數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用姓名 甘國(guó)優(yōu) 指導(dǎo)教師 趙慧煒 中文摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種非常普遍的證題的方法，其應(yīng)用極為廣泛本次主要簡(jiǎn)述了數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)略步驟：觀察（探索）歸納猜想證明于一體的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路并歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法解決代數(shù)恒等式幾何等方面的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的方法，對(duì)應(yīng)用中常見(jiàn)的誤區(qū)加以剖析，以及介紹一些證題方法技巧，有助于提高對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；步驟;證明方法Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very b

2、road application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities

3、 , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical inductions applicationKey words：Mathematical induction; Steps ; Proof.引言演繹和歸納是人在思維過(guò)程中兩個(gè)完全相反的

4、過(guò)程.同時(shí)又是數(shù)學(xué)思維中兩種基本的方法.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，他有著其他方法所不能代替的作用，也是證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種完全歸納法.我們?cè)趯W(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)具備兩個(gè)條件：當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題為正確的（奠基），當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也為正確的推出當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也為正確的（遞推）通過(guò)“遞推”鏈接，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，抽象的進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.首先我們要了解歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的思想，由思想轉(zhuǎn)換為思路來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.當(dāng)然我們?cè)谥袑W(xué)所學(xué)習(xí)的比較淺顯，因此需要進(jìn)行整理疏通總結(jié)，并學(xué)以致用其思想，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)所需的一些問(wèn)題進(jìn)行整理,了解數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)代數(shù)及幾何問(wèn)題方面的應(yīng)用更深刻總結(jié)數(shù)學(xué)歸

5、納法的重難點(diǎn)及解題技巧，選取典型例題來(lái)體現(xiàn)這一思想，抓住其最基本的步驟并掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明方法1 數(shù)學(xué)歸納法的概論1.1 數(shù)學(xué)常用證明方法數(shù)學(xué)是門(mén)極其注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科,數(shù)學(xué)恒等式的證明使這些方法體現(xiàn)的完美無(wú)缺，而常用的數(shù)學(xué)證明方法有以下幾種；1.1.1 演繹推理 由一般推理到特殊的推理方法稱為演繹推理，又叫演繹法1.1.2 歸納推理 由特殊到一般的推理方法稱為歸納推理法，又叫歸納法其中歸納法又分為完全歸納法與不完全歸納法1.1.3 完全歸納法 探討事物的全部特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法稱為完全歸納法，又叫枚舉法1.1.4 不完全歸納法 由某類(lèi)事物中一部分事物所具有的某種屬性，推出此類(lèi)事

6、物全部都具有這種屬性的歸納推理方法稱為不完全歸納法1.1.5 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明是與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法（在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明不等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立）1.2 數(shù)學(xué)歸納法的定義 數(shù)學(xué)歸納法定義: 是一種先得出首個(gè)例子的正確性,再通過(guò)遞推的方式證明命題是否正確的一種方法它是以考察特殊、個(gè)別的情況后作出的判斷作為基礎(chǔ).再?gòu)倪@些個(gè)別情況的判斷歸納出一般的結(jié)論,也可以說(shuō),它是從特殊到一般的推理方法.即當(dāng)n=1正確時(shí),若在n=k正確的情況下,n=k+l也是正確的,便可遞推下去.雖然我們沒(méi)有對(duì)所有的自然數(shù)逐一的加以驗(yàn)證,但事實(shí)上,這種遞推就已經(jīng)把所有自然數(shù)都驗(yàn)證了,這種方法就是數(shù)學(xué)歸

