量m為隔離體，作用

22、在隔離體上的力：為隔離體，作用在隔離體上的力：慣性力慣性力)(tym 與加速度與加速度 y 方向相反。方向相反。 動平衡方程：動平衡方程： 0)()(tkytym 彈性力彈性力- -ky(t)與位移方向相反；與位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)( )my t(b)(c)2.柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：（以結(jié)構(gòu)整體為研究對象）（以結(jié)構(gòu)整體為研究對象）質(zhì)量質(zhì)量m在在t 時(shí)刻的位移時(shí)刻的位移y(t)是由此時(shí)作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，是由此時(shí)作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：位移方程為：)()(tymty 0)(1)(tytym (a) 單自由度體系

23、：單自由度體系： 1k (b) 式（式（10101 1）或（）或（a a）稱為單自由度體系自由振動運(yùn)動方程（微分方程）。）稱為單自由度體系自由振動運(yùn)動方程（微分方程）。y(t)mk( )my t =mk1( )my t 將（將（b b）代入（）代入（a a）整理后，即為（）整理后，即為（10-110-1）式。）式。對單自由度體系來說：對單自由度體系來說：上式可用功的互等定理加以證明：上式可用功的互等定理加以證明：mk1mkk1根據(jù)功的互等定理，有：根據(jù)功的互等定理，有：1 1 k 1 k 1k二、自由振動微分方程的解二、自由振動微分方程的解 單自由度體系自由振動微分方程寫為：單自由度體系自由振

24、動微分方程寫為： 02yy （102）式中式中： mmk12其通解為：其通解為： tCtCty cossin)(21當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件 0)0(yy0)0(vy二階齊次線性常微分方程二階齊次線性常微分方程02yC 01vC 式（式（103）還可寫成）還可寫成：)sin()(taty（104）式中：式中： 22020vya001tanvy（105） 不計(jì)阻尼時(shí)，單自由度體系的自由振動是由不計(jì)阻尼時(shí)，單自由度體系的自由振動是由初位移初位移和和初速度初速度引引起的簡諧振動。起的簡諧振動。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （103）三、結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率三、結(jié)構(gòu)的自振周

25、期和自振頻率 )2()2(sin)2sin()sin()(tytatataty由式（由式（10104 4）：y(t)是周期函數(shù)是周期函數(shù) 2T自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）T 2自振頻率（固有頻率）自振頻率（固有頻率） 1. 1. 結(jié)構(gòu)自振周期結(jié)構(gòu)自振周期 和自振頻率和自振頻率 的各種等價(jià)計(jì)算公式的各種等價(jià)計(jì)算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk1111111 理解這些公式各符號的含義，由其中一個(gè)公式便可得到其他公式。理解這些公式各符號的含義，由其中一個(gè)公式便可得到其他公式。T 自振頻率和周期的計(jì)算方法自振頻率和周期的計(jì)算方法：(1)(1)利用計(jì)算公式利用計(jì)算公式111

26、121mmk11,WmgWststg2(2)(2)利用機(jī)械能守恒利用機(jī)械能守恒（能量法）（能量法）)(cos21)(21)(2222tmatymtT質(zhì)點(diǎn)動能)(sin21)(21)(2211211taktyktU變形能222maxmax2121kamaUT2. 2. 結(jié)構(gòu)自振周期結(jié)構(gòu)自振周期T（或自振頻率（或自振頻率）的性質(zhì)）的性質(zhì) （1）自振周期只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素?zé)o關(guān)，自振周期只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素?zé)o關(guān)， 它是結(jié)構(gòu)本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。它是結(jié)構(gòu)本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。（2 2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的

27、平方根成反比，改自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比，改 變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其自振周期。變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其自振周期。（3 3）自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個(gè)很重要的數(shù)量標(biāo)志。不管實(shí)自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個(gè)很重要的數(shù)量標(biāo)志。不管實(shí)際際 結(jié)構(gòu)是否相同，若自振周期相同，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)也相同。結(jié)構(gòu)是否相同，若自振周期相同，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)也相同。3. 3. 簡諧自由振動的特性簡諧自由振動的特性 位移位移： )sin()(taty加速度加速度： )sin()(2taty 慣性力慣性力： )sin()(2tmatymFI 位移與慣性力作位移與慣性力作同頻同步同頻同步振動。振動。

