第10章結構動力計算基礎

1、基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動的計算基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動的計算( (微分方程的微分方程的 建立建立、求解、自振周期和自振頻率的計算）、求解、自振周期和自振頻率的計算）； 了解單自由度體系強迫振動的計算；了解單自由度體系強迫振動的計算； 了解兩個自由度體系自由振動的計算。了解兩個自由度體系自由振動的計算。教學內容：教學內容：動力計算的特點和動力自由度動力計算的特點和動力自由度單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 單自由度體系的強迫振動單自由度體系的強迫振動 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體系的自由振動 第第10章章 結構動力計算基礎結構動力計算基礎1.1.動

2、力荷載與靜力荷載動力荷載與靜力荷載靜力荷載靜力荷載是指大小、方向和作用位置是指大小、方向和作用位置不隨時間不隨時間變化或變化變化或變化很小的荷載。這類荷載對結構產生的很小的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力較小慣性力較小因而可以忽略不計因而可以忽略不計，由它所引起的內力和變形都，由它所引起的內力和變形都是確定的。是確定的。動力荷載動力荷載是指其大小、方向和作用位置是指其大小、方向和作用位置隨時間隨時間而變化的荷而變化的荷載。這類荷載對結構產生的載。這類荷載對結構產生的慣性力較大因而不能慣性力較大因而不能忽略忽略，由它所引起的內力和變形都是，由它所引起的內力和變形都是坐標和時間坐標和時間的函數(shù)的函

3、數(shù)。10.1 動力計算的特點和動力自由度動力計算的特點和動力自由度一、動力荷載的概念及分類一、動力荷載的概念及分類區(qū)別：區(qū)別：靜力荷載只與靜力荷載只與作用位置有關作用位置有關，而動力荷載的變化，而動力荷載的變化是坐標和時間的是坐標和時間的 函數(shù)函數(shù)。 （1 1）周期荷載周期荷載隨時間作周期性變化隨時間作周期性變化2.2.動力荷載的分類動力荷載的分類確定性確定性非確定性（隨機荷載）非確定性（隨機荷載）周期荷載周期荷載非周期荷載非周期荷載P(t )t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）Pt一般周期荷載一般周期荷載簡諧荷載：最簡單的周期荷載，隨時間按簡諧荷載：最簡單的周期荷載，隨

4、時間按正弦或余弦正弦或余弦規(guī)律變化。如規(guī)律變化。如 機器轉動時轉子做勻速轉動時就會產生這種荷載。機器轉動時轉子做勻速轉動時就會產生這種荷載。非簡諧荷載非簡諧荷載：按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對 堤壩的動水壓力；輪船螺旋槳產生的推力等。堤壩的動水壓力；輪船螺旋槳產生的推力等。突加荷載突加荷載：突然施加在結構上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的突然施加在結構上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的 卷揚機突然開動時施加于鋼絲繩上的荷載。卷揚機突然開動時施加于鋼絲繩上的荷載。沖擊荷載：短時間內劇增或劇減沖擊荷載：短時間內劇增或劇減P(t)

5、ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷載突加荷載（2）非周期荷載）非周期荷載沖擊荷載：在很短時間內，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、沖擊荷載：在很短時間內，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、 打樁機的錘頭對樁柱的沖擊等。打樁機的錘頭對樁柱的沖擊等。（3 3）隨機荷載隨機荷載荷載有很大的隨意性，任一時刻的數(shù)值無法確定，荷載有很大的隨意性，任一時刻的數(shù)值無法確定， 如地震荷載、風荷載、海浪對堤岸、碼頭的沖擊等。如地震荷載、風荷載、海浪對堤岸、碼頭的沖擊等。 1.1.地震作用下建筑結構的震動；地震作用下建筑結構的震動；二、常見的動力問題二、常見的動力問題2.2.風荷載作用下大型橋梁、高

6、層結構的振動；風荷載作用下大型橋梁、高層結構的振動；3.3.機器轉動產生的不平衡力引起的大型機器基礎的振動；機器轉動產生的不平衡力引起的大型機器基礎的振動；4.4.車輛運行中由于路面不平順引起的車輛振動及車輛引車輛運行中由于路面不平順引起的車輛振動及車輛引 起的路面振動；起的路面振動；5.5.爆炸荷載作用下防護工事的沖擊動力反應；爆炸荷載作用下防護工事的沖擊動力反應；6.6.海洋工程結構在波浪、冰凌、臺風等動力荷載作用下的海洋工程結構在波浪、冰凌、臺風等動力荷載作用下的 反應等等，量大而面廣。反應等等，量大而面廣。三、結構動力計算的特點三、結構動力計算的特點1.1.結構動力學的主要特征結構動力