7、納法.2 數(shù)學(xué)歸納法的背景與原理2.1背景 數(shù)學(xué)歸納法最早的痕跡可以在古希臘時(shí)代和印度的著作中找到絲縷痕跡，如歐幾里德素?cái)?shù)無(wú)限的證明中和印度婆什迦羅的“循環(huán)方法”都可以找到這種痕跡有資料和數(shù)據(jù)表明，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)比較清晰、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法中歸納推理而數(shù)學(xué)歸納法真正明確使用的是意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯，而他也尚未對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明中的歸納奠基和歸納推理兩個(gè)步驟進(jìn)行清楚的闡述真正清楚數(shù)學(xué)歸納法證明這兩步的應(yīng)是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡，最早是他將數(shù)學(xué)歸納法的證明用兩步確定下來(lái).而“數(shù)學(xué)歸納法”名稱是英國(guó)數(shù)學(xué)家提出的, 并由英國(guó)教科書(shū)作者普遍使用并推廣 

8、; 數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)格建立，是對(duì)無(wú)窮概念有較深刻的認(rèn)識(shí)和數(shù)的理論充分發(fā)展后才得以完成十七世紀(jì)后，數(shù)學(xué)歸納法有了明晰的框架，后來(lái)發(fā)展出了最小數(shù)原理、第一和第二數(shù)學(xué)歸納法、遞減歸納法、螺旋歸納法、倒推納法、跳躍歸納法、雙重甚至多重歸納法等多種形式的數(shù)學(xué)歸納法至1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾發(fā)表算術(shù)原理新方法，給出自然數(shù)的公理體系，使數(shù)學(xué)歸納法有了一個(gè)合理、準(zhǔn)確的理論基礎(chǔ)歸納法的邏輯是指從有限的特殊事例推出一般性結(jié)論的推理方法，從肯定全體對(duì)象中的有限的個(gè)別事物到肯定全體對(duì)象但數(shù)學(xué)歸納法并不具備這些特性演繹法是由一般到具體結(jié)論的推理方法，演繹推進(jìn)的前提必然蘊(yùn)涵結(jié)論。從數(shù)學(xué)歸納法的推理過(guò)程來(lái)考察，還是從它的

9、理論根據(jù)來(lái)考察，數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上都是一種演繹法?，F(xiàn)代美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞有這樣評(píng)論“數(shù)學(xué)歸納法”：“歸納法是通過(guò)對(duì)特例進(jìn)行觀察和綜合后以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的過(guò)程.它僅在數(shù)學(xué)中用以證明某類(lèi)定理從名稱上看，二者有聯(lián)系, 但二者在邏輯方面的聯(lián)系很少。而兩者之間還有某種實(shí)際聯(lián)系；我們常把兩種方法一起使用”2.2原理 所有數(shù)學(xué)都始于計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)就是把要計(jì)數(shù)的對(duì)象集合與幾個(gè)起始自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程.我們用表示自然數(shù)這個(gè)無(wú)限集合，自然數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)是良序性，下面將對(duì)自然數(shù)的良序性進(jìn)行形式化的論述，并且把它作為一個(gè)關(guān)于的公理.對(duì)于任何系統(tǒng)，公理是無(wú)需證明即為真的命題.為了對(duì)一個(gè)系統(tǒng)（這里指自然數(shù)）進(jìn)行推理，首

10、先需要對(duì)該系統(tǒng)做一些假設(shè).盡管這些基本的假設(shè)常常不容易一眼就看出，但它應(yīng)該是“合理的”和“顯而易見(jiàn)為真的”.良序原理：自然數(shù)集的每個(gè)非空子集都有一個(gè)最小元素.顯而易見(jiàn)，自然數(shù)的任何子集都可以通過(guò)列出實(shí)際元素的方式給定，即使對(duì)于不易直接定義的集合，該定理依然有效.例如，當(dāng)和可取任意整數(shù)時(shí)，考慮所表示的所有自然數(shù)集合.從定義看該集合的范圍并不明顯，但是根據(jù)良序原理，由于該集合非空（注意這很重要），集合中必有一個(gè)通過(guò)該方式表示的最小自然數(shù).（當(dāng)然，求具體的最小自然數(shù)的值是另外一回事.注意良序原理保證有一個(gè)最小數(shù)存在，但絕對(duì)沒(méi)說(shuō)如何去計(jì)算它.）從數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到應(yīng)用；從數(shù)學(xué)歸納法理論基礎(chǔ)到實(shí)際

