數(shù)學(xué)分析華東師大版曲面積分

1、第二十二章 曲面積分 教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲面積分的有關(guān)概念，并掌握其計算方法，同時明確它們的聯(lián)系；2.掌握高斯公式與斯托克斯公式；3.理解有關(guān)場的概念，掌握梯度場、散度場、旋度場、管理場與有勢場的性質(zhì)及應(yīng)用。 教學(xué)重點難點：本章的重點是曲面積分的概念、計算；難點是第二型曲面積分。 教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時 § 1 第一型曲面積分 一. 第一型面積分的定義: 1.          幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及計算 2.  

2、0;       曲面的質(zhì)量: 3.          第一型面積分的定義: 定義及記法., 面積分 . 4.          第一型面積分的性質(zhì): 二. 第一型面積分的計算: 1.          第一型曲面積分的計算: Th22.2 設(shè)有光滑曲面 . 為 上的連

3、續(xù)函數(shù),則 . 例4 計算積分 , 其中 是球面 被平面 所截的頂部 . P281§2 第二型曲面積分 一. 曲面的側(cè): 1.          單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面: 2. 雙側(cè)曲面的定向: 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè). 設(shè)法向量為 ,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個分量 , 即選“+”號時，應(yīng)有 ，亦即法線方向與 軸正向成銳角. 類似確定其余各側(cè)的法線方向 閉合曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè). 二. 第二型曲面積分: 1. 穩(wěn)流場的流量: 以磁場為例. P284  2. 第二型曲面積分的定義: P

4、284 . 閉合曲面上的積分及記法. 3. 第二型曲面積分的性質(zhì): 線性 , 關(guān)于積分曲面塊的可加性. 4. 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系: 設(shè) 為曲面 的指定法向, 則 .  三. 第二型曲面積分的計算: Th22.2 設(shè) 是定義在光滑曲面 D 上的連續(xù)函數(shù), 以 的上側(cè)為正側(cè)( 即 ), 則有 .證 P  類似地, 對光滑曲面 D , 在其前側(cè)上的積分 .對光滑曲面 D , 在其右側(cè)上的積分 .計算積分 時, 通常分開來計算三個積分 , , .為此, 分別把曲面 投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進行計算. 投影域的側(cè)由曲面 的定向決定.

5、60; 例1 計算積分 ,其中 是球面 在 部分取外側(cè). P287 例2 計算積分 ， 為球面 取外側(cè). 解 對積分 , 分別用 和 記前半球面和后半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, = + = . 對積分 , 分別用 和 記右半球面和左半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, + = .對積分 , 分別用 和 記上半球面和下半球面的外側(cè), 則有 : ; : .因此, = + = .綜上, = .§ 3 Gauss公式和Stokes 公式 一. Gauss公式: Th22.6 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面 圍成 . 若函數(shù) 在V上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則

6、 ,其中 取外側(cè).  稱上述公式為Gauss公式或Gauss公式.證 只證 .設(shè)V是 型區(qū)域( 即 型體 ) , 其邊界曲面 由曲面 下側(cè) , D , 上側(cè) , D . . 以及垂直于 平面的柱面 (外側(cè))組成. 注意到 = , 有= = .可類證 , .以上三式相加, 即得Gauss公式. 例1 計算積分 ， 為球面 取外側(cè). 解 . 由Gauss公式 . 例2 計算積分 ，其中 是邊長為的正方體V的表面取外側(cè). V : . P291解 應(yīng)用Gauss公式 , 有 .例1         &#

7、160;  計算積分 ， 為錐面 在平面下方的部分，取外法線方向 .解 設(shè) 為圓 取上側(cè) , 則 構(gòu)成由其所圍錐體V的表面外側(cè) , 由Gauss公式 , 有 = 錐體V的體積 ;而 因而, .例1            設(shè)V是三維空間的區(qū)域, 其內(nèi)任何封閉曲面都可不通過V外的點連續(xù)收縮為V上的一點. 又設(shè)函數(shù) 、 和 在V上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù). 表示V內(nèi)任一不自交的光滑封閉曲面, 是 的外法線. 試證明: 對V內(nèi)任意曲面 恒有 的充要條件是 在V內(nèi)處處成立.證 . 由Gauss公

8、式直接得到 . 反設(shè)不然 , 即存在點 V, 使 ,不妨設(shè)其 . 由 在點 連續(xù), 存在以點 為中心且在V內(nèi)的小球, 使在其內(nèi)有 . 以 表示小球 的表面外側(cè), 就有 ,與 矛盾.二. Stokes公式: 空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時, 若曲面在左側(cè), 則把人的前進方向定為L的正向. 1. Stokes定理: Th22.7 設(shè)光滑曲面 的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線 . 若函數(shù) 、 和 在 ( 連同L )上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) , 則.其中 的側(cè)與L的方向按右手法則確定 .  稱該公式為Stokes公式 . 證 先證式 . 具體證明參閱P292.Stokes公式也記為 . 例5 計算積分 ,其中 L為平面 與各坐標(biāo)平面的交線, 方向為: 從平面的上方往下看為逆時針方向. P294  2. 空間曲線上第二型曲線積分與路徑無關(guān)性: 空間單連通、復(fù)連通域.Th 22.5 設(shè) R 為空間單連通區(qū)域 . 若函數(shù) 、 和 在 上連續(xù), 且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) , 則以下四個條件等價: > 對于 內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線L , 有 ; &