7、學的主要特征 由于荷載隨時間變化較快，所產生的慣性力不容忽視。因此，由于荷載隨時間變化較快，所產生的慣性力不容忽視。因此，考慮考慮慣性力的影響慣性力的影響是結構動力學的最主要特征。是結構動力學的最主要特征。 達朗伯原理達朗伯原理：在質點運動的任一瞬時，作用于質點上的所有的主動：在質點運動的任一瞬時，作用于質點上的所有的主動力、約束反力與虛加在質點上的慣性力在形式上構成一平衡力系力、約束反力與虛加在質點上的慣性力在形式上構成一平衡力系（即主動力、約束反力和質點的慣性力的矢量和等于零）。（即主動力、約束反力和質點的慣性力的矢量和等于零）。動靜法動靜法：根據(jù)達朗伯原理，動力計算問題可以轉化為：根據(jù)達

8、朗伯原理，動力計算問題可以轉化為靜力平衡問題靜力平衡問題來求解，這種方法稱為動靜法。來求解，這種方法稱為動靜法。2.2.結構動力計算的原理和方法結構動力計算的原理和方法靜力計算靜力計算靜力平衡方程靜力平衡方程荷載、約束力、內荷載、約束力、內力、位移是不隨時力、位移是不隨時間變化的常量間變化的常量動力計算動力計算動力平衡方程動力平衡方程荷載、約束力、內荷載、約束力、內力、位移是隨時間力、位移是隨時間變化的函數(shù)變化的函數(shù)引進慣性力（達朗伯原理）引進慣性力（達朗伯原理）瞬時的靜力平衡問題瞬時的靜力平衡問題3.3.靜力計算與動力計算的區(qū)別靜力計算與動力計算的區(qū)別動力平衡動力平衡的特點的特點：與靜力平衡

9、不同，動力平衡只是形式上的平衡，：與靜力平衡不同，動力平衡只是形式上的平衡， 是在引進是在引進慣性力慣性力條件下的平衡條件下的平衡。（1）在所考慮的力系中要包括慣性力；）在所考慮的力系中要包括慣性力；（2）所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內力、位移、速度、加速所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內力、位移、速度、加速 度等都是時間的函數(shù)。度等都是時間的函數(shù)。慣性力慣性力：當質點受力作用而改變其原來的運動狀態(tài)時，由于質點的：當質點受力作用而改變其原來的運動狀態(tài)時，由于質點的慣性產生對外界反抗的反作用力稱為質點的慣性力。慣性產生對外界反抗的反作用力稱為質點的慣性力。慣性力的方向慣性力的方向與加速度方向相反

10、，大小等于質點的質量與加速度的乘積。與加速度方向相反，大小等于質點的質量與加速度的乘積。amFG 即注意：注意：質點的慣性力并不是質點本身受到的力，而是質點作用于施質點的慣性力并不是質點本身受到的力，而是質點作用于施 力物體上的力。力物體上的力。)(tP)(ty )()(tPtym )(tP)()(tymtP 0)()(tymtP )(tP)(tym amF 在動荷載作用下，結構的動力反應（動內力、動位移等）都在動荷載作用下，結構的動力反應（動內力、動位移等）都隨時間變化，它除與隨時間變化，它除與動力荷載動力荷載的變化規(guī)律有關外，還與結構的的變化規(guī)律有關外，還與結構的固固有特性有特性（自振頻率

11、、振型和阻尼）有關。（自振頻率、振型和阻尼）有關。 不同的結構，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在不同的結構，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應。可見，結構的固有特性能確定動相同的荷載下具有相同的反應?？梢?，結構的固有特性能確定動力荷載下的反應，故稱之為力荷載下的反應，故稱之為結構的動力特性結構的動力特性。4 4動力反應的特點動力反應的特點5 5結構動力計算的目的結構動力計算的目的 研究結構在動荷載作用下的反應規(guī)律，找出動荷載作用下結構研究結構在動荷載作用下的反應規(guī)律，找出動荷載作用下結構的的最大動內力最大動內力和和最大動位移最大動位移，為結構的動力可靠性

12、設計提供依據(jù)。，為結構的動力可靠性設計提供依據(jù)。 1940 1940年美國西海岸華盛頓州建成了一座當時位居世界第三的年美國西海岸華盛頓州建成了一座當時位居世界第三的TacomaTacoma大橋，大橋中央跨距為大橋，大橋中央跨距為853853米，為懸索橋結構，設計可以抗米，為懸索橋結構，設計可以抗6060米米/ /秒的大風，但不幸的是大橋剛建成四個月就在秒的大風，但不幸的是大橋剛建成四個月就在1919米米/ /秒的小風秒的小風吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風旋渦脫落的頻率與懸索橋板的吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風旋渦脫落的頻率與懸索橋板的固有頻率一致，從而產生了強烈的固有頻率一致，從而產生了強

