數(shù)學(xué)物理方程矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)

1、第一章 矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)內(nèi)容提要1） 正交曲線坐標(biāo)系：設(shè)有三組互相正交的曲面族由下列方程定義： 在正交曲線坐標(biāo)中的線元、面元、體元分別為式中、代表循環(huán)量1、2、3，稱拉梅系數(shù)。三種坐標(biāo)系中坐標(biāo)單位矢量間的關(guān)系：柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)球坐標(biāo)與直角坐標(biāo) 2） 矢量及其運(yùn)算：直角坐標(biāo)中算符的定義：一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度為：梯度給出了一點(diǎn)上函數(shù)隨距離變化的最大速率，它指向增大的方向。一個(gè)矢量穿過(guò)一個(gè)曲面的通量為對(duì)一個(gè)閉合曲面而言，向外為正。直角坐標(biāo)系中的散度表示在這一點(diǎn)上每單位體積向外發(fā)散的的通量。散度定理： 散度的體積分=矢量的面積分其中是由所包圍的體積。斯托克斯定理： 旋度的面積分=矢量的線

2、積分其中是由所包圍的面積。直角坐標(biāo)系中的旋度拉普拉辛是梯度的散度在直角坐標(biāo)系中：一個(gè)矢量的拉普拉辛定義為：其它坐標(biāo)也可寫成：柱坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中 3） 亥姆霍茲定理：矢量場(chǎng)可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)分量之和其中 因此一個(gè)矢量場(chǎng)要從散度和旋度兩個(gè)方面去研究 4） 函數(shù)定義： 性質(zhì) a）偶函數(shù)：b）取樣性： 有機(jī)會(huì)用到的表達(dá)式： 1-1. 證明： =18+6-24=0 說(shuō)明相互垂直1-2. 空白1-3. 證明： 說(shuō)明相互垂直1-4. 解：當(dāng)坐標(biāo)變量沿坐標(biāo)軸由增至?xí)r，相應(yīng)的線元矢量為： = =其中弧長(zhǎng) 其中 令則1-5. 解：(1) 據(jù)算子的微分性質(zhì)，并按乘積的微分法則，有 其中、暫時(shí)視為常

3、矢，再根據(jù)二重矢量積公式 將上式右端項(xiàng)的常矢輪換到的前面，使變矢都留在的后面 則 除去下標(biāo)c即可 (2) 利用(1)式的結(jié)果即可。(3) 據(jù)算子的微分性質(zhì)，并按乘積的微分法則，有 再算子的矢量性，并據(jù)公式 將常矢輪換到的前面 代入得： 1-6.(1) 證：(2) 證： 右邊第一項(xiàng)的分量同理 則 (3) 1-7.證：所以 據(jù)公式 所以 （梯度的旋度等于零） 同理 1-8. 解： 1-9. 證： 用常矢量點(diǎn)乘式子兩邊得 上式左邊：利用矢量恒等式： 因?yàn)闉槿我獬Ｊ噶?，則 設(shè)為任意常矢量，令,代入Stokes定理 上式左邊 上面用到： 右邊 則得：因?yàn)槭侨我獾?，所?1-10. 證：據(jù)矢量場(chǎng)的散度定理令，和為空間區(qū)域中兩個(gè)任意的標(biāo)量函數(shù)則上式左邊所以1-11. 函數(shù)在M點(diǎn)的散度從它的定義推出 如圖，考慮的兩個(gè)端面左端面位于，右端面位于取曲面外