數(shù)學(xué)建模人力資源安排模型

1、人力資源安排模型摘要：近年來，我國電力工程發(fā)展越來越快，高級人力資源漸漸成為發(fā)展的瓶頸.如何在保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求下合理的分配現(xiàn)有的技術(shù)力量，使得公司直接收益最大已成為每個公司需要解決的問題。本文針對某一公司在承接4個項(xiàng)目工程時的人力資源如何安排使得直接收益最大這一問題進(jìn)行建模。本文建立模型主要依據(jù)公司的人員結(jié)構(gòu)及工資情況、各項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)要求、以及不同項(xiàng)目和各種人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)三個要素。其中人員結(jié)構(gòu)和對人員結(jié)構(gòu)的要求為約束條件，各種人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、工資和管理開支為權(quán)重。本文針對這一特點(diǎn)建立16個變量的整數(shù)規(guī)劃模型。并分別運(yùn)用啟發(fā)式算法和軟件求解該模型。在啟發(fā)式算法中，先將人員

2、結(jié)構(gòu)分為兩個部分，固定部分即客戶的最低需求部分，調(diào)派部分即需要安排部分。其中固定部分所對應(yīng)的直接收益是固定的，所以只需考慮調(diào)派部分所產(chǎn)生的最大收益，將收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)減去所有對應(yīng)的開支，得到該公司的利潤標(biāo)準(zhǔn)，并給出不同項(xiàng)目和各種人員的利潤圖表。對簡化后的11個變量考慮，運(yùn)用啟發(fā)式算法給出調(diào)派部分的人員安排以及直接收益，最后給出具體人員安排如下：項(xiàng)工程需高級工程師1名，工程師6名，助理工程師2名，技術(shù)員1名；項(xiàng)工程需高級工程師5名，工程師3名，助理5名，技術(shù)員3名；項(xiàng)工程需高級工程師2名，工程師6名，助理2名，技術(shù)員1名；項(xiàng)工程需高級工程師1名，工程師2名，助理1名，技術(shù)員無；最大利潤為每天27150元

3、。用軟件對16個變量的整數(shù)規(guī)劃求解得到答案和上面相同，最大利潤為每天27150元。本模型的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)用兩種不同的方法進(jìn)行求解，得到了相同的結(jié)果，啟發(fā)式算法在去掉固定部分的調(diào)派人員后，使問題大大簡化，有利于計算；同時給出利潤標(biāo)準(zhǔn)，使問題更加直觀，由于所建立的是整數(shù)規(guī)劃模型，在變量比較多時，用軟件易于求解，具有一定的普遍性和推廣性；同時，在變量較少時，啟發(fā)式算法也是一種有效的方法。關(guān)鍵詞：啟發(fā)式算法，整數(shù)規(guī)劃模型，靈敏度分析，最大收益，優(yōu)化分析一問題重述“PE公司”是一家從事電力工程技術(shù)的中美合資公司，現(xiàn)有41個專業(yè)技術(shù)人員，其結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的工資水平分布如表1所示。高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員人

4、 數(shù)日工資（元）925017200101705110目前，公司承接有4個工程項(xiàng)目，其中2項(xiàng)是現(xiàn)場施工監(jiān)理，分別在A地和B地，主要工作在現(xiàn)場完成；另外2項(xiàng)是工程設(shè)計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4 個項(xiàng)目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項(xiàng)目的合同對有關(guān)技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同，具體情況如表2所示。高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員收費(fèi)（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500為了保證工程質(zhì)量，各項(xiàng)目中必須保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，具體情況如表3 所示：ABCD高級工程師工程師助理工程

5、師技術(shù)員總計1322110252231622211112281-18因此需要解決的問題是：如何合理的分配現(xiàn)有的技術(shù)力量，使公司每天的直接收益最大？二問題分析 在本模型中，要解決的問題為怎樣分配人力資源使公司的直接收益最大，其約束分別為公司人員結(jié)構(gòu)以及各項(xiàng)目對專業(yè)人員結(jié)構(gòu)要求。很明顯這是一個變量為16個的整數(shù)規(guī)劃問題，在滿足約束條件下建立相關(guān)模型是比較簡單的，如何給出解答是本題的關(guān)鍵。本文給出了3種解法。解法一在模型的求解中可以將安排分為兩個部分：第一個部分為固定部分即客戶最低要求部分，其利潤是不變的；第二部分為需要安排部分，為方便起見，首先將16個變量簡化為11個變量，給出其對應(yīng)的利潤標(biāo)準(zhǔn)。對

