專題立體幾何空間幾何體

1、專題四立體幾何第1講空間幾何體自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1. （2012 遼寧）一個幾何體的三視圖如圖所示，貝U該幾何體的表面積為解析 將三視圖還原為直觀圖后求解.根據(jù)三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱, 答案 382. （2012遼寧）已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P、n = 38.r PA、所以S= 2X (4 + 3+ 12) + 2n 2A、B、C都在半徑為.3的球面上,PB、PC兩兩相互垂直，則球心到截面 ABC的距離為.解析 先求出 ABC的中心，再求出高，建立方程求解.如圖，設(shè)FA= a， 則 AB= 2a，PM = 33a.設(shè)球的半徑為R,所以于a R2+于a2= R2,將R= .

2、3代入上式，解得 a=2,所以 d= 3 2、3=-3 答案于考題分析然后依據(jù)公式計算.高考考查本部分內(nèi)容時一般把三視圖與空間幾何體的表面積與體積相結(jié)合，題型以小題為主,解答此類題目需仔細(xì)觀察圖形，從中獲知線面的位置關(guān)系與數(shù)量大小，網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：空間幾何體與三視圖【例1】已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為 有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為2的正三角形，側(cè)視圖是審題導(dǎo)引條件中的俯視圖與側(cè)視圖給出了邊長，故可根據(jù)三視圖的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行選擇.規(guī)范解答空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的 “高平齊”故正視圖的高一定是 2,正視圖和 俯視圖“長對正”故正視圖的底面

3、邊長為2,根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個空間幾何體最前 面的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一個側(cè)棱，綜合以上可知，這個空間幾何體的正視 圖可能是C.答案C【規(guī)律總結(jié)】解決三視圖問題的技巧空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的 高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾 何體的最大寬度在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪 廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中 的“虛線

4、”【變式訓(xùn)練】1. （2012豐臺二模）一個正四棱錐的所有棱長均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐 的正視圖的面積為L1 俯視圖A. ,2B. 3C. 2解析正四棱錐的直觀圖如圖所示, 二SH= 2,其正視圖為底面邊長為D. 4BH= 2, SB= 2,2,高為.2的等腰三角形,正四棱錐的正視圖的面積為S= 2X 2X 2二2.答案 A考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積與體積m），則該幾何體的體積為【例2】八 ，393小3,93A. 4 mBQmC. 3m D.4 m（2012 豐臺一模）若正四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體 的表面積是A. 4B . 4 + 4 . 10C. 8審題導(dǎo)引(

5、1)把三視圖還原為幾何體，畫出其直觀圖，然后分別計算各個部分的體積，最 后整合得到結(jié)果；(2)作出幾何體的直觀圖，根據(jù)正視圖中的幾何體的數(shù)量可得直觀圖的數(shù)量，可求其表面積.規(guī)范解答這個空間幾何體的直觀圖如圖所示，把右半部分割補(bǔ)到上方的后面以后，實(shí) 際上就是三個正方體，故其體積是 3 m3.故選C.正四棱錐的直觀圖如圖所示，由正視圖與俯視圖可知SH= 3,AH = 2，AB = 2，S SAB的高 SE= .SH2+ EH2= , 10，所求的表面積為1s= 4X qx 2X .10+ 2X 2=4+ 4 10.答案(1)C(2)BB【規(guī)律總結(jié)】組合體的表面積和體積的計算方法實(shí)際問題中的幾何體往

6、往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組 成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)， 將整個組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些 “部分的表面積或體積”的和或差.易錯提示空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾 何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”.多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積 之和.對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的

7、，在計算時不要多算 也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和.【變式訓(xùn)練】2. (2012 濟(jì)南模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，貝U該幾何體的體積為 .睛銳圖俯挽圖解析 由三視圖可知該幾何體為三棱錐，其高為 3,13底面積為s= 2X 3x 1 = 2,133二體積 V= 3X 2X 3= 23 答案23某品牌香水瓶的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為 cm2側(cè)視圖解析這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱.上,.nn1面四棱柱的面積為2X 3X 3+ 12X 1 -4 = 30- 4；中間部分的面積為2nX寸1= n下面

8、部分的面積為2X4X4+ 16X 2-n= 64-；故其面積是94 +才答案94+n 考點(diǎn)三：球與球的組合體【例3】正四棱錐S- ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 2,點(diǎn)S A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的體積為審題導(dǎo)引如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個點(diǎn)0使得0A= OS, 則四棱錐的五個頂點(diǎn)就在同一個球面上.規(guī)范解答如圖所示，在RtASEA中，SA= 2, AE= 1故SE= 1設(shè)球的半徑為r，貝U0A= 0S= r，0E= 1-r.在 RtAOAE 中，r2= (1 - r)2+ 1，解得 r = 1，即點(diǎn) 0 即為球心，故這4 n個球的體積是"3&

9、quot;.4 n答案§【規(guī)律總結(jié)】巧解球與多面體的組合問題求解球與多面體的組合問題時，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對稱性判 斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個幾何元素的關(guān) 系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的.【變式訓(xùn)練】4. (2012普陀區(qū)模擬)若一個底面邊長為中，側(cè)棱長為 6的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一 個球面上，則此球的體積為.解析 設(shè)正六棱柱的上，下底面的中心分別為 01, 02，則0102的中點(diǎn)即為球心0，如圖所示，A0223，020 26，二 R= A0= A02+ 02。2= 2，4- 3-34一 3-V冗9- 2-A名

10、師押題咼考【押題1】某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則該三棱錐的體積為制視圖解析由于側(cè)視圖和俯視圖“寬相等”，故側(cè)視圖的底邊長是2，由此得側(cè)視圖的高為 2 3,此即為三棱錐的高；俯視圖的面積為 6,由題設(shè)條件，此即為三棱錐的底面積所以所1求的三棱錐的體積是3X 6X 2 .3 = 4 3.答案4 3押題依據(jù)幾何體的三視圖是高考的熱點(diǎn)問題，通常與幾何體的體積和表面積結(jié)合考查. 本 題給出幾何體的三視圖及其數(shù)量大小，要求考生據(jù)此計算幾何體的體積，此類型可以說是高 考的必考點(diǎn)，故押此題.【押題2】正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，且正四面體的高為4,則這個球的表面積是.解析 我們不妨設(shè)該正四面體的棱長為 a,其外接球的半徑是R,內(nèi)切球的半徑是r，則43該正四面體的高h(yuǎn)= R+ r，如圖所示，則在RtAOOiA中，00i = r, OA= R, OiA