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文檔簡介
1、第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算【高考會這樣考】1考查平面向量的線性運(yùn)算2考查平面向量的幾何意義及其共線條件基礎(chǔ)梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模(2)零向量:長度等于0的向量,其方向是任意的(3)單位向量:長度等于1個單位的向量(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1) 交換律:abba. (2)結(jié)合律:(ab)ca(bc)減法求
2、a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義:實數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘,記作a,它的長度與方向規(guī)定如下:|a|a|;當(dāng)0時,a與a的方向相同;當(dāng)0時,a與a的方向相反;當(dāng)0時,a0.(2)運(yùn)算律:設(shè),是兩個實數(shù),則(a)()a;()aaa; (ab)ab.4共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù),使得ba.一條規(guī)律一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量兩個防范(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個(2)證明三點共
3、線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線;另外,利用向量平行證明向量所在直線平行,必須說明這兩條直線不重合雙基自測1 D是ABC的邊AB上的中點,則向量等于()A BC. D.解析如圖,.2判斷下列四個命題:若ab,則ab;若|a|b|,則ab;若|a|b|,則ab;若ab,則|a|b|.正確的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析只有正確3若O,E,F(xiàn)是不共線的任意三點,則以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.4如圖,正六邊形ABCDEF中,() A0 B. C. D.解析.5設(shè)a與b是兩個不共線向量,且向量ab與
4、2ab共線,則_.解析由題意知:abk(2ab),則有:k,.考向一平面向量的概念【例1】下列命題中正確的是()Aa與b共線,b與c共線,則a與c也共線B任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C向量a與b不共線,則a與b都是非零向量D有相同起點的兩個非零向量不平行審題視點 以概念為判斷依據(jù),或通過舉反例說明其正確與否解析由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確;由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,所以B不正確;向量的平行只要求方向相同或相反,與起點是否相同無關(guān),所以D不正確;對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其
5、逆否命題來入手考慮,假設(shè)a與b不都是非零向量,即a與b中至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可知a與b共線,符合已知條件,所以有向量a與b不共線,則a與b都是非零向量,故選C. 解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題,其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念,還應(yīng)注意零向量的特殊性,以及兩個向量相等必須滿足:(1)模相等;(2)方向相同【訓(xùn)練1】 給出下列命題:若A,B,C,D是不共線的四點,則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若ab,bc,則ac;ab的充要條件是|a|b|且ab;若a與b均為非零向量,則|ab|與|a|b|一定相等其中正確命題的序號是_解析正確,錯誤考向
6、二平面向量的線性運(yùn)算【例2】如圖,D,E,F(xiàn)分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點,則()A.0 B.0C.0 D.0審題視點 利用平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合圖形可求解析0,2220,即0. 三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法,共起點的向量,和用平行四邊形法則,差用三角形法則【訓(xùn)練2】 在ABC中,c,b,若點D滿足2,則A.bc B.cb C.bc D.bc解析2,2(),32 bc.考向三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab,2a8b,3(ab)求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使kab和akb共線審題視點 (1)先證明,共線,再說明
7、它們有一個公共點;(2)利用共線向量定理列出方程組求k.(1)證明ab,2a8b,3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.,共線,又它們有公共點,A,B,D三點共線(2)解kab與akb共線,存在實數(shù),使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a,b是兩不共線的非零向量,kk10.k210.k±1. 平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系,既可以證明向量共線,也可以由向量共線求參數(shù)利用兩向量共線證明三點共線要強(qiáng)調(diào)有一個公共點【訓(xùn)練3】 (2011·蘭州模擬)已知a,b是不共線的向量,ab,ab(,R),那么A,B,C三點共線的充要條件是()A2 B1C1 D1解析由ab
8、,ab(,R)及A,B,C三點共線得:t ,所以abt(ab)tatb,即可得所以1.故選D.難點突破有關(guān)平面向量中新定義問題解題策略從近兩年課改區(qū)高考試題可以看出高考以選擇題形式考查平面向量中新定義的問題,一般難度較大這類問題的特點是背景新穎,信息量大,通過它可考查學(xué)生獲取信息、分析并解決問題的能力解答這類問題,首先需要分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,然后應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義信息題難點的關(guān)鍵所在【示例1】定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下:對任意的a(m,n),b(p,q),令abmqnp,下面說法錯誤的是()A若a與b共線,則ab0 BabbaC對任
9、意的R,有(a)b(ab) D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2【示例2】 (2011·山東)設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點,若(R),(R),且2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2.已知平面上的點C,D調(diào)和分割點A,B,則下列說法正確的是()AC可能是線段AB的中點BD可能是線段AB的中點CC、D可能同時在線段AB上DC、D不可能同時在線段AB的延長線上練習(xí)題:1.出下列命題:若,則;若A、B、C、D是不共線的四點,則是四邊形為平行四邊形的充要條件;若,則;的充要條件是且;若,則。其中,正確命題材的序號是2. 化簡得 3.在四邊形ABCD中,
10、=a+2b,=4ab,=5a3b,其中a、b不共線,則四邊形ABCD為梯形OAPQBab第4題4.如圖,設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點,若a,b,則, (用a、b表示) D C E FA B5 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F,求證:.證明:如圖,連接EB和EC , 由和可得, (1)例1 由和可得, (2)(1)+(2)得, (3)E、F分別為AD和BC的中點,代入(3)式得,6.已知不共線,,求證:A,P,B三點共線的充要條件是解:先證必要性:若A,P,B三點共線,則存在實數(shù),使得,即,,再證充分性:若則=,與共線,A,P,B三點共線. 7已知向量a和b反向,則下列等式成立的是(C)A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|8.設(shè)四邊形ABCD中,有則這個四邊形是(C)A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形9.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點,試化簡:, , 。解析:原式= ;原式=
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