13、烈的共振共振。因此盡管橋塌毀的這天風。因此盡管橋塌毀的這天風并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。 強迫振動強迫振動：結構在動荷載作用下產生的振動。研究結構的強迫振結構在動荷載作用下產生的振動。研究結構的強迫振 動，可得到結構的動力反應。動，可得到結構的動力反應。 四、自由振動和強迫振動四、自由振動和強迫振動自由振動自由振動：結構在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起的結構在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起的 振動。研究結構的自由振動，可得到結構的自振頻率、振動。研究結構的自由振動，可得到結構的自振頻率、 振型和阻尼參數(shù)。振型和阻尼參數(shù)。五、動力計算中體系

14、的自由度五、動力計算中體系的自由度1.1.動力自由度的定義動力自由度的定義確定體系運動過程中任一時刻確定體系運動過程中任一時刻全部質量全部質量位置所需的位置所需的獨立幾何參數(shù)獨立幾何參數(shù)數(shù)目數(shù)目，稱為體系的動力自由度。，稱為體系的動力自由度。 動力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達朗伯原理，慣性力與動力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達朗伯原理，慣性力與質量和加速度有關，這就要求分析質量分布和質量位移，所以，動力質量和加速度有關，這就要求分析質量分布和質量位移，所以，動力學一般將學一般將質量位移作為基本未知量質量位移作為基本未知量。2.2.動力自由度簡化方法動力自由度簡化方法 嚴格意義

15、上講，實際結構都是具有分布質量的彈性體，是無限自由度嚴格意義上講，實際結構都是具有分布質量的彈性體，是無限自由度體系。體系。 實際結構動力自由度簡化方法有：實際結構動力自由度簡化方法有：應用中存在的問題：應用中存在的問題：（1 1）計算復雜，有時甚至無法求解；）計算復雜，有時甚至無法求解； （2 2）從工程角度沒有必要。）從工程角度沒有必要。故，故，為計算方便，實際結構通常簡化為有限自由度為計算方便，實際結構通常簡化為有限自由度體系。體系。 集中質量法集中質量法 廣義坐標法廣義坐標法 有限單元法有限單元法 根據(jù)自由度的數(shù)目，結構可分為單自由度體系，多自由度體系根據(jù)自由度的數(shù)目，結構可分為單自由

16、度體系，多自由度體系和無限自由度體系。和無限自由度體系。 將連續(xù)分布的結構質量按一定的力學原則集中到若干幾將連續(xù)分布的結構質量按一定的力學原則集中到若干幾何點上，使結構只在這些點上有質量何點上，使結構只在這些點上有質量，除這些點之外物體是無除這些點之外物體是無質量的質量的從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。 （1 1）集中質量法）集中質量法m本章主要討論集中質量法。本章主要討論集中質量法。 （2 2）廣義坐標法廣義坐標法 m)(xy1)()(iiixaxyniiixaxy1)()(ia0)()0(lii)(xi滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)滿

17、足位移邊界條件的形狀函數(shù) （3 3）有限元法）有限元法 綜合了集中質量法和廣義坐標法的綜合了集中質量法和廣義坐標法的特點特點,將實際結構離散為有限個單元的集將實際結構離散為有限個單元的集合，以合，以結點位移結點位移作為廣義坐標，將無限作為廣義坐標，將無限自由度問題化為有限自由度問題。自由度問題化為有限自由度問題。m廣義坐標個數(shù)即廣義坐標個數(shù)即為自由度個數(shù)為自由度個數(shù)結點位移個數(shù)即結點位移個數(shù)即為自由度個數(shù)為自由度個數(shù)mm梁梁my(t)1 1個質點個質點1 1個自由度個自由度廠房排架水平振動廠房排架水平振動時的計算簡圖時的計算簡圖EIEI2EImy(t)1個質點個質點1個自由度個自由度2個質點個

18、質點2個自由度個自由度1個質點個質點2個自由度個自由度說明：說明：自由度數(shù)目與質點數(shù)目不一定相等。自由度數(shù)目與質點數(shù)目不一定相等?？偨Y：總結：動力計算中的自由度數(shù)目動力計算中的自由度數(shù)目與結構中質點的數(shù)目和結構的幾與結構中質點的數(shù)目和結構的幾何組成無關。何組成無關。)(xmy(x,t)x無限自由度體系無限自由度體系y1y23. 3. 自由度的確定自由度的確定 1) 1) 平面上的一個質點平面上的一個質點1y2y彈性支座不減少動力自由度彈性支座不減少動力自由度計軸變時計軸變時不計軸變時不計軸變時為減少動力自由度，梁與剛架不為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。計軸向變形。1yEI自由度數(shù)與質點

19、個數(shù)無關，但自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的不大于質點個數(shù)的2 2倍。倍。1y2y1y2yEImEI結論：結論： 結構動力自由度數(shù)目與質點的個數(shù)無關結構動力自由度數(shù)目與質點的個數(shù)無關 結構動力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關結構動力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？思考：思考： 自由振動的概念：自由振動的概念：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。體系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動產生原因：自由振動產生原因：體系在初始時刻（體系在初始時刻（t=t=0 0）受到外界的干擾，由受到外界的干擾，由初位移初位移

