數(shù)學(xué)建模淋雨問題論文

1、班級學(xué)號姓名材科121201201524113李佳科材科121201201524122田洋洋材控122201201514231楊紫東淋雨問題論文摘要本文在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人在雨中奔跑時淋雨的多少與奔跑速度、降雨的方向以及雨線的方向與跑步的方向是否在同一平面內(nèi)等因素的關(guān)系，得出結(jié)論：若雨迎面落下，則以最大速度跑完全程淋雨量最少；如果雨從背面吹來，分兩種情況: (雨從背面吹來時與人體夾角為)當(dāng)時，跑得越快越好;當(dāng)時，跑步速度，則以降雨速度的水平分量奔跑時淋雨量最少。若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，則可將雨速方向分解為與人跑速度同向的速度和與人跑速度方向垂直的速度.

2、 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情況，垂直速度可看成模型一的情況。關(guān)鍵詞淋雨量，雨速大小與方向，跑步速度。正文 1.問題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量就越少。將人體簡化成一個長方體，搞a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m。設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度,雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h,記得跑步速度為v，按以下步驟進行討論：（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為x，如圖1，建立總淋

3、雨量與速度v以及參數(shù)a、b、c、d、u、w、之間關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算，時的總淋雨量（3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為,如圖2，建立總淋雨量與速度v以及參數(shù)a、d、c、d、u、w、之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算時的總淋雨量。(4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）進行作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化。2.模型假設(shè)2.1將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m,寬b=0.5m.厚c=0.2m；設(shè)跑步的距離為1000m，跑步的最大速度，雨速u=4m/s，降雨量w=

4、2cm/h，記跑步速度為v；2.2雨中跑步為勻速直線，不考慮風(fēng)、雨水等阻力問題2.3雨的密度相同，不考慮風(fēng)、雷電等因素的影響，雨速為常數(shù)且方向不變。3.符號的說明：時間 Q：總降雨量 :頂部降雨量 ：前表面降雨量 ：后表面降雨量 : ：淋雨的面積 ：單位升 ：雨速方向與人速方向的最小夾角4.模型建立與求解4.1模型一的建立與求解淋雨量的定義：文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到的雨的體積，可表示為單位時間單位體積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨的時間的乘積。設(shè)不考慮雨的方

5、向，降雨淋遍全身，則淋雨面積雨中奔跑的所用的時間: 總降雨量: 帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，解得4.2模型二的建立與求解當(dāng)雨迎面吹來時，雨線和跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為。則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量。（如圖1）建立總淋雨量與速度及參數(shù)之間的關(guān)系如下:(1)考慮頂部淋雨量：設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為，（）由圖可知，雨速在垂直方向上的分量與v無關(guān)，故頂部單位時間單位面積的淋雨量為：，頂部的面積是，淋浴時間為于是頂部淋雨量為：（2）考慮前部淋雨量:由圖可知，雨速的水平分量是且與方向相反，人相對于雨的水平速度是：故前部單位時間單位面積淋雨量為：（即人本身的淋雨量加上人相對于雨速的淋雨量）

6、又因為前部的淋雨面積是：，時間是：故前部的淋雨量是：綜上所述，可得總淋雨量帶入相關(guān)數(shù)據(jù)求得：由函數(shù)可知，總淋雨量與人跑步速度以及雨線與人的夾角兩者有關(guān)。對函數(shù)求導(dǎo)得顯然，<0,故Q是v的減函數(shù)，Q隨v的增大而減小。因此，速度總淋雨量最小。（i） 當(dāng)，帶入數(shù)據(jù)，解得：（ii） 當(dāng)，帶入數(shù)據(jù)，解得： 4.3模型三的建立與求解若與從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面，且與人體的夾角是，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量。（如圖2）建立總淋雨量與速度及參數(shù)之間的關(guān)系如下：(1)考慮頂部淋雨量：設(shè)雨從背面吹來時與人體夾角為，（）由圖可知，雨速在垂直方向上的分量與v無關(guān)，故頂部單位時間單

7、位面積的淋雨量為：，頂部的面積是，淋浴時間為于是頂部淋雨量為：（2）考慮后部淋雨量:由圖可知，雨速的水平分量是且與方向相同，人相對于雨的水平速度是：故人后部單位時間單位面積淋雨量為：又因為后部的淋雨面積是：，時間是：故后部的淋雨量是：綜上所述，可得總淋雨量帶入相關(guān)數(shù)據(jù)求得： (由函數(shù)可知，總淋雨量與人跑步速度以及雨線與人的夾角兩者有關(guān)。對Q求導(dǎo)得：（I）當(dāng)時，且，可知，故；所以總淋雨量Q隨著速度v的增加而減少，因此，總淋雨量最少。（II）當(dāng)時，且，可知的符號不確定，故可分為兩種情況。當(dāng)，由上述情況兩種可知當(dāng)時，總淋雨量最小，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：Q=0.241（L）4.4模型四的建立與求解(1)根

8、據(jù)(3)中所求的降雨總量然后對式子分別求導(dǎo)可以可畫出圖如下：(2)解釋結(jié)果的實際意義從圖中可以知道：（i）如果雨迎面吹來時，跑得越快越好。（ii）如果雨從背面吹來，分兩種情況: 當(dāng)時，跑得越快越好當(dāng)時，跑步速度，Q最小4.5模型五的建立與求解在以上的假設(shè)中，雨線方向與跑步方向是在同一平面內(nèi)，若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，則可將雨速方向分解為與人跑速度同向的速度和與人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情況，垂直速度可看成模型一的情況. 5.結(jié)果分析由這些數(shù)值可知：隨著人跑步的速度逐漸變快，人的淋雨量越少，跟我們在實際生活中相差不大。在該模型二中只考慮到了頂面和人的迎雨面，可以看出在該模型下人跑的越快，淋雨就越少，可是在實際情況我們也應(yīng)該考慮到人的背面是否淋雨，在模型三中就解釋了這個問題。在該模型三中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實際的生活就差不多很相似了 。由這三個模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。只是這是在理想模型下建立的求解，因為在實際的生活中人的跑步速度不太可能是勻速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。在以上的假設(shè)中，人以沿直線奔跑，若人以沿折線奔跑，則可將折線分段考慮，同樣可分解成模型一或模型二、三， 在以上的假設(shè)中，人看成長方體，若人看成是圓柱體，情況又發(fā)生改變，而實際