28、 111kEIl)(ty2maaa位移幅值（最大值）位移幅值（最大值）ma2慣性力最大值慣性力最大值4. 4. 算例算例 例例1.1.求圖示體系的自振頻率和自振周期。求圖示體系的自振頻率和自振周期。 mmEIEIEILL解解：1LLM1圖 圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個(gè)質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個(gè)質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）運(yùn)動，故仍為單自由度體系。如圖（運(yùn)動，故仍為單自由度體系。如圖（b b）示，作）示，作 圖圖 1M柔度系數(shù)柔度系數(shù) EIl323自振頻率自振頻率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2 2圖示排架的橫梁為剛

29、性桿，質(zhì)量為圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì)，柱質(zhì)量不計(jì), ,求其自振求其自振 頻率。頻率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3解解：不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作 圖，求出剛度系數(shù)圖，求出剛度系數(shù)1M36hEIk 自振頻率自振頻率 36mhEImk 例例3 3求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 EI2mmABCkl/2l/2l/4解：（解：（1 1）求各質(zhì)點(diǎn)處的慣性力幅值，作體系的受力圖）求各質(zhì)點(diǎn)處的慣性力幅值，作體系的受力圖A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 設(shè)該體系轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)角的

30、幅值為設(shè)該體系轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)角的幅值為 。當(dāng)位移達(dá)到幅值時(shí)，質(zhì)量。當(dāng)位移達(dá)到幅值時(shí)，質(zhì)量 2m 和和m上的慣性力也同時(shí)達(dá)到幅值。上的慣性力也同時(shí)達(dá)到幅值。 （2 2）在幅值處列出動平衡方程，求體系自振頻率）在幅值處列出動平衡方程，求體系自振頻率 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 慣性力慣性力： )sin()(2tmatymFI 在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)2m處最大處最大慣性力慣性力： 2222lmmaFI在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)m處最大處最大慣性力慣性力： 2245lmmaFI例例4.4.求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. . 222222222max29

31、)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解解: :mk95lmEImlllkk)(t1.1.能量法能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.2.列幅值方程列幅值方程22lm 22lm 2mllklk2A 0AM0222222222lkllmllmllkllml059222klmlmk95例例5.5.求圖示體系的自振頻率和周期。求圖示體系的自振頻率和周期。3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl312723lEI例例6.6.質(zhì)點(diǎn)重質(zhì)點(diǎn)重W，求體系的頻率

32、和周期求體系的頻率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk3310.3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動（不計(jì)阻尼）單自由度體系的強(qiáng)迫振動（不計(jì)阻尼） 強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動，也叫結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動，也叫受迫振動受迫振動。一一. .強(qiáng)迫振動的運(yùn)動微分方程強(qiáng)迫振動的運(yùn)動微分方程 tFtkytymP)()( EIl)(tyP(t)運(yùn)動方程運(yùn)動方程或或 mtFtytyP)()(2 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)（1 10 01111） 式中式中 km結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 式（式（1 10 011)11)為單自由

33、度體系強(qiáng)迫振動的運(yùn)動為單自由度體系強(qiáng)迫振動的運(yùn)動方程。方程。 單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)的振動模型如圖示的振動模型如圖示: : EIl)(tyP( (t) )tPtPsin)(P 荷載幅值荷載幅值荷載頻率荷載頻率運(yùn)動方程運(yùn)動方程)()()(*tytyty先求方程特解先求方程特解： tmPtytysin)()(2 tAtysin)(*222221)(mPmPA二、簡諧荷載作用下的受迫振動二、簡諧荷載作用下的受迫振動1.1.運(yùn)動方程的建立及求解運(yùn)動方程的建立及求解齊次解：齊次解： tCtCtycossin)(21tytCtCtystsin)1 (1coss