20、或或初速度初速度引起。引起。1 1）很多實際的動力問題都可按單自由度體系進行動力分析或進行）很多實際的動力問題都可按單自由度體系進行動力分析或進行 初步估算。初步估算。hy(t)10.2 單自由度體系的自由振動（不計阻尼）單自由度體系的自由振動（不計阻尼） 單自由度體系的自由振動分析的必要單自由度體系的自由振動分析的必要性：性： 2 2）單自由度體系自由振動的分析是單自由度體系受迫振動和多）單自由度體系自由振動的分析是單自由度體系受迫振動和多自自 由度振動分析的基礎。由度振動分析的基礎。 要掌握單自由度體系的動力反要掌握單自由度體系的動力反應的規(guī)律，必須首先建立其運動方應的規(guī)律，必須首先建立其

21、運動方程。下面介紹建立在程。下面介紹建立在達朗伯原理基達朗伯原理基礎上的礎上的“動靜法動靜法”。 分析自由振動的目的分析自由振動的目的：確定結構的動力確定結構的動力特性（自振頻率特性（自振頻率、自振周期）。自振周期）。 一、自由振動微分方程的建立一、自由振動微分方程的建立 單自由度體系的自由振動及相應的彈單自由度體系的自由振動及相應的彈簧簧- -質量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標質量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標原點，在原點，在t 時刻，質量時刻，質量m的位移為的位移為 y(t)。1.剛度法建立平衡方程：剛度法建立平衡方程：（以質點為研究對象）（以質點為研究對象） 取質量取質量m為隔離體，作用

22、在隔離體上的力：為隔離體，作用在隔離體上的力：慣性力慣性力)(tym 與加速度與加速度 y 方向相反。方向相反。 動平衡方程：動平衡方程： 0)()(tkytym 彈性力彈性力- -ky(t)與位移方向相反；與位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)( )my t(b)(c)2.柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：（以結構整體為研究對象）（以結構整體為研究對象）質量質量m在在t 時刻的位移時刻的位移y(t)是由此時作用在質量上的慣性力產生的，是由此時作用在質量上的慣性力產生的，位移方程為：位移方程為：)()(tymty 0)(1)(tytym (a) 單自由度體系

23、：單自由度體系： 1k (b) 式（式（10101 1）或（）或（a a）稱為單自由度體系自由振動運動方程（微分方程）。）稱為單自由度體系自由振動運動方程（微分方程）。y(t)mk( )my t =mk1( )my t 將（將（b b）代入（）代入（a a）整理后，即為（）整理后，即為（10-110-1）式。）式。對單自由度體系來說：對單自由度體系來說：上式可用功的互等定理加以證明：上式可用功的互等定理加以證明：mk1mkk1根據(jù)功的互等定理，有：根據(jù)功的互等定理，有：1 1 k 1 k 1k二、自由振動微分方程的解二、自由振動微分方程的解 單自由度體系自由振動微分方程寫為：單自由度體系自由振

24、動微分方程寫為： 02yy （102）式中式中： mmk12其通解為：其通解為： tCtCty cossin)(21當初始條件當初始條件 0)0(yy0)0(vy二階齊次線性常微分方程二階齊次線性常微分方程02yC 01vC 式（式（103）還可寫成）還可寫成：)sin()(taty（104）式中：式中： 22020vya001tanvy（105） 不計阻尼時，單自由度體系的自由振動是由不計阻尼時，單自由度體系的自由振動是由初位移初位移和和初速度初速度引引起的簡諧振動。起的簡諧振動。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （103）三、結構的自振周期和自振頻率三、結構的自振周

25、期和自振頻率 )2()2(sin)2sin()sin()(tytatataty由式（由式（10104 4）：y(t)是周期函數(shù)是周期函數(shù) 2T自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）T 2自振頻率（固有頻率）自振頻率（固有頻率） 1. 1. 結構自振周期結構自振周期 和自振頻率和自振頻率 的各種等價計算公式的各種等價計算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk1111111 理解這些公式各符號的含義，由其中一個公式便可得到其他公式。理解這些公式各符號的含義，由其中一個公式便可得到其他公式。T 自振頻率和周期的計算方法自振頻率和周期的計算方法：(1)(1)利用計算公式利用計算公式111

26、121mmk11,WmgWststg2(2)(2)利用機械能守恒利用機械能守恒（能量法）（能量法）)(cos21)(21)(2222tmatymtT質點動能)(sin21)(21)(2211211taktyktU變形能222maxmax2121kamaUT2. 2. 結構自振周期結構自振周期T（或自振頻率（或自振頻率）的性質）的性質 （1）自振周期只與結構的質量和剛度有關，與外部干擾因素無關，自振周期只與結構的質量和剛度有關，與外部干擾因素無關， 它是結構本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。它是結構本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。（2 2）自振周期與質量的平方根成正比，與剛度的

