兩個平面平行的性質

1、文件 sxglija 0010.doc科目 數(shù)學年級 高中章節(jié) 關鍵詞 平面平行標題 兩個平面平行的性質內容兩個平面平行的性質北京師大附屬實驗中學 曹付生教學目標1.使學生掌握兩個平面平行的性質定理及應用；2.引導學生自己探索與研究兩個平面平行的性質定理，培養(yǎng)和發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.教學重點和難點重點:兩個平面平行的性質定理；難點:兩個平面平行的性質定理的證明及應用.教學過程一、復習提問教師簡述上節(jié)課研究的主要內容(即兩個平面的位置關系，平面與平面平行的定義及兩個平面平行的判定定理)，并讓學生回答:(1)兩個平面平行的意義是什么?(2)平面與平面的判定定理是怎樣的?并用命題的形式寫出

2、來?(教師板書平面與平面平行的定義及用命題形式書寫平面與平面平行的判定定理)(目的:(1)通過學生回答，來檢查學生能否正確敘述學過的知識，正確理解平面與平面平行的判定定理.(2)板書定義及定理內容，是為學生猜測并發(fā)現(xiàn)平面與平面平行的性質定理作準備)二、引出命題(教師在對上述問題講評之后，點出本節(jié)課主題并板書，平面與平面平行的性質)師:從課題中，可以看出，我們這節(jié)課研究的主要對象是什么?生:兩個平面平行能推導出哪些正確的結論.師:下面我們猜測一下，已知兩平面平行，能得出些什么結論.(學生議論)師:猜測是發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題常用的方法.“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)展.”但猜想不是盲目的，有一些常用的

3、方法，比如可以對已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結論.也可通過類比法即通過兩個對象類似之處的比較而由已經(jīng)獲得的知識去引出新的猜想等來得到新的命題.(不僅要引導學生猜想，同時又給學生具體的猜想方法)師:前面，復習了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結論是兩平面平行，這對我們猜想有何啟發(fā)?生:由平面與平面平行的定義，我猜想:兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個面.師:很好，把它寫成命題形式.(教師板書并作圖，同時指出，先作猜想、再一起證明)猜想一:已知:平面，直線a，求證:.生:由判定定理“垂直于同一條直線的兩個平面平行”.我猜想:一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，

4、它也垂直于另一個平面.教師板書猜想二:已知:平面，直線l.求證:l.師:這一猜想的已知條件不僅是“”，還加上了“直線l”.下面請同學們看課本上關于判定定理“垂直于同一直線的兩平面平行”的證明.在證明過程中，“平面=a，平面=a”.a與a是什么關系?生:aa.師:若改為不是過AA的平面，而是任意一個與，都相交的平面.同學們考慮一下是否可以得到一個猜想呢?(學生討論)生:如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，也必與另一個平面相交.”教師板書猜想三:缺圖3已知:平面，平面=a，求證:與一定相交.師:怎么作這樣的猜想呢?生:我想起平面幾何中的一個結論:“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條

5、相交.”生:平行師:請同學們表達出這個命題.生:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.教師板書猜想四:已知:平面，平面=a，=b.求證:ab.通過復習定理的證明方法，既發(fā)現(xiàn)了猜想三，猜想四，同時又復習了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊師:在得到猜想三時，我們用到了類比法，實際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題與平面幾何中的有關問題作類比，常常能給我們以啟示，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的新問題.比如:在平面幾何中，我們有這樣一條定理:“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請同學們用類比的方法，看能否得出一個立體幾何中的猜想?生:把兩條平行線看作兩個平行平面，可得猜想:夾在兩

6、個平行平面間的平行線段相等.教師板書猜想五:已知:平面，AABB，且A，B，B，B.求證:AA=BB.該命題，在教材中是一道練習題，但也是平面與平面平行的性質定理，為了完整體現(xiàn)平面與平面平行的性質定理，故爾把它放在課堂上進行分析三、證明猜想師:通過分析，我們得到了五個猜想，猜想的結論往往并不完全可靠.得到猜想，并不意謂著我們已經(jīng)得到了兩個平面平行的性質定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確.師生相互交流，共同完成猜想的論證師:猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應用定義.猜想一證明證明:因為 ，所以 與無公共點.又 因為 a，所以 a與無公共點.故 a.師:利用平面

7、與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性.這便是平面與平面平行的性質定理一.簡言之，“面面平行，則線面平行.”教師探擦“猜想一”，板書“性質定理一”論證完猜想一之后，教師與學生共同研究了“猜想二”，發(fā)現(xiàn)，若論證了“猜想四”的正確性質，“猜想二”就容易證了.因而首先討論“猜想三，猜想四”師:“猜想三”是類比平面幾何中的結論得到的，還記得初中時，是怎么證明的?學生回答:反證法師:那么，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢?生:用反證法:假設與不相交，則.這樣過直線a有兩個平面和與平行.與“過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”矛盾.故與相交.師:很好.由此可知:不只是發(fā)

8、現(xiàn)問題時可用類比法，就是證明方法也可用類比方法.不過猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質定理，大家在今后應用中要注意.猜想四的證明師:猜想四要證明的是直線ab，顯然a,b共面于平面，只需推導出a與b無公共點即可.生:(證法一)因為 a，所以 a與無公共點，又因為 a，b.所以 a與b無公共點.又因為 a，b，所以 ab.師:我們來探討其它的證明方法.要證線線平行，可以轉化為線面平行.生:(證法二)因為 a，又因為 ，所以 a.又因為 a，且=b，所以 ab.師:用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的.這是平面和平面平行的性質定理二.教師擦掉“猜想四”，板書“性質