34、in)(2221222221)(mPmPA通解為：通解為： PmPyst2荷載幅值作為靜荷載所引起的荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移最大靜位移tytAtystsin11sin)(22*積分常數(shù)積分常數(shù) 由初始條件確定，設(shè)在由初始條件確定，設(shè)在t = 0時(shí)的初位移和初速度時(shí)的初位移和初速度均為零，則得均為零，則得12,CC運(yùn)動方程的解為：運(yùn)動方程的解為：0,12221CyCstttytystsinsin)1 (1)(22（1012） 式（式（1 10-120-12）中第一項(xiàng)為動荷載引起的振動）中第一項(xiàng)為動荷載引起的振動; ;第二項(xiàng)為初始條件引起第二項(xiàng)為初始條件引起的自由振動。實(shí)際上，由于阻尼

35、的存在，自由振動部分都很快衰減掉。的自由振動。實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動部分都很快衰減掉。自由振動消失前的振動階段稱為自由振動消失前的振動階段稱為過渡階段過渡階段。后來只按荷載頻率進(jìn)行的振。后來只按荷載頻率進(jìn)行的振動階段為振動的動階段為振動的平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段，稱為，稱為純受迫振動純受迫振動或或穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動。 2 2. .穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動分析 穩(wěn)態(tài)振動階段運(yùn)動方程的解穩(wěn)態(tài)振動階段運(yùn)動方程的解：tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max最大動位移最大動位移： )1 (122maxstyty動力系數(shù)動力系數(shù)：（1013） （1 1）動位移的討論）動位移的

36、討論動力系數(shù)動力系數(shù) 是是頻率比頻率比 的函數(shù)的函數(shù), ,它反映了干擾力與動位移之間的關(guān)系。它反映了干擾力與動位移之間的關(guān)系。 3211230共振區(qū)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 10即動位移與干擾力指向一致；即動位移與干擾力指向一致；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 10即動位移與干擾力指向相反。即動位移與干擾力指向相反。1 1） 01干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理。干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 01 01極限情況，即極限情況，即 或或 ，則，則 。意味著結(jié)構(gòu)為剛體。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在振動問題。或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存

37、在振動問題。 2 2） 1共振共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率, , 使使 或或 。 1.250.75體系處于靜止?fàn)顟B(tài)體系處于靜止?fàn)顟B(tài) 10max0y3 3）為減函數(shù)為減函數(shù)通過改變頻比可增加或減小振幅。通過改變頻比可增加或減小振幅。01應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；減小質(zhì)量；（2 2）降低振幅的措施：）降低振幅的措施： 頻率比頻率比2km應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。增大質(zhì)量。 1

38、)1 (122maxstyty3.3.動位移幅值（振幅）和動內(nèi)力幅值的計(jì)算動位移幅值（振幅）和動內(nèi)力幅值的計(jì)算（1 1）計(jì)算動力系數(shù)；）計(jì)算動力系數(shù)；（2 2）計(jì)算動荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)引起的位移和內(nèi)力；）計(jì)算動荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)引起的位移和內(nèi)力；（3 3）將位移和內(nèi)力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內(nèi)力幅值。）將位移和內(nèi)力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內(nèi)力幅值。 計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：例例1.1.求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知5 . 0tPsin1EIEIEIPPl/4解：解： 31124lEIkEIPlkPyst2431134/1122 EI

39、Plytyst3max181Pl/3動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max)1 (122kPPmPyst2例例2.2.求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移。求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移。，min/5001035210108.8445rnkNPkNQGPaEmIml解：解： 1113 .62/1SgmQm10722.0311Pyst4 .3/1122 m1045.23maxstytytPsinQ/2/2重力引起的彎矩重力引起的彎矩mkN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.