11、教學(xué)；從數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)遇到的心理問(wèn)題。要清楚相關(guān)知識(shí)又何止這些呢?實(shí)際上,只有清楚了解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈和每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用范圍,以及每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的所以然,方能更好去解決問(wèn)題3 數(shù)學(xué)歸納法的步驟數(shù)學(xué)歸納法的步驟,若把需證明的命題記作(n),那么數(shù)學(xué)歸納法的步驟為:(1) 證明當(dāng)n=1時(shí),p(n=1)成立(2)假設(shè)n=k(且k0)時(shí),命題成立,即p(k)成立.證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立(3)根據(jù)(1)、(2) 當(dāng)k0且 時(shí) ,即p(n)成立運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí), 以上這三個(gè)步驟是必不可少的, 步驟(1)時(shí)是正確的奠基步驟,稱之為歸納基礎(chǔ), 步驟(2)反應(yīng)了遞推關(guān)

12、系,即命題的正確性具有傳遞性作用步驟(3)是將步驟(1)與步驟(2)組合完成數(shù)學(xué)歸納法中遞推的全部過(guò)程,所以三個(gè)步驟必不可少4 易錯(cuò)分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)對(duì)步驟把握不清的現(xiàn)象,下面針對(duì)幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行分析4.1 弄不清到時(shí)的式子變化 例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明: ,從“”到“”左端需增乘的代數(shù)式為： A . B. C. D.錯(cuò)誤解法：時(shí)，式子左端，時(shí)，式子左端為 故選B分析：時(shí)，左端第一個(gè)因式也有所變化，不能簡(jiǎn)單地看后面的因式 正確解法：當(dāng)時(shí)，左端為為從到連續(xù)整數(shù)的乘積4.2 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)忽略了時(shí)的假設(shè)條件 例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)， 錯(cuò)解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=,右邊=,等式成

13、立 (2)假設(shè)，時(shí)，等式成立即則當(dāng)時(shí)，=.所以時(shí)，等式成立綜上所述 當(dāng)時(shí)，成立分析：在證明等式成立時(shí)，沒(méi)有用到歸納假設(shè)正解：(1)當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，等式成立 (2)假設(shè)，時(shí)，等式成立，=.所以時(shí)，等式也成立.綜上所述，對(duì)一切，都成立數(shù)學(xué)歸納法要運(yùn)用“歸納假設(shè)”，沒(méi)有“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法5 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的典型例題 例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明：=，分析：本題第一步的驗(yàn)證要取，在第二步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的和角公式證明：(1)當(dāng)時(shí)，右邊=左邊則等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即=.=.點(diǎn)評(píng)：本題在第(2)步的證明過(guò)程中使用了正切和差角的變形形式，即1=.因此在用

14、數(shù)學(xué)歸納法證明三角命題時(shí)，應(yīng)針對(duì)時(shí)命題的特征，合理地選擇和使用三角公式證明三角恒等式時(shí),常動(dòng)用有關(guān)三角知識(shí)、三角公式及三角的變換法. 例4:求證: 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊= ,右邊= ,等式成立.(2) 假設(shè)時(shí)等式成立,即由(1)和(2)可知等式均成立6 中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法的用途在討論涉及正數(shù)無(wú)限性的問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)歸納法是一種及其重要的方法,在中學(xué)數(shù)學(xué)中它的作用和地位可以用三個(gè)方面來(lái)體現(xiàn):(1)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列與,二項(xiàng)公式定理等等都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 而完全歸納法得到的一些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,也常應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們