9、定理二”師:平面與平面平行的性質定理二給出了在兩個平行平面內找一對平行線的方法.即:“作一平面，交兩面，得交線，則線線平行.”同時也給我們證明兩條直線平行的又一方法.簡言之，“面面平行，則線線平行”.猜想二的證明師:猜想二要證明的是直線l，根據(jù)線面垂直的判定定理，就要證明l和平面內的兩條相交直線垂直.那么如何在平面內作兩條相交直線呢?引導學生回憶:“垂直于同一直線的兩個平面平行”的定理的證明生:(證法一)設l=A，l=B.過AB作平面=a,=a.因為 ，所以 aa.再過AB作平面=b,=b.同理bb.又因為 l，所以 la，lb,所以 la,lb,又ab=，故l.師:要證明l，根據(jù)線面垂直的定

10、義，就是要證明l和平面內任何一條直線垂直.生:(證法二)在內任取一條直線b,經(jīng)過b作一平面，使=a，因為 ，所以ab,因此 l，a，故 la，所以 lb.又因為b為內任意一條直線，所以 l.教師擦掉“猜想二”，板書“性質定理三”猜想五的證明證明:因為 AABB，所以過AA，BB有一個平面，且=AB，=AB.因為 ，所以 ABAB，因此 AABB為平行四邊形.故 AA=BB.教師擦掉“猜想五”，板書“性質定理四”師:性質定理四，是類比兩條平行線的性質得到的.平行線的性質有許多，大家還能類比得出哪些有關平行平面的猜想呢?你能證明嗎?請大家課下思考.因類比法是重要的方法，但平行性質定理已得出，故留作

11、課下思考四、定理應用師:以上我們通過探索猜想論證，得出了平面與平面平行的四個性質定理，下面來作簡單的應用.例 已知平面，AB，CD為夾在，間的異面線段，E、F分別為AB，CD的中點.求證: EF，EF.師:要證EF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，就是要在內找一條直線與EF平行.證法一:連接AF并延長交于G.因為 AGCD=F所以 AG，CD確定平面，且=AC,=DG.因為 ，所以 ACDG，所以 ACF=GDF,又 AFC=DFG,CF=DF,所以 ACFDFG.所以 AF=FG.又 AE=BE，所以 EFBG，BG.故 EF.同理:EF.師:要證明EF，只須過EF作一平面，使該平面與平行，則

12、根據(jù)平面與平面平行性質定理即可證.證法二:因為AB與CD為異面直線，所以ACD.在A，CD確定的平面內過A作AGCD，交于G，取AG中點H，連結AC，HF.因為 所以 ACDGEF.因為 DG，所以 HF.又因為 E為AB的中點，因此 EHBG，所以 EH.又EHFH=H,因此 平面EFH，EF平面EFH，所以 EF.同理，EF.師:從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問題，但都是通過轉化為平面幾何的問題來解決的.這是解決立體幾何問題的一種技能，只是依據(jù)的不同，轉化的方式也不同.五、平行平面間的距離師:和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的

13、部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.兩個平行平面有幾條公垂線?這些公垂線的位置關系是什么?生:兩個平行平面有無數(shù)條公垂線，它們都是平行直線.師:夾在兩平行平面之間的公垂線段有什么數(shù)量關系?根據(jù)是什么?生:相等，根據(jù)“夾在兩個平行平面間的平行線段相等.”六、小結1.由學生用文字語言和符號語言來敘述兩個平面平行的性質定理.教師總結本節(jié)課是由發(fā)現(xiàn)與論證兩個過程組成的.簡單的說就是:由具體問題具體素材用類比等方法猜想命題，并由轉化等方法論證猜想的正確性，得到結論.2.在應用定理解決立體幾何問題時，要注意轉化為平面圖形的問題來處理.大家在今后學習中一定要注意掌握這一基本技能.3.線線平行、線面平行與面面

14、平行的判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系.在學習中應發(fā)現(xiàn)其內在的科學規(guī)律:低一級位置關系判定著高一級位置關系；高一級位置關系一定能推導低一級位置關系.下面以三種位置關系為綱應用轉化的思想整理如下:七、布置作業(yè)課本:p.38，習題五5，6，7，8.課堂教學設計說明在設計本教案時，充分考慮到教學研究活動是由發(fā)現(xiàn)與論證這樣兩個過程組成的.因而把“如何引出命題”和“如何猜想”作為本節(jié)課的重要活動內容.在教師的啟發(fā)下，讓學生利用具體問題；運用具體素材，通過類比等具體方法，發(fā)現(xiàn)命題，完成猜想.然后在教師的引導下，讓學生一一完成對猜想的證明，得到兩個平面平行的性質定理.也就在這一“探索”、“發(fā)現(xiàn)”、“論證”的過程中，培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.在實施過程中，讓學生處在主體地位，教師始終處于引導者的位置.特別是在用類比法發(fā)現(xiàn)猜想時，學生根據(jù)兩條平行線的性質類比得出許多猜想.比如:根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”得到“平行于同一個平面的兩個平面平行.”根據(jù)“兩條直線平行，同位角相等”等，得到“與兩個平行平面都相交的直線與兩個平面所成的