40、0487311EIlkN.m1041PlMst1 -S3 .526022nT最大動位移最大動位移最大動彎矩最大動彎矩kN.m34stDMM跨中最大彎矩跨中最大彎矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移 m1098.43maxmaxtyQ4.4.動荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算動荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算tPsin)(ty)(sin)(1112ymtPty )(tym tPsin12=111=1tPtytymsin)(1)(111211 PP1112*令令tPtytymsin)(1)(*11 styP運(yùn)動方程運(yùn)動方程tmPtytystsinsin)(2*穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解（2 2）列幅值方程求最

41、大動內(nèi)力列幅值方程求最大動內(nèi)力（動內(nèi)力幅值動內(nèi)力幅值）tAtysin)(tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tPtPsin)(同頻同步變化同頻同步變化 styPPPmPtyA1211111211*2*max仍是位移動力系數(shù)仍是位移動力系數(shù)是內(nèi)力動力系數(shù)嗎是內(nèi)力動力系數(shù)嗎? ?（1 1）求振幅）求振幅最大動位移（動位移幅值最大動位移（動位移幅值A(chǔ)）tmPtysin)(2* 根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得動內(nèi)力幅值力幅值同時(shí)作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得

42、動內(nèi)力幅值。122*PmPyst最大靜位移最大靜位移EIPllllEIPPyst4856522211312解解: :5 . 0例例1.1.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知tPsinEIl/2l/2)(ty2mAA34/1122EIPlyAst3365sty=1112/llPAmAmAFI4854411122PP485Pl965Pl4829動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖EIllllEI3322113115 . 0解解: :例例2.2.求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅。求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅。 0oMkmPA41032tPsinlkEIllA P2mA231mAAk32o

43、023233122lAklmAlmAPl( (a) a) ( (b)b)( (c)c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst5 . 0例例3.3.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知解解：(1)(1)計(jì)算動力系數(shù)計(jì)算動力系數(shù) 221431(2)(2)簡支梁的振幅簡支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16(3)(3)作動彎矩的幅值圖。作動彎矩的幅值圖。( (f)f)F4811FFl38483Fl19235FlEIEI

44、FlAmAmAFI48114841576114141331122max ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16采用沖量方法首先討論瞬時(shí)沖量的動力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討論采用沖量方法首先討論瞬時(shí)沖量的動力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討論一般動力荷載下的動力反應(yīng)。一般動力荷載下的動力反應(yīng)。1.1.瞬時(shí)沖量的動力反應(yīng)瞬時(shí)沖量的動力反應(yīng)F tF(t)S沖 量Ft o=t假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。 由于荷載作用時(shí)間極短，可以認(rèn)為在由于荷載作用時(shí)間極短，可以認(rèn)為在沖擊荷載作用沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移

45、仍完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止?fàn)顟B(tài)的質(zhì)點(diǎn)獲得止?fàn)顟B(tài)的質(zhì)點(diǎn)獲得速度速度而引起自由振動。而引起自由振動。 思考：思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？ 三、一般動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)三、一般動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng) 根據(jù)動量定律，質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)沖量根據(jù)動量定律，質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)沖量 F t 作用下的動量變化為作用下的動量變化為:StFmvmv0mSmtFv由于由于v0=0， 所以有所以有 原來初位移、初速度為零的體系原來初位移、初速度為零的體系, ,在沖擊荷載作用后的瞬間在沖擊

46、荷載作用后的瞬間, ,變成了初位移為零變成了初位移為零, ,初速度為初速度為 的自由振動問題。的自由振動問題。mtFtvtytysincos)(00由由(10-14)tmtFysin得得F tF(t)S沖 量Ft o=t 若沖擊荷載不是在若沖擊荷載不是在t0，而是，而是在在t =時(shí)作用，則上式中的時(shí)作用，則上式中的t 應(yīng)改為應(yīng)改為(t - )。)(t)(sintmtFyt dS=F ttFodF(t)由式由式(10-14)可得在可得在 t = 時(shí)作用瞬時(shí)沖量時(shí)作用瞬時(shí)沖量S引起的動力反應(yīng)：引起的動力反應(yīng)：tmtFysin(10-14)oF (t)=StF (t)F(t)tddd2.一般動力荷載