6、需要安排部分運(yùn)用啟發(fā)式算法，求出需要安排部分的人員結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上可得到最大收益，即為固定利潤與安排部分最大利潤之和。解法二是將此問題看作多重集的組合數(shù)，分別給出不同的可能組合，再求最大值，由于計算量比較大和時間上的關(guān)系，本文就不再給出解答。解法三采用軟件進(jìn)行求解，得到最優(yōu)安排。三符號說明 表示各承包項(xiàng)目的類型 表示項(xiàng)目需要類型人的人員數(shù) 表示第類型人被調(diào)派到第項(xiàng)目的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 表示該公司每天的直接收益 表示該公司每天固定部分的直接收入 表示該公司每天調(diào)派部分的直接收入 表示該公司承包四個項(xiàng)目每天的直接收入 表示兩個項(xiàng)目專業(yè)技術(shù)人員的每天管理開支的總費(fèi)用 表示該公司每天所發(fā)給41個專業(yè)技術(shù)人員的

7、工資總額 表示第類專業(yè)技術(shù)人員作第個項(xiàng)目給公司凈收入 表示該公司給第類專業(yè)技術(shù)人員每天所發(fā)的工資四模型的假設(shè)1 假設(shè)該公司每天都必須給41個專業(yè)技術(shù)人員發(fā)工資，無論他們是否被指派去完成各項(xiàng)目；2 假設(shè)在兩個項(xiàng)目工作的工人所開支的管理費(fèi)由該公司承擔(dān)；3 假設(shè)這四個項(xiàng)目每天都在開工，不存在停工的項(xiàng)目；五模型的建立1. 模型的準(zhǔn)備為了做到心中有數(shù)，首先我們對本問題進(jìn)行粗略的估算，（1） 對出動人數(shù)的估計一方面，從表1和表2中的數(shù)據(jù)可以看出，所有專業(yè)技術(shù)人員無論調(diào)派到那個項(xiàng)目，他們的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)都大于該公司給他們所發(fā)的日工資，另一方面，四個項(xiàng)目所需要的總?cè)藬?shù)為55，大于該公司的現(xiàn)有專業(yè)技術(shù)人數(shù)41，所以，

8、為了使該公司每天的直接收益最大，我們得出的結(jié)論是：要求該公司出動所有的專業(yè)技術(shù)人員，即調(diào)派41個專業(yè)技術(shù)人員去這四個項(xiàng)目。（2）對調(diào)派方案估計由于這四個項(xiàng)目對該公司的人員結(jié)構(gòu)有要求，設(shè)表示為第類人調(diào)派去做第個項(xiàng)目時，給公司帶來的直接收益，表示公司給專業(yè)技術(shù)人員的日工資，表示第類人員做第項(xiàng)目的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，則 由此，我們得出的值如下表：75012501050750600600650550430530480480390490240340表(4)下面采用按的最大元素法對人員進(jìn)行調(diào)派，由于，因此，高級工程應(yīng)盡量調(diào)派到項(xiàng)目，同理，工程師應(yīng)盡量調(diào)派到項(xiàng)目；助理工程師應(yīng)盡量調(diào)派到項(xiàng)目，而技術(shù)人員只有5個，恰好是

9、四個項(xiàng)目的最低要求，因而不存在這樣的問題。這樣可以得到以下的調(diào)派人數(shù)表，ABCD分配情況高級工程師1最多5人21分配完工程師最多為6助理工程師2最多5人21分配完技術(shù)員1310分配完總計101611表(5)現(xiàn)在只剩下工程師沒有分配完，由于，所以工程師在先滿足的條件下，再盡量滿足，由于此時最多只能分配名，最多能分配名，這樣41名專業(yè)技術(shù)人員分配完畢。（3）對該公司每天直接收益估計假若該公司是按上面的方案進(jìn)行調(diào)派的，我們認(rèn)為該公司每天的直接收益是最大的，通過計算，得出最大的直接收益為：，由于上面的調(diào)派方案可能不是最優(yōu)的，所以最優(yōu)的直接最大收益，應(yīng)該滿足。2. 整數(shù)規(guī)劃模型通過對問題仔細(xì)的分析,可用

