微分中值定理與應(yīng)用

1、第五講：微分中值定理與應(yīng)用一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1、已知，則有 （B）A一個(gè)實(shí)根 B兩個(gè)實(shí)根 C 三個(gè)實(shí)根 D無實(shí)根 解：（1）在滿足羅爾定理?xiàng)l件故有（）綜上所述，少有兩個(gè)實(shí)根，至多有兩個(gè)根，故選 2下列函數(shù)在所給區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件的是 （D）ABCD解：，滿足羅爾定理?xiàng)l件故選 D3設(shè)曲線，則其拐點(diǎn)坐標(biāo)為（C）A0 B（0，1）C（0，0）D1解：令得當(dāng)時(shí)，故（0，0）為曲線的拐點(diǎn) C4若內(nèi)必有（C）ABCD解：凹弧如示意圖，故有5設(shè) 在取得極值。則為（）A BC D解： 得得答案選6下列命題中正確的是-（B）A 為極值點(diǎn)，則必有B 若在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 為 的極值點(diǎn)，則必有C

2、 若在（）有極大值也有極小值則極大值必大于極小值。D 若則點(diǎn)必有的極值點(diǎn)。解：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，故有=0 選B二、填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)可導(dǎo)，且的極小值。則解：原式=8的單調(diào)增加區(qū)間為解：（1）定義域（2）當(dāng)0<x<e 時(shí)。 故的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）9的極小值是解：（1）（2）令，駐點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)x1+_+單調(diào)增單調(diào)減極小單調(diào)增（3）極小值10的最大值為 1 解：（1）是的不可導(dǎo)點(diǎn)。（2）（3）最大值為11曲線的水平漸進(jìn)線為解：直線是曲線的一條水平漸進(jìn)線12函數(shù)在1，2滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的解：（1）=（2） 三、計(jì)算題（每小題8分，共64分） 13.已知

3、在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，求解： ，14求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）駐點(diǎn)，的不可導(dǎo)點(diǎn)（2）x-10+-+極大極小（3）極大值，極小值， 在單調(diào)減在單調(diào)增15 求由方程所確定 的極值。解：（1）求駐點(diǎn)：令駐點(diǎn)（2）判別極值點(diǎn)當(dāng)時(shí) 代入上式2+0+0+0+=為極大值點(diǎn)，（3）極大值16求在區(qū)間，4上的最大值，最小值。解：（ 1）令， 為不可導(dǎo)點(diǎn) （2）（3）比較上述函數(shù)的大小最小值為 ，最大值為 0 17求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）定義域（-，+）（2） 令得； 不存在的點(diǎn)為（3）列表（-，0）0（0，1）1（1，+）+0不存在+凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹答：拐點(diǎn)（0，）及（1，）；，為凹區(qū)間

4、，（0，1）為凸區(qū)間。18求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。解：（1）是曲線的一條水平漸近線。（2）是曲線的另一條水平漸近線（3）為曲線的一條垂直漸近線19判別函數(shù)在的單調(diào)性。解：（1）（）令且（3）在單調(diào)減。20設(shè)確定單調(diào)的區(qū)間。解：（1）故有為駐點(diǎn) （2）當(dāng)時(shí)，時(shí)， （3）除外，在單調(diào)增加。四、綜合題（每小題10分，共分）21 已知函數(shù)的圖形上有一拐點(diǎn)（2，4），在拐點(diǎn)處曲線的切線斜率為，而且該函數(shù)滿足，求此函數(shù)解（1）已知；（2）求常數(shù)，（3）求：， 由（4）求函數(shù)y:答：所求函數(shù)y=22 利用導(dǎo)數(shù)描繪的圖形解：（1）定義域，非奇非偶函數(shù)（2）求駐點(diǎn)和的點(diǎn)，令，駐點(diǎn)，令，得（3）列表x1(1,2)2+_+y極大拐點(diǎn)極大值，拐點(diǎn)（4）漸近線與函數(shù)變化趨勢(shì)是曲線的一條水平漸進(jìn)線，（5）描點(diǎn)作圖當(dāng)時(shí)五、證明題（每小題9分，共18分）23 設(shè)存在且單調(diào)增加，證明當(dāng)時(shí)單調(diào)增加證明：1）令當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加故有單調(diào)增加24 設(shè)證明，證