47、一般動力荷載F(t)的動力反應(yīng)的動力反應(yīng) 把整個(gè)加載過程看成是由一系把整個(gè)加載過程看成是由一系列瞬時(shí)沖量所組成的。在時(shí)刻列瞬時(shí)沖量所組成的。在時(shí)刻t = 作用的荷載為作用的荷載為F(t) ，此荷載在微分，此荷載在微分時(shí) 段時(shí) 段 d 內(nèi) 產(chǎn) 生 的 沖 量 為內(nèi) 產(chǎn) 生 的 沖 量 為dS=F(t)d 。根據(jù)式。根據(jù)式(10-14)，此，此微分沖量引起的動力反應(yīng)為：微分沖量引起的動力反應(yīng)為：)(sind)(dtmtFy對加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加，得出總反應(yīng)如下：對加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加，得出總反應(yīng)如下：稱為稱為杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分。d)(sin)(1)(0t

48、tFmtyt (10-15)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動 （1 1）基本思路：基本思路： 視為一系列瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和視為一系列瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和t tttt( )P tSP t0SP tmv 0SP tvmm( )sinSy ttmP( )sinsin()SSy tttmm(0)t 0t( )y t()t瞬時(shí)沖量瞬時(shí)沖量00( )cossinvy tyttt( )y tP(t)td( )dSPd( )sin()Pddytm01( )( )sin()ty tPtdm(Duhamel 積分積分)初始位移初始位移 y0

49、和初和初始速度始速度 v0 不為零不為零0001( )cossin( )sin()tvy tyttPtdmt時(shí)刻時(shí)刻的微分沖量對的微分沖量對t 瞬時(shí)瞬時(shí)(t )引引起的動力反應(yīng)起的動力反應(yīng)：微分沖量微分沖量01( )( )sin()ty tPtdm（2）一般動荷載的動力反應(yīng)）一般動荷載的動力反應(yīng)杜哈梅積分杜哈梅積分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 為零為零（1 1）突加荷載）突加荷載 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmysty(t)t023質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動位置作簡諧振動ystyst舉

50、例說明：舉例說明：000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdmmax ( )2sty ty3.幾種常見動力荷載下的動力反應(yīng)幾種常見動力荷載下的動力反應(yīng) （2）短時(shí)荷載）短時(shí)荷載 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt( )(1 cos)sty tyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載：同突加荷載：直接采用直接采用 Duhamel 積分積分 階段階段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 階段

51、階段 ( (t u) )：體系以：體系以 作自由振動。作自由振動。( ), ( )y uy u 2）方法二：利用突加荷載結(jié)論，分段討論。）方法二：利用突加荷載結(jié)論，分段討論。( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載：同突加荷載：( )(1 cos)sty uyu 3）方法三：）方法三：P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)sty tyt( )1 cos()sty tytu1)當(dāng)當(dāng)0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt

52、1 cos()stytu( )(1 cos)sty tytP(t)tPuy(t)t023討論主要針對討論主要針對u展開展開ystT/21 1）當(dāng)）當(dāng)u T/2，最大動位移最大動位移 發(fā)生在階段發(fā)生在階段max ( )2sty ty 2）當(dāng)）當(dāng)0u T/2，最大動位移，最大動位移發(fā)生在階段發(fā)生在階段( )2sinsin()22stuuy tytmax ( )2sin2stuy tymax ( )2sin2sty tuy uT1/611/22動力系數(shù)反應(yīng)譜動力系數(shù)反應(yīng)譜(T,u)12sin212 2uuTTuT當(dāng)當(dāng)最大動反應(yīng)的求解：最大動反應(yīng)的求解： （3 3）線性漸增荷載）線性漸增荷載 00 0

53、( ) rrrPttttP tPtt 當(dāng)當(dāng)P(t)tP0trsin()( )11sinsin()strrstrrryttttty tytttttt當(dāng)當(dāng) 對于這種線性漸增荷載，其動力反應(yīng)與對于這種線性漸增荷載，其動力反應(yīng)與升載時(shí)間升載時(shí)間tr的長短的長短有很大的關(guān)系。有很大的關(guān)系。00 0( ) rrrPttttP tPtt 當(dāng)當(dāng)P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0動力系數(shù)反應(yīng)譜動力系數(shù)反應(yīng)譜(T，tr )討論討論：與與tr的關(guān)系的關(guān)系例例. 有一重物有一重物Q =2kN從從20cm高處落到梁的中點(diǎn)，求梁的最大彎矩。已高處落到梁的中點(diǎn)，求梁的最大