10、整數(shù)規(guī)劃模型來描述:設(shè)為人員類型，其中1表示高級工程師，2表示工程師，3表示助理工程師，4表示技術(shù)員； 為項(xiàng)目類型，其中1表示項(xiàng)目，2表示項(xiàng)目，3表示項(xiàng)目，4表示項(xiàng)目；表示第項(xiàng)目需要第類人的人數(shù)，表示第類人員做第項(xiàng)目的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。表示該公司每天所發(fā)給41個專業(yè)技術(shù)人員的工資總額，表示該公司承包四個項(xiàng)目每天所得的收入，表示兩個項(xiàng)目的專業(yè)技術(shù)人員每天的開支管理費(fèi)，則該公司每天的直接收益 題意知：元要使該公司每天的直接收益最大，我們建立整數(shù)規(guī)劃模型，具體過程如下：目標(biāo)函數(shù)為： 約束條件為： 由于要滿足該公司的人員結(jié)構(gòu)要求，即有： （該公司供分配的高級工程師不超過9人） （該公司供分配的工程師不超過17

11、人） （該公司供分配的助理工程師不超過10人） （該公司供分配的技術(shù)人員不超過5人）項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求，即有： （項(xiàng)目對高級工程師的要求） （項(xiàng)目對工程師的要求） （項(xiàng)目對助理工程師的要求） （項(xiàng)目對技術(shù)員的要求） （項(xiàng)目對總?cè)藬?shù)的限制）項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求，即有： （項(xiàng)目對高級工程師的要求） （項(xiàng)目對工程師的要求） （項(xiàng)目對助理工程師的要求） （項(xiàng)目對技術(shù)員的要求） （項(xiàng)目對總?cè)藬?shù)的限制） 項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求，即有： （項(xiàng)目對高級工程師的要求） （項(xiàng)目對工程師的要求） （項(xiàng)目對助理工程師的要求） （項(xiàng)目對技術(shù)人員的要求） （項(xiàng)目對總?cè)藬?shù)的限制） 項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員

12、結(jié)構(gòu)的要求，即有： （項(xiàng)目對高級工程師的要求） （項(xiàng)目對工程師的要求） （項(xiàng)目對助理工程師的要求） （項(xiàng)目對技術(shù)人員的要求） （項(xiàng)目對總?cè)藬?shù)的限制）該公司分配給各個項(xiàng)目的專業(yè)技術(shù)人員要必須是正整數(shù)，即有： 六模型的求解方法一：啟發(fā)式算法首先將問題做如下簡化：1） 對公司的收入和支出的簡化：公司每天的直接收益為收入減去發(fā)給員工的工 資和管理費(fèi)用，即，在計算過程中，公司的直接收益可以簡化為每個專業(yè)技術(shù)人員在不同的四個項(xiàng)目中對公司帶來的收益，可以看作各種人員在不同項(xiàng)目的利潤標(biāo)準(zhǔn)，即每個人員在不同項(xiàng)目中每天可以獲得的利潤。給出不同項(xiàng)目和各種人員的利潤標(biāo)準(zhǔn)（單位 元/天）：高級工程師工程師助理工程師技術(shù)

13、員A750600430390B1250600530490C1000650480240D700550480340 表（6）2) 各項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求以及人員結(jié)構(gòu)的簡化：在各項(xiàng)目中，客戶對不同的技術(shù)人員結(jié)構(gòu)都有個最低要求，其對應(yīng)的成本是固定的，在調(diào)派過程中除去固定部分后的最大利潤對應(yīng)著總的最大利潤。給出固定部分的最低人員配置要求和剩余技術(shù)人員結(jié)構(gòu)圖表（7）：ABCD剩余人員高級工程師12213工程師22229助理工程師22213技術(shù)員13100表（7）其對應(yīng)的每天固定部分直接收益（元/天）給出調(diào)派部分不同項(xiàng)目對技術(shù)人員分配要求和剩余人員結(jié)構(gòu)圖表（8）：ABCD剩余人員高級工程師020-3

14、00-13工程師0-69助理工程師3技術(shù)員00000需求47414表（8）可以看出變量由16個減少為11個，對這11個變量給出模型。下面根據(jù)圖表（4）和圖表（6）的數(shù)據(jù)，運(yùn)用啟發(fā)式算法進(jìn)行求解：首先對最高層-高級工程師進(jìn)行分配，其中B的權(quán)值最大，所以先將3個高級工程師盡可能安排在B處，此時B的剩余需求為4個人，最高層安排完畢。然后考慮次高層-工程師，其中C的權(quán)值最大，則先將工程師盡可能安排在C處，此時C處人員需求已滿，工程師還有5個剩余，考慮次大權(quán)值為A和B，由于兩個權(quán)值相等，我們?yōu)闈M足需求條件，先對第三層-助理工程師考慮。助理工程師在B中的權(quán)值最大，盡可能向B處安排助理工程師，這樣助理工程師