15、的正確性(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.既可以開(kāi)闊眼界,又可以受到推理論證的訓(xùn)練.對(duì)于一些用常規(guī)的分析終合法不好證明的題,用數(shù)學(xué)歸納法往往會(huì)得到一些意想不到的好結(jié)果(3) 在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)歸納法會(huì)經(jīng)常用到,因此掌握這種方法可以為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ).7 數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用7.1 數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的意義歸納法是由特殊得出一般結(jié)論的歸納推理方法，一般性結(jié)論的正確性是依靠個(gè)別結(jié)論的正確性所以數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是證明命題對(duì)于一切自然數(shù)都是真命題它在本質(zhì)是與數(shù)的概念聯(lián)系在一起的，所以數(shù)學(xué)歸納法可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在幾何中也不例外數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與自然數(shù)

16、n有關(guān)命題的正確性方法它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，證明過(guò)程一般可分以下兩個(gè)步驟:1.對(duì)于命題有意義的最小值，直接驗(yàn)證命題是正確的2.證明如果命題對(duì)任一自然數(shù)成立，那么論斷必然成立7.2數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用 7.2.1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作計(jì)算 例5：平面上有圓心在同一直線上的半圓，其中任意兩個(gè)都相交，且都在直線的同側(cè)，問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓弧? 解:設(shè)半圓的交點(diǎn)最多將半圓分成若干段圓弧，如下圖所示. 圖1 圖2 圖3容易發(fā)現(xiàn)由此可以猜測(cè)n個(gè)半圓互相分成圓弧段最多有 證明:由題意知 (1)當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，（平面內(nèi)滿足條件的k個(gè)半圓互相分成的圓弧最

17、多有.）那么當(dāng)n=k +1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，可獲得最多圓弧段，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中每個(gè)半圓的某一段圓弧都一分為二，這樣就多出了k條圓弧;而原k個(gè)半圓又把第k+1個(gè)半圓分成了k+1段圓弧，這樣又多出了 k+1條圓弧故 這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立根據(jù)(1) 和(2) 可知，滿足條件的 n個(gè)半圓被所有交點(diǎn)最多分成 段圓弧8 結(jié) 論數(shù)學(xué)歸納法主要針對(duì)一些與自然N的相關(guān)命題,所以在證明和自然數(shù)N有關(guān)的恒等式子中有著不可替代的作用,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意它的兩個(gè)步驟必不可少,第一步命題遞推的基礎(chǔ),第二步是命題遞推的依據(jù),也是證明

18、的關(guān)鍵和難點(diǎn),同時(shí),數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟和格式是數(shù)學(xué)歸納法的特征,如n=k時(shí)的假設(shè)是第二步證明n=k+1的“已知”,證明時(shí)一定要用到它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,在證明時(shí)命題成立,要用到一些技巧,如:一湊假設(shè),二湊結(jié)論,不等式的放縮、等價(jià)轉(zhuǎn)化、拆項(xiàng)、加減項(xiàng)等，但這些解題技巧需在實(shí)踐中不斷積累和總結(jié),證明三角恒等式時(shí)常用到有關(guān)三角公式、三角知識(shí)以及三角的轉(zhuǎn)換等.通過(guò)這些變換可更簡(jiǎn)單便捷的讓命題得證.總的來(lái)說(shuō)記住三句話：“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，寫(xiě)結(jié)論時(shí)莫忘掉”,我們這樣才可以較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證題方法,更是中學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)之一,它在開(kāi)闊眼界,訓(xùn)練推理能力等諸多方面有著很大的幫助.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于許多重要的結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)公式定理以及差數(shù)列等,都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,這樣既可以加深對(duì)教材的熟悉又可以加深知識(shí)的理解.當(dāng)然不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中,在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中,數(shù)學(xué)歸納法也是一種不可缺少的方法。同時(shí)借助數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行幾何教學(xué)，便于學(xué)生一步步理解命題的內(nèi)涵，進(jìn)而容易找到 n 與 n+1 的關(guān)系，這樣可以準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用，不僅讓學(xué)生從感知上了解認(rèn)識(shí)幾何，而且深刻地理解到