54、彎矩。已 知梁的自重為知梁的自重為W =20kN，I=36104cm4, E =34102kN/cm2 。20cmQ3m3mW解：結(jié)構(gòu)在瞬時(shí)沖量作用下的動方程：解：結(jié)構(gòu)在瞬時(shí)沖量作用下的動方程：SySin tmmax1eSSySPmmm2QSmvghg重物與地面接觸時(shí)的速度為：重物與地面接觸時(shí)的速度為：沖量為：沖量為：1）求沖量：）求沖量： 結(jié)構(gòu)的最大位移：結(jié)構(gòu)的最大位移：/ 2ePSQWmg其中：其中：222QvQhvghg2）求頻率：）求頻率：等效靜荷載：等效靜荷載：將梁的重量一半作用在梁的中間，將梁的重量一半作用在梁的中間，一半作用在梁的兩邊。一半作用在梁的兩邊。()2gWQ348LEI

55、348260.3()2eQgEIPSghkNWgQL60.3kNmax70.3 64M3max670.348yEI跨中最跨中最大彎矩：大彎矩：跨中最跨中最大位移：大位移：10kN20cmQ3m3mW（1 1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系多層房屋、多層房屋、不等高排架等不等高排架等（2 2）為滿足計(jì)算精度的要求）為滿足計(jì)算精度的要求煙囪、煙囪、高聳建筑物等高聳建筑物等 基本方法基本方法剛度法：剛度法：柔度法：柔度法：按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動方程按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運(yùn)動方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運(yùn)動方程10.5 雙自由度體

56、系的自由振動（不計(jì)阻尼）雙自由度體系的自由振動（不計(jì)阻尼） 一一、剛度法剛度法( (以質(zhì)點(diǎn)為研究對象）以質(zhì)點(diǎn)為研究對象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)22( )m y t11( )m y t2K1K2m1m根據(jù)達(dá)郎伯原理，可列出方程：根據(jù)達(dá)郎伯原理，可列出方程：0111 Kym 0222 Kym （a）(c)12y1(t)y2(t)1K2K1.建立自由振動微分方程建立自由振動微分方程2K2K2m22ym 1K1m11ym 21KK、是質(zhì)點(diǎn)受到的彈力是質(zhì)點(diǎn)受到的彈力, ,與位移方向相反。與位移方向相反。121K2Ky1(t)y2(t)= =1211k21k11( )y t+ +1212

57、k22k12( )y t由上圖，可列出方程：由上圖，可列出方程：2121111ykykK2221212ykykK（b）把（把（b）代入（）代入（a），可列出自由振動微分方程：），可列出自由振動微分方程：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym （10-38）微分方程：微分方程：設(shè)解為：設(shè)解為：1122()()yYSintyY Sint（1）211222()()yYSintyY Sint （2）把（把（1）式、（）式、（2）式代入微分方程：）式代入微分方程：21111 112222221 1222()()()0()()()0mY Sintk

58、 Y Sintk Y SintmY Sintk Y Sintk Y Sint可求得：可求得：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 2.求自振頻率求自振頻率 頻率方程或頻率方程或（特征方程）（特征方程）：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齊次線性方程組：齊次線性方程組：自振頻率：自振頻率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk kk kmmmmm m2111122212220kmkDkkm較小的較小的 第一頻率（基頻），第一頻率（基頻）， 為第二頻率。為第二頻率

59、。12（10-39）（10-40）（10-41）2111112222112222()0()0kmYk Yk YkmY則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型。結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型。3.主振型主振型21122222211121YkkmYkmk 第一振型或基本振型第一振型或基本振型第二振型第二振型1122()()yYSintyY

60、 Sint（1） 常數(shù)tytyYY2121結(jié)結(jié) 論論(1) 在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。(2) 多自由度體系自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與體多自由度體系自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與體系自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。系自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。(3) 每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型是每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動時(shí)所具有的特定多自由度體系能夠按單自由度振動時(shí)所具有的特定形式。形式。(4)與單自