東北師大附屬中學(xué)高輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案雙曲線A

1、雙曲線(教案)A一、知識(shí)梳理：1. 雙曲線的定義定義的理解：(1) 當(dāng) 2a=2c 時(shí)，; 當(dāng) 2a>2c 時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，; 當(dāng) |MFi|-| M F2|=2a 時(shí)，表示 _ 當(dāng) IMF2H M R|=2a 時(shí)，表示 x2 y22. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程：篤-爲(wèi)=1(a>0,b>0) 焦點(diǎn)在y軸上a2 b2y2 x2的標(biāo)準(zhǔn)方程：-2- -2 =1(a>0,b>0)a b兩種方程可用統(tǒng)一形式表示:Ax2+ By2=1 (AB<0),當(dāng)A>0,B<0時(shí)，焦點(diǎn)在 _軸上，當(dāng)A<0,B>0時(shí)，焦點(diǎn)在 軸上；對(duì)雙曲線的兩

2、種標(biāo)準(zhǔn)方程，都有(a>0,b>0),焦點(diǎn)都在實(shí)軸上，且 a、b、c始終滿足c2=a2 + b23. 雙曲線焦點(diǎn)所在的軸的判定方法：在標(biāo)準(zhǔn)方程中，只要看系數(shù)，如果x2為正,y2的系數(shù)為負(fù)，則雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，反之，焦點(diǎn)在y上.4. 雙曲線的幾何性質(zhì)x2 y2對(duì)于雙曲線2-2 =1(a>0,b>0)22(1) 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，冷-篤=1(a>O,b>O)|x|>a ,說明雙曲線位于直線 x= ±玄的a b兩側(cè)；2 2 對(duì)稱性：雙曲線 學(xué)篤=1(a>0,b>0)關(guān)于直線x軸，-軸，及原點(diǎn)對(duì)稱；a2 b2 頂點(diǎn)：Ai(- a,

3、0), A2(a, 0)是雙曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，Bi(0, - b), B2© b)線段 AA2、BB2分別叫雙曲線的實(shí)軸與虛軸，它們的長(zhǎng)分別是2a, 2b; a, b分別叫雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)與半虛軸長(zhǎng)。 離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比值e=c叫雙曲線的離心率，范圍：(1,+8),ac2越接近于1越窄狹，越大開闊，常用計(jì)算：e2=1+巧；雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和直aa2線x=- 的距離之比等于離心率，由此可以求出雙曲線上的點(diǎn)到相應(yīng)的焦點(diǎn)的距c離(焦半徑)p在右支上時(shí),|p F11= e xo+a |p F2F e x° - a ;p在左支上時(shí)， |p F11=-( e x0 +

4、 a) |p F2|=-( e x0 - a )( F1, F2為左、右焦點(diǎn))(5)雙曲線的漸近線求法：將方程中的常數(shù)變?yōu)?特點(diǎn)：與漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)。2 2有共同漸近線的雙曲線系：與雙曲線有共同漸近線的雙曲線可設(shè)為02-12 = Xa >0, ?> 0,入工 0)2 25. (選講內(nèi)容)雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線壬-£ =1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為:x = sec 0y = ta n 0為參數(shù)(0)6二次曲線的弦長(zhǎng)公式：整理得到x的方程：整理得到y(tǒng)的方程：7.等軸雙曲線：x2 - y2 = X 入工 0)漸近線：y = ±x

5、離心率:e= 2xy=1是等軸雙曲線x2 y28.共軛雙曲線:a2-= ±1(a>0,b>0) 二、題型探究探究一：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求雙曲線方程常用方法：待定系數(shù)法)例1:求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)、兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4 , 0)、(4, 0),雙曲線上的點(diǎn) P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之 差為6;2 2 _ _(2) 、與橢圓 補(bǔ)+呂=1共焦點(diǎn)且過點(diǎn) B(3 2 , 2)2552 2(3) 、求以橢圓才6 =1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程2 / 10探究二：雙曲線的幾何性質(zhì)例2 :根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 與雙曲線x2- y2 = 1有共同的

6、漸近線,且過點(diǎn)(-3, 2 3).與雙曲線x2- y2 = 1有共同的焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3 2, 2). 雙曲線的一條漸近線與x軸夾角為30°,且過點(diǎn)(1,1).探究三：直線與雙曲線例3:2(1)、已知雙曲線X2 -1，過點(diǎn)P 1,1能否作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且線2段AB中點(diǎn)為P ?若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由.解：這樣的直線不存在，可用點(diǎn)差法解AB的斜率為2,這與判別式大于零矛盾2 2、過雙曲線 =1的右焦點(diǎn)作直線 L交雙曲線于 A B兩點(diǎn)，求線段 AB的916中點(diǎn)M的軌跡方程。2 2解：易得右焦點(diǎn)為 F(5,0)M(x, y), A(x,y ),B(b% )，則有：