15、安排完畢。此時B處剩余需求為1人，安排工程師1名在B處，剩余的4名工程師剛好滿足A，最優(yōu)安排完畢。給出調(diào)度部分的人員安排圖表ABCD高級工程師7501250(3)1000700工程師600(4)600(1)650(4)550助理工程師430530(3)480480技術(shù)員390490240340表（9）算出調(diào)派部分的最大利潤則總的最大收益（元/天）給出調(diào)派部分和固定部分的人員安排表（10）ABCD高級工程師750（1）1250（5）1000（2）700（1）工程師600（6）600（3）650（6）550（2）助理工程師430（2）530（5）480（2）480（1）技術(shù)員390（1）490（3

16、）240（1）340表（10）方法二：由表（6）的數(shù)據(jù)可知簡化后，模型變量的個數(shù)由16個變?yōu)?1，由于收費(fèi)是按人工計算的，而且4個項(xiàng)目總共同時最多需要的人數(shù)是55人，多于該公司現(xiàn)有人數(shù)41，所以要使公司每天的直接收益達(dá)到最大，就應(yīng)該把人員完全配置到項(xiàng)目上去，即將以下3個約束取等號。以上的3個方程都可以看作多重集的r-組合數(shù)問題，運(yùn)用包含排斥原理對每個方程進(jìn)行求解，得到的結(jié)果組數(shù)是比較多的，在滿足約束條件后所得到的方案可以大大減少，對每一種方案給出其對應(yīng)的利潤，找到最大值。由于計算比較復(fù)雜，本文在這里不再贅述。方法三：利用軟件求解，程序如下：max 1000 x11+800 x21+600 x3

17、1+500 x41+1500 x12+800 x22+700 x32+600 x42+1300 x13+900 x23+700 x33+400 x43+1000 x14+800 x24+700 x34+500 x44-50 x13-50 x23-50 x33-50 x43-50 x14-50 x24-50 x34-50 x44-7900 ystx11+x12+x13+x14<9 x21+x22+x23+x24<17 x31+x32+x33+x34<10x41+x42+x43+x44<5 x11+x21+x31+x41<10 x12+x22+x32+x42<1

18、6x13+x23+x33+x43<11 x14+x24+x34+x44<18x11>1 x11<3 x12>2 x12<5 x13=2 x14>1 x14<2 x21>2 x22>2x23>2 x24>2 x24<8 x31>2 x32>2 x33>2 x34>1 x41>1 x42>3x43>1 x44=0 y=1endgin x11 gin x12 gin x13 gin x14 gin x21 gin x22 gin x23 gin x24 gin x31 gin x3

19、2 gin x33 gin x34 gin x41 gin x42 gin x43 gin x44(注明：上程序中的y是為了方便計算而引入的變量，無任何實(shí)際意義)程序運(yùn)行的結(jié)果為：OBJECTIVE FUNCTION VALUE（目標(biāo)函數(shù)值）：27150VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 1.000000 -1000.000000 X12 5.000000 -1500.000000 X13 2.000000 -1250.000000 X14 1.000000 -950.000000 X21 6.000000 -800.000000 X22 3.000000 -800

20、.000000 X23 6.000000 -850.000000 X24 2.000000 -750.000000 X31 2.000000 -600.000000 X32 5.000000 -700.000000 X33 2.000000 -650.000000 X34 1.000000 -650.000000 X41 1.000000 -500.000000 X42 3.000000 -600.000000 X43 1.000000 -350.000000X44 0.000000 -450.000000六模型的檢驗(yàn)通過方法一和方法三進(jìn)行求解，得出的結(jié)果完全相同的，由此說明我們所建立的模型是

21、最優(yōu)的。下面我們采用靈敏度分析對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，參考運(yùn)行的結(jié)果得出下表(11)變量X11X12X13X14X21X22X23X24調(diào)派人數(shù) 1 5 2 1 6 3 6 2靈敏度-750-1250-1000-700-600-600-650-550變量X31X32X33X34X41X42X43X44調(diào)派人數(shù) 2 5 2 1 1 3 1 0靈敏度-430-530-480-480-390-490-240-340 表（11）將變量按其靈敏度由大到小的順序進(jìn)行排列，結(jié)果如下:通過對表格（9）與表格（3）進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)調(diào)派的人數(shù)完全符合各個項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求,同時使公司的收益達(dá)到最大,通過進(jìn)一步