27、平方根成反比，改自振周期與質量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比，改 變結構的質量或剛度可改變其自振周期。變結構的質量或剛度可改變其自振周期。（3 3）自振周期是結構動力性能的一個很重要的數(shù)量標志。不管實自振周期是結構動力性能的一個很重要的數(shù)量標志。不管實際際 結構是否相同，若自振周期相同，結構的動力反應也相同。結構是否相同，若自振周期相同，結構的動力反應也相同。3. 3. 簡諧自由振動的特性簡諧自由振動的特性 位移位移： )sin()(taty加速度加速度： )sin()(2taty 慣性力慣性力： )sin()(2tmatymFI 位移與慣性力作位移與慣性力作同頻同步同頻同步振動。振動。

28、 111kEIl)(ty2maaa位移幅值（最大值）位移幅值（最大值）ma2慣性力最大值慣性力最大值4. 4. 算例算例 例例1.1.求圖示體系的自振頻率和自振周期。求圖示體系的自振頻率和自振周期。 mmEIEIEILL解解：1LLM1圖 圖示結構體系雖有兩個質量，但它們沿同一直線（水平方向）圖示結構體系雖有兩個質量，但它們沿同一直線（水平方向）運動，故仍為單自由度體系。如圖（運動，故仍為單自由度體系。如圖（b b）示，作）示，作 圖圖 1M柔度系數(shù)柔度系數(shù) EIl323自振頻率自振頻率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2 2圖示排架的橫梁為剛

29、性桿，質量為圖示排架的橫梁為剛性桿，質量為m，柱質量不計，柱質量不計, ,求其自振求其自振 頻率。頻率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3解解：不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作 圖，求出剛度系數(shù)圖，求出剛度系數(shù)1M36hEIk 自振頻率自振頻率 36mhEImk 例例3 3求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 EI2mmABCkl/2l/2l/4解：（解：（1 1）求各質點處的慣性力幅值，作體系的受力圖）求各質點處的慣性力幅值，作體系的受力圖A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 設該體系轉動時，轉角的

30、幅值為設該體系轉動時，轉角的幅值為 。當位移達到幅值時，質量。當位移達到幅值時，質量 2m 和和m上的慣性力也同時達到幅值。上的慣性力也同時達到幅值。 （2 2）在幅值處列出動平衡方程，求體系自振頻率）在幅值處列出動平衡方程，求體系自振頻率 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 慣性力慣性力： )sin()(2tmatymFI 在質點在質點2m處最大處最大慣性力慣性力： 2222lmmaFI在質點在質點m處最大處最大慣性力慣性力： 2245lmmaFI例例4.4.求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. . 222222222max29

31、)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解解: :mk95lmEImlllkk)(t1.1.能量法能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.2.列幅值方程列幅值方程22lm 22lm 2mllklk2A 0AM0222222222lkllmllmllkllml059222klmlmk95例例5.5.求圖示體系的自振頻率和周期。求圖示體系的自振頻率和周期。3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl312723lEI例例6.6.質點重質點重W，求體系的頻率

32、和周期求體系的頻率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk3310.3 單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）單自由度體系的強迫振動（不計阻尼） 強迫振動強迫振動結構在動力荷載作用下的振動，也叫結構在動力荷載作用下的振動，也叫受迫振動受迫振動。一一. .強迫振動的運動微分方程強迫振動的運動微分方程 tFtkytymP)()( EIl)(tyP(t)運動方程運動方程或或 mtFtytyP)()(2 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)（1 10 01111） 式中式中 km結構的自振頻率結構的自振頻率 式（式（1 10 011)11)為單自由

33、度體系強迫振動的運動為單自由度體系強迫振動的運動方程。方程。 單自由度體系在動荷載下的振動及相應單自由度體系在動荷載下的振動及相應的振動模型如圖示的振動模型如圖示: : EIl)(tyP( (t) )tPtPsin)(P 荷載幅值荷載幅值荷載頻率荷載頻率運動方程運動方程)()()(*tytyty先求方程特解先求方程特解： tmPtytysin)()(2 tAtysin)(*222221)(mPmPA二、簡諧荷載作用下的受迫振動二、簡諧荷載作用下的受迫振動1.1.運動方程的建立及求解運動方程的建立及求解齊次解：齊次解： tCtCtycossin)(21tytCtCtystsin)1 (1coss

34、in)(2221222221)(mPmPA通解為：通解為： PmPyst2荷載幅值作為靜荷載所引起的荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移最大靜位移tytAtystsin11sin)(22*積分常數(shù)積分常數(shù) 由初始條件確定，設在由初始條件確定，設在t = 0時的初位移和初速度時的初位移和初速度均為零，則得均為零，則得12,CC運動方程的解為：運動方程的解為：0,12221CyCstttytystsinsin)1 (1)(22（1012） 式（式（1 10-120-12）中第一項為動荷載引起的振動）中第一項為動荷載引起的振動; ;第二項為初始條件引起第二項為初始條件引起的自由振動。實際上，由于阻尼