7、 乞-止=1 ,9162X292 y216=1兩式相減:19 X1X2X1 - x116y< y2 % - y2 = 0由題設(shè)條件得：x-!x2= 2x, % y2=2y ,出二_0代入得:% x2 x _ 5-2x 2y 土10 =o=.916 x516x21。100100三、方法提升（1） 、熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，特別是a, b, c, e四個(gè)數(shù)值的換算關(guān)系；（2）、掌握雙曲線的定義、幾何性質(zhì)，通過運(yùn)算得到的雙曲線特殊結(jié)論要留下深刻印 象；特別是漸近線的重要結(jié)論 （3）、為簡(jiǎn)化運(yùn)算，處理交點(diǎn)問題時(shí)，常采用"設(shè)而不求”的辦法，一般是設(shè)出交點(diǎn) 后，再用韋達(dá)定理處理，這種方法

8、在處理直線與雙曲線的位置關(guān)系中極為重要。四、反思感悟五、課時(shí)作業(yè)、選擇題（每小題6分，共42分）1若方程2x|m|-22ym -1=-1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則它的半焦距c的取值范圍是（)A. (0,1)B.(1, 2)答案：Cy2x2解析：yx 1，又焦點(diǎn)在m -1一 =1|m-2|C. （1, +R）D.以上都不對(duì)y 軸上，則 m-1>0 且 |m|-2>0,故 m>2 , c=.(m匚 1)|m 匚2 =、2m-3>1.2.（2010江蘇南京一模，8）若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率e等于（）A. .2答案：C解析：設(shè)雙曲線方程為2x

9、2a2 y b2b=1,則F( c,0 ) y= x的距離為abc=2a= b=2a,e= = 5a3.（2010湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬,11）與雙曲線2-'=1有共同的漸近線,16且經(jīng)過點(diǎn)（-3,4.2 ）的雙曲線方程是（）2y2 x2yx22 2xy2 24xyA. J- =1B.- =1C.=1D.=11698331694解析：設(shè)雙曲線為2 x2=入，入=J-3)2"2)2=-1,故選A.91691622xy4.設(shè)離心率為e的雙曲線C:2亍=1（ a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為 F，直線I過點(diǎn)F且ab斜率為k，則直線l與雙曲線2 2 2 2A.k -e >1B.

10、k -e <1C在左、右兩支都相交的充要條件是2 2C.e -k >1)2 2D.e -k <1解析：雙曲線漸近線的斜率為土b，直線I與雙曲線左、右兩支都相交，則-b<k< -，aa a即k2<豈a22 2c -a=e -1，a即 e2-k2>1.5.下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以圖中的 F1、F2為焦點(diǎn)，設(shè)圖中的雙曲線的離心率分別為e1、e2、e3,則（）C.e1=e3<e2A.e1>e2>e3 答案：DB.e1<e2<e3D.e1=e3>e2解析：*奢諸%丨吋2丨IF1F2IW)

11、對(duì)于，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則|MF2|= .5 , |MF1|=1, IF1F2F22 ,| F1F2 |242vio + v 2"|MF2 |-|MFi5-1 一 2對(duì)于設(shè) |MFi|=1 則 IMF2F、3, |FiF2|=2,e3=2CIF1F2 |2a IMF? I - | MFi3 -1=、3 +1.又易知.3+1'匸02,故ei=e3>e2.6.（2013湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬,11）已知橢圓E的離心率為e,兩焦點(diǎn)為Fi、F2,拋物線C以Fi為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若凹弋則e的值為|PF2 |、.2C.2D解析：設(shè) P( x°,yo)，則

12、 ex°+a=e(xo+3c)= e=7.（2012江蘇南通九校模擬，10）已知雙曲線2 x 2 a2乂y=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)bA.30 °B.45 °C.60°D.90 °a2 ab)1 ab2 a解析：A （,Sa oaf=22c= a=b,故兩條漸近線為y= ± x,夾角為c c2c290° .二、填空題（每小題5分，共15分）2 2222線與一條漸近線交于點(diǎn) A， OAF的面積為 邑（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（）2xyxy8.已知橢圓=1與雙曲線2 2 =1（m>0,n&