22、的檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)以上表格的調(diào)派方案不但滿足專業(yè)技人員結(jié)構(gòu)要求，而且是完全符合靈敏度由大到小的安排順序，由此說明我們所建立的模型是合理的，是符合實(shí)際的。七模型的改進(jìn)和推廣下面我們對模型進(jìn)行優(yōu)化分析, 如表(12)所示:ABCD高級工程師750（1）1250（5）1000（2）700（1）工程師600（6）600（3）650（6）550（2）助理工程師430（2）530（5）480（2）480（1）技術(shù)員390（1）490（3）240（1）340人數(shù)總計1016114由上表給出的調(diào)派的人力資源表的數(shù)據(jù)可以看出，該公司調(diào)派了所有專業(yè)技術(shù)人員，使得公司在現(xiàn)有的人員結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上收益達(dá)到了最大，但是該公司調(diào)派的

23、總?cè)藬?shù)并沒有達(dá)到這四個項(xiàng)目的人數(shù)上限，從上表可以看出三個項(xiàng)目已經(jīng)達(dá)到了人數(shù)的上限，而項(xiàng)目沒有達(dá)到人數(shù)的上限，還差14個專業(yè)技術(shù)人員，現(xiàn)假設(shè)公司可以從市場聘用專業(yè)技術(shù)人員時，那么，我們通過計算，得出最優(yōu)聘用方案是：聘用的人數(shù)為14人，其中高級工程師為1名，工程師為6名，助理工程師為7名，這樣可以使該公司的收益增加（元/天）本文的建模思想可以進(jìn)一步的推廣到資源分配問題。在現(xiàn)實(shí)生活中,會遇到很多與本問題相類似的分配問題，例如，將數(shù)量一定的一種或若干種資源恰當(dāng)?shù)姆纸o若干個使用者,從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。具體如下:設(shè)有種類型的原料,總數(shù)量為,用于生產(chǎn)種產(chǎn)品，表示生產(chǎn)第種產(chǎn)品需要第種類型原料的數(shù)量,其收益

24、記為,問如何分配使總的收入最大?此問題就可以寫成靜態(tài)規(guī)劃問題:當(dāng)都是線性函數(shù)時,它可用本模型所用的軟件求解；當(dāng)是非線性函數(shù)時,可以看成一個多階段決策問題,采用動態(tài)規(guī)劃的遞推關(guān)系來求解，或者用軟件求解。八模型的評價優(yōu)點(diǎn)：1本模型所采用的是整數(shù)規(guī)劃，可綜合考慮各種因素，且可解一般性的問題，對于變量相對較多時，應(yīng)用計算機(jī)很容易求解。2本模型中所采用的啟發(fā)式算法，比較容易理解，而且易于求解，在變量比較少時，是一種有效的方法，而且所求的解往往是最優(yōu)的。不足：啟發(fā)式算法對于變量比較多時，求解過程比較復(fù)雜，而且可能不是最優(yōu)解，九參考文獻(xiàn)1 <<運(yùn)籌學(xué)>>教材編寫組，運(yùn)籌學(xué)，北京:清華

25、大學(xué)出版社，19902 屈婉玲，組合數(shù)學(xué)，北京:北京大學(xué)出版社，1989附:關(guān)于人力資源安排的論證報告各位領(lǐng)導(dǎo)、各位來賓、各位員工：大家好！我們公司是一家從事電力工程技術(shù)的中美合資公司，多年以來，在各位領(lǐng)導(dǎo)的大力支持下，在各位來賓的關(guān)心下，在各位員工的辛勤工作下，我們?nèi)〉昧溯x煌的成就，在市場上占有一席之地。但畢竟我公司的人力資源有限，僅有專業(yè)技術(shù)人員41名，而市場上有多家公司需要我們承包工程項(xiàng)目，為了使我公司在單位時間內(nèi)的收益盡可能的大，我們必須盡量的承包多個工程項(xiàng)目，與此同時，為了保持公司的美好形象，在保證工程質(zhì)量的前提下，各個項(xiàng)目必須保證專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，這樣在人力資源的分配上給我公司帶來了一定的困難。目前，公司已承接有這4個工程項(xiàng)目，各項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求如下表所示:ABCD高級工程師工程師助理工程師技術(shù)