35、的存在，自由振動部分都很快衰減掉。的自由振動。實際上，由于阻尼的存在，自由振動部分都很快衰減掉。自由振動消失前的振動階段稱為自由振動消失前的振動階段稱為過渡階段過渡階段。后來只按荷載頻率進行的振。后來只按荷載頻率進行的振動階段為振動的動階段為振動的平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段，稱為，稱為純受迫振動純受迫振動或或穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動。 2 2. .穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動分析 穩(wěn)態(tài)振動階段運動方程的解穩(wěn)態(tài)振動階段運動方程的解：tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max最大動位移最大動位移： )1 (122maxstyty動力系數(shù)動力系數(shù)：（1013） （1 1）動位移的討論）動位移的

36、討論動力系數(shù)動力系數(shù) 是是頻率比頻率比 的函數(shù)的函數(shù), ,它反映了干擾力與動位移之間的關系。它反映了干擾力與動位移之間的關系。 3211230共振區(qū)當當 時，時， 10即動位移與干擾力指向一致；即動位移與干擾力指向一致；當當 時，時， 10即動位移與干擾力指向相反。即動位移與干擾力指向相反。1 1） 01干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。當當 時，時， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 01 01極限情況，即極限情況，即 或或 ，則，則 。意味著結構為剛體。意味著結構為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。或荷載不隨時間變化，因此不存

37、在振動問題。 2 2） 1共振共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率, , 使使 或或 。 1.250.75體系處于靜止狀態(tài)體系處于靜止狀態(tài) 10max0y3 3）為減函數(shù)為減函數(shù)通過改變頻比可增加或減小振幅。通過改變頻比可增加或減小振幅。01應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度，應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度，減小質量；減小質量；（2 2）降低振幅的措施：）降低振幅的措施： 頻率比頻率比2km應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度，應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度，增大質量。增大質量。 1

38、)1 (122maxstyty3.3.動位移幅值（振幅）和動內力幅值的計算動位移幅值（振幅）和動內力幅值的計算（1 1）計算動力系數(shù)；）計算動力系數(shù)；（2 2）計算動荷載幅值作為靜荷載作用時引起的位移和內力；）計算動荷載幅值作為靜荷載作用時引起的位移和內力；（3 3）將位移和內力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內力幅值。）將位移和內力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內力幅值。 計算步驟：計算步驟：例例1.1.求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知5 . 0tPsin1EIEIEIPPl/4解：解： 31124lEIkEIPlkPyst2431134/1122 EI

39、Plytyst3max181Pl/3動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max)1 (122kPPmPyst2例例2.2.求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移。求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移。，min/5001035210108.8445rnkNPkNQGPaEmIml解：解： 1113 .62/1SgmQm10722.0311Pyst4 .3/1122 m1045.23maxstytytPsinQ/2/2重力引起的彎矩重力引起的彎矩mkN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.

40、0487311EIlkN.m1041PlMst1 -S3 .526022nT最大動位移最大動位移最大動彎矩最大動彎矩kN.m34stDMM跨中最大彎矩跨中最大彎矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移 m1098.43maxmaxtyQ4.4.動荷載不作用于質點時的計算動荷載不作用于質點時的計算tPsin)(ty)(sin)(1112ymtPty )(tym tPsin12=111=1tPtytymsin)(1)(111211 PP1112*令令tPtytymsin)(1)(*11 styP運動方程運動方程tmPtytystsinsin)(2*穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解（2 2）列幅值方程求最

41、大動內力列幅值方程求最大動內力（動內力幅值動內力幅值）tAtysin)(tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tPtPsin)(同頻同步變化同頻同步變化 styPPPmPtyA1211111211*2*max仍是位移動力系數(shù)仍是位移動力系數(shù)是內力動力系數(shù)嗎是內力動力系數(shù)嗎? ?（1 1）求振幅）求振幅最大動位移（動位移幅值最大動位移（動位移幅值A）tmPtysin)(2* 根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾將慣性力幅值和干擾力幅值同時作用在體系上，按靜力學計算方法便可求得動內力幅值力幅值同時作用在體系上，按靜力學計算方法便可求得

42、動內力幅值。122*PmPyst最大靜位移最大靜位移EIPllllEIPPyst4856522211312解解: :5 . 0例例1.1.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知tPsinEIl/2l/2)(ty2mAA34/1122EIPlyAst3365sty=1112/llPAmAmAFI4854411122PP485Pl965Pl4829動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖EIllllEI3322113115 . 0解解: :例例2.2.求圖示體系右端的質點振幅。求圖示體系右端的質點振幅。 0oMkmPA41032tPsinlkEIllA P2mA231mAAk32o