13、gt;0）具有相同的焦點(diǎn)Fi、F2,設(shè)兩25 16mn曲線的一個(gè)交點(diǎn)為 Q，/ QFiF2=90°,則雙曲線的離心率為 .22j 22解析： a =25,b =16, a c= . a -b =3.又 |QFi|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QFi|=2m,2 2 2|QF2|=5+m,|QFi|=5-m.又|QF2| =|QFi|+|FiF2| , 即（5+m）2=的）2 心 m=|： e=m 耆552 29.（2012湖北黃岡一模,15）若雙曲線x =1的一條準(zhǔn)線恰為圓 x2+y2+2x=0的一16 k條切線，則k等于解析:因圓方程為222a(X+1) +y =1,故-

14、一=-2,即C16-.16 k=2,k=48.210. 雙曲線X -y2=1（n>1）的兩焦點(diǎn)為F1、F2,P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|=2 . n 2,n則厶pf1f2的面積為.解析：不妨設(shè) |PF1|>|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2 . n，故|PF1|= n 2 一 n ,|PF2|. n 2 _劇n.又 |F1F2|2=4 (n+1)=|PF1 2+|PF2|2,PF1F2 為 RtA .故 S ?吋21=|PF1|2 |PF2|=1.2、解答題（11 13題每小題10分，14題13分，共43分）2 211. 若雙曲線 令=1（a>0,b>

15、;0）的右支上存在與右焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線距離相等的點(diǎn)，求a b離心率e的取值范圍.解析：如右圖，設(shè)點(diǎn) M （X0,y0）在雙曲線右支上，依題意，點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離 X0> a,. a(2e) >a.v 1 e > 1,e> 1,. e2-e>0.e -ee -e- 1+e>e2-e. 1-2 < e< 1+、2 .但 e>1,. 1<e< 1+2 .OPi、OP22712. 已知 P1OP2的面積為 ,P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線413為漸近線且過點(diǎn) P而離心率為的雙曲線方程.2解析：以O(shè)為原點(diǎn)，/ P1OP2的角平分

16、線為x軸建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系 ，設(shè)雙曲x2 y2,2 c2 b 213線方程為 2y =1(a>0,b>0),由 e = 2 =1+()=()a ba a 2兩漸近線33OPi、OP2方程分別為y= x和y=- x,22設(shè)點(diǎn)Pi3-3(X1,X1),點(diǎn) P2 (X2,-2X2 ) (xi >0,X2 > 0),則點(diǎn)P分P1P2所成的比P1PPP2=2.得坐標(biāo)為x1 2x2(h3 x1 -2x2卄 捲 +2x2 x1 2x2),即(1212，又點(diǎn)P在雙曲線2X2a2丄=19 2a4上.所以2(X1 2X2)2(X1 2X2)9a29a2=1,即 (X1 +2x2 )

17、2-(X1-2x2)2=9a2.8x1X2=9a29又 IOP1F.X14X1-X1,|OP2|=. X22924X213X2,sin PiOP2=2ta n P1OX1 tan2 ROX2.329 + 4=13 ' s POP2 冷 |OPi|2 |OP2|2 sinPiOP2= 1 2 13 1312 27922X1X22= ，即X1X2=.，由得a2=4,. b2=9,故雙曲線方程為13 422丄=1.913. （2012江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬，23）已知傾斜角為45°的直線I過點(diǎn)A （1, -2）和點(diǎn)B, 其中B在第一象限，且|AB|=3 2 .（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2（2）

18、 若直線I與雙曲線C: -2-y2=1（a>0）相交于不同的兩點(diǎn) E、F,且線段EF的中點(diǎn)a坐標(biāo)為（4, 1），求實(shí)數(shù)a的值.解：（1）直線AB方程為y=x-3,設(shè)點(diǎn)B（x,y），y = x 3,由22 及 x>0,y>0,得 x=4,y=1, 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4, 1）.l（x-1）2 +（y+2）2 =18,y=x-3,12（2）由 <x22 得（P-1）x+6x-10=0.-y =1. aE (X1,y1),F(X2,y2),則X1 +X2=6a21 -a2=4,得 a=2,此時(shí), >0, a=2.x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是14如右圖,環(huán)F2分別是雙曲線.a(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：/ FiBA= / F2BA.(1)解析：依題意知 F1 (-2,0) ,F2(2,0),A( 2,- 2).2 2設(shè) B (xo,yo),則 F1 A=(2子,AB =(xo-,yo+,2 23