43、023233122lAklmAlmAPl( (a) a) ( (b)b)( (c)c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst5 . 0例例3.3.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知解解：(1)(1)計算動力系數(shù)計算動力系數(shù) 221431(2)(2)簡支梁的振幅簡支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16(3)(3)作動彎矩的幅值圖。作動彎矩的幅值圖。( (f)f)F4811FFl38483Fl19235FlEIEI

44、FlAmAmAFI48114841576114141331122max ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論一般動力荷載下的動力反應。一般動力荷載下的動力反應。1.1.瞬時沖量的動力反應瞬時沖量的動力反應F tF(t)S沖 量Ft o=t假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。 由于荷載作用時間極短，可以認為在由于荷載作用時間極短，可以認為在沖擊荷載作用沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移

45、仍完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止狀態(tài)的質點獲得止狀態(tài)的質點獲得速度速度而引起自由振動。而引起自由振動。 思考：思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？ 三、一般動力荷載作用下結構的動力反應三、一般動力荷載作用下結構的動力反應 根據(jù)動量定律，質點在瞬時沖量根據(jù)動量定律，質點在瞬時沖量 F t 作用下的動量變化為作用下的動量變化為:StFmvmv0mSmtFv由于由于v0=0， 所以有所以有 原來初位移、初速度為零的體系原來初位移、初速度為零的體系, ,在沖擊荷載作用后的瞬間在沖擊

46、荷載作用后的瞬間, ,變成了初位移為零變成了初位移為零, ,初速度為初速度為 的自由振動問題。的自由振動問題。mtFtvtytysincos)(00由由(10-14)tmtFysin得得F tF(t)S沖 量Ft o=t 若沖擊荷載不是在若沖擊荷載不是在t0，而是，而是在在t =時作用，則上式中的時作用，則上式中的t 應改為應改為(t - )。)(t)(sintmtFyt dS=F ttFodF(t)由式由式(10-14)可得在可得在 t = 時作用瞬時沖量時作用瞬時沖量S引起的動力反應：引起的動力反應：tmtFysin(10-14)oF (t)=StF (t)F(t)tddd2.一般動力荷載

47、一般動力荷載F(t)的動力反應的動力反應 把整個加載過程看成是由一系把整個加載過程看成是由一系列瞬時沖量所組成的。在時刻列瞬時沖量所組成的。在時刻t = 作用的荷載為作用的荷載為F(t) ，此荷載在微分，此荷載在微分時 段時 段 d 內 產 生 的 沖 量 為內 產 生 的 沖 量 為dS=F(t)d 。根據(jù)式。根據(jù)式(10-14)，此，此微分沖量引起的動力反應為：微分沖量引起的動力反應為：)(sind)(dtmtFy對加載過程中產生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：對加載過程中產生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：稱為稱為杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分。d)(sin)(1)(0t

48、tFmtyt (10-15)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 （1 1）基本思路：基本思路： 視為一系列瞬時沖量連續(xù)作用下響應的總和視為一系列瞬時沖量連續(xù)作用下響應的總和t tttt( )P tSP t0SP tmv 0SP tvmm( )sinSy ttmP( )sinsin()SSy tttmm(0)t 0t( )y t()t瞬時沖量瞬時沖量00( )cossinvy tyttt( )y tP(t)td( )dSPd( )sin()Pddytm01( )( )sin()ty tPtdm(Duhamel 積分積分)初始位移初始位移 y0

49、和初和初始速度始速度 v0 不為零不為零0001( )cossin( )sin()tvy tyttPtdmt時刻時刻的微分沖量對的微分沖量對t 瞬時瞬時(t )引引起的動力反應起的動力反應：微分沖量微分沖量01( )( )sin()ty tPtdm（2）一般動荷載的動力反應）一般動荷載的動力反應杜哈梅積分杜哈梅積分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 為零為零（1 1）突加荷載）突加荷載 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmysty(t)t023質點圍繞靜力平衡質點圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動位置作簡諧振動ystyst舉

50、例說明：舉例說明：000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdmmax ( )2sty ty3.幾種常見動力荷載下的動力反應幾種常見動力荷載下的動力反應 （2）短時荷載）短時荷載 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt( )(1 cos)sty tyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載：同突加荷載：直接采用直接采用 Duhamel 積分積分 階段階段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 階段

51、階段 ( (t u) )：體系以：體系以 作自由振動。作自由振動。( ), ( )y uy u 2）方法二：利用突加荷載結論，分段討論。）方法二：利用突加荷載結論，分段討論。( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載：同突加荷載：( )(1 cos)sty uyu 3）方法三：）方法三：P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)sty tyt( )1 cos()sty tytu1)當當0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt

52、1 cos()stytu( )(1 cos)sty tytP(t)tPuy(t)t023討論主要針對討論主要針對u展開展開ystT/21 1）當）當u T/2，最大動位移最大動位移 發(fā)生在階段發(fā)生在階段max ( )2sty ty 2）當）當0u T/2，最大動位移，最大動位移發(fā)生在階段發(fā)生在階段( )2sinsin()22stuuy tytmax ( )2sin2stuy tymax ( )2sin2sty tuy uT1/611/22動力系數(shù)反應譜動力系數(shù)反應譜(T,u)12sin212 2uuTTuT當當最大動反應的求解：最大動反應的求解： （3 3）線性漸增荷載）線性漸增荷載 00 0

53、( ) rrrPttttP tPtt 當當P(t)tP0trsin()( )11sinsin()strrstrrryttttty tytttttt當當 對于這種線性漸增荷載，其動力反應與對于這種線性漸增荷載，其動力反應與升載時間升載時間tr的長短的長短有很大的關系。有很大的關系。00 0( ) rrrPttttP tPtt 當當P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0動力系數(shù)反應譜動力系數(shù)反應譜(T，tr )討論討論：與與tr的關系的關系例例. 有一重物有一重物Q =2kN從從20cm高處落到梁的中點，求梁的最大彎矩。已高處落到梁的中點，求梁的最大

54、彎矩。已 知梁的自重為知梁的自重為W =20kN，I=36104cm4, E =34102kN/cm2 。20cmQ3m3mW解：結構在瞬時沖量作用下的動方程：解：結構在瞬時沖量作用下的動方程：SySin tmmax1eSSySPmmm2QSmvghg重物與地面接觸時的速度為：重物與地面接觸時的速度為：沖量為：沖量為：1）求沖量：）求沖量： 結構的最大位移：結構的最大位移：/ 2ePSQWmg其中：其中：222QvQhvghg2）求頻率：）求頻率：等效靜荷載：等效靜荷載：將梁的重量一半作用在梁的中間，將梁的重量一半作用在梁的中間，一半作用在梁的兩邊。一半作用在梁的兩邊。()2gWQ348LEI

55、348260.3()2eQgEIPSghkNWgQL60.3kNmax70.3 64M3max670.348yEI跨中最跨中最大彎矩：大彎矩：跨中最跨中最大位移：大位移：10kN20cmQ3m3mW（1 1）因結構特征必須簡化為多自由度體系）因結構特征必須簡化為多自由度體系多層房屋、多層房屋、不等高排架等不等高排架等（2 2）為滿足計算精度的要求）為滿足計算精度的要求煙囪、煙囪、高聳建筑物等高聳建筑物等 基本方法基本方法剛度法：剛度法：柔度法：柔度法：按結構的位移協(xié)調條件建立運動方程按結構的位移協(xié)調條件建立運動方程按質量的力平衡條件建立運動方程按質量的力平衡條件建立運動方程10.5 雙自由度體

56、系的自由振動（不計阻尼）雙自由度體系的自由振動（不計阻尼） 一一、剛度法剛度法( (以質點為研究對象）以質點為研究對象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)22( )m y t11( )m y t2K1K2m1m根據(jù)達郎伯原理，可列出方程：根據(jù)達郎伯原理，可列出方程：0111 Kym 0222 Kym （a）(c)12y1(t)y2(t)1K2K1.建立自由振動微分方程建立自由振動微分方程2K2K2m22ym 1K1m11ym 21KK、是質點受到的彈力是質點受到的彈力, ,與位移方向相反。與位移方向相反。121K2Ky1(t)y2(t)= =1211k21k11( )y t+ +1212

57、k22k12( )y t由上圖，可列出方程：由上圖，可列出方程：2121111ykykK2221212ykykK（b）把（把（b）代入（）代入（a），可列出自由振動微分方程：），可列出自由振動微分方程：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym （10-38）微分方程：微分方程：設解為：設解為：1122()()yYSintyY Sint（1）211222()()yYSintyY Sint （2）把（把（1）式、（）式、（2）式代入微分方程：）式代入微分方程：21111 112222221 1222()()()0()()()0mY Sintk

58、 Y Sintk Y SintmY Sintk Y Sintk Y Sint可求得：可求得：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 2.求自振頻率求自振頻率 頻率方程或頻率方程或（特征方程）（特征方程）：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齊次線性方程組：齊次線性方程組：自振頻率：自振頻率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk kk kmmmmm m2111122212220kmkDkkm較小的較小的 第一頻率（基頻），第一頻率（基頻）， 為第二頻率。為第二頻率

59、。12（10-39）（10-40）（10-41）2111112222112222()0()0kmYk Yk YkmY則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 兩個質點的位移隨時間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即兩個質點的位移隨時間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型。結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型。3.主振型主振型21122222211121YkkmYkmk 第一振型或基本振型第一振型或基本振型第二振型第二振型1122()()yYSintyY

60、 Sint（1） 常數(shù)tytyYY2121結結 論論(1) 在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。(2) 多自由度體系自振頻率不止一個，其個數(shù)與體多自由度體系自振頻率不止一個，其個數(shù)與體系自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。系自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。(3) 每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型是每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。形式。(4)與單自