[第五講] Berry相位之爭(zhēng)

1、 第五講 Berry相位之爭(zhēng)前 言一，關(guān)于“什么是Berry相位”的爭(zhēng)論 1，“量II”書(shū)中的推導(dǎo) 2，一個(gè)反例：一維矢量平移總是拓?fù)淦接沟?3，正確的說(shuō)法：一盆有小孩的洗澡水二，關(guān)于“Berry相位本質(zhì)”的爭(zhēng)論 1，非得從含時(shí)Schrodinger方程才可以導(dǎo)出Berry相位嗎？ 2，二維流形上矢量平移及協(xié)變導(dǎo)數(shù)計(jì)算3，二維流形的和樂(lè)相因子計(jì)算 4，Berry相位的本質(zhì)是幾何的參考文獻(xiàn)一，關(guān)于“什么是Berry相位”的爭(zhēng)論1，文獻(xiàn)1、2及3、4中的推導(dǎo) 在Berry原始文獻(xiàn)1中所敘述的正確做法是：一個(gè)含時(shí)過(guò)程，其Hamilton量通過(guò)含時(shí)參量依賴于時(shí)間，即為， （1）假設(shè)這個(gè)含時(shí)過(guò)程是個(gè)絕熱

2、演化過(guò)程，即時(shí)刻都有如下準(zhǔn)定態(tài)方程成立， （2）注意,這里的Hamilton量雖然變化極其緩慢(標(biāo)準(zhǔn)下面再討論)，但經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間演化后，Hamilton量的變化可以很大。由于存在準(zhǔn)定態(tài)方程，可以合理地假設(shè)抽出一個(gè)如下相因子稱之為動(dòng)力學(xué)相因子。于是，總體而言，可以假設(shè)滿足此時(shí)初條件的含時(shí)解為 （3）至此，1中緊接著就研究：此時(shí)關(guān)鍵問(wèn)題是，當(dāng)相位為不可積相因子、不能寫(xiě)成的函數(shù)，特別是，在連續(xù)循環(huán)一周C之后，是非單值的。并指出，根據(jù)必須滿足含時(shí)Schrodinger方程，可以直接得到的表達(dá)式。由于此種計(jì)算很直接，原文予以省略。現(xiàn)將其補(bǔ)述如下，于是得到即當(dāng)然也就有（注意，Berry認(rèn)為下面公式（4）無(wú)意義

3、，因此他在1中原文里并未寫(xiě)出這個(gè)公式。） （4）于是1中最后得到，連續(xù)循環(huán)一周后，動(dòng)力學(xué)方程解和為 （5）根據(jù)Berry這一開(kāi)創(chuàng)性工作，后來(lái)人們將戲統(tǒng)循環(huán)一周返回后，由于參數(shù)空間的拓?fù)洳黄接剐?，所出現(xiàn)的不為零相因子稱為Berry相位。這在數(shù)學(xué)家Simon當(dāng)時(shí)所寫(xiě)的文章中，對(duì)此相因子的數(shù)學(xué)背景有更深的剖析2。3第222-224頁(yè)和4也補(bǔ)充了這段計(jì)算。3、4在作了含時(shí)展開(kāi)繼以絕熱近似后，3中第224頁(yè)和4公式（13）也給出了（4）式但是，3、4錯(cuò)誤的將公式（4）當(dāng)作了Berry相位。在3中第224頁(yè)緊接著就強(qiáng)調(diào)指出：“從上述推導(dǎo)可明顯看出，Berry絕熱相的出現(xiàn)，是由于要求量子態(tài)隨時(shí)間的演化必須滿

4、足Schrodinger動(dòng)力學(xué)方程。因此，從根本上講，無(wú)論，或者，其根源都來(lái)自動(dòng)力學(xué)的要求?！保ㄖ靥?hào)是原有的）。這里，曾先生用著重號(hào)強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：其一，Berry相因子來(lái)源于含時(shí)Schrodinger方程；其二，認(rèn)為Berry相因子既然來(lái)源于動(dòng)力學(xué)方程，所以它本質(zhì)上是動(dòng)力學(xué)的。 3中這段強(qiáng)調(diào)議論恰恰是錯(cuò)誤的。因?yàn)檫@段敘述忘記了Berry原文1在此處推導(dǎo)之前，上面還有一段關(guān)于不可積相因子的敘述。3、4的敘述引起了強(qiáng)烈的質(zhì)疑5。現(xiàn)在來(lái)看看是怎么回事。 2，一個(gè)反例：一維矢量平移總是拓?fù)淦接沟?在詳細(xì)論證i) 什么是Berry相因子，ii) 它的本質(zhì)是動(dòng)力學(xué)的還是幾何的這兩個(gè)問(wèn)題之前，先舉一個(gè)一維例子

5、來(lái)說(shuō)明3、4中強(qiáng)調(diào)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。由于一維準(zhǔn)定態(tài)的時(shí)空演化過(guò)程，其拓?fù)湫再|(zhì)總是平庸的。因此可以指望，這時(shí)（4）式相因子在循環(huán)一周之后將恒為零。證明：利用含時(shí)態(tài)已歸一的性質(zhì)，有 再利用一維定態(tài)波函數(shù)總可以取成實(shí)函數(shù)這一事實(shí)，進(jìn)一步有于是有這導(dǎo)致的被積函數(shù)恒為零，即。 由這個(gè)一維定態(tài)例子啟發(fā)我們：一般地說(shuō)，這個(gè)的表達(dá)式含有平庸的情況，即等于零的情況。所以不能將這個(gè)表達(dá)式籠統(tǒng)地稱作為Berry相因子。只當(dāng)循環(huán)一周后不為零的情況下，才是Berry相因子。這時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)稟空間必定是拓?fù)洳黄接沟?，而且相因子本身也必定是不可積的。至于4中所得結(jié)果以及例算都是含時(shí)疊加態(tài)在特定（兩個(gè)能級(jí)數(shù)值相等，符號(hào)相反）情況下

6、，按上面公式（4）在形式上算得的相因子。它們與Berry相因子毫無(wú)關(guān)系。就是說(shuō)，即便算出此相因子不為零，也不意味著系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)是不平庸的（見(jiàn)下）。舉例，一維活塞問(wèn)題。即一維活動(dòng)墻的準(zhǔn)定態(tài)無(wú)限深方阱問(wèn)題。這時(shí)，無(wú)論怎樣絕熱地移動(dòng)兩面墻即保持阱內(nèi)粒子狀態(tài)的無(wú)量綱量子數(shù)不變的任意含時(shí)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)演化過(guò)程中，不僅在兩面墻移動(dòng)一周還原時(shí)，而且在過(guò)程中時(shí)時(shí)刻刻都有。3，正確的說(shuō)法：一盆有小孩的洗澡水應(yīng)當(dāng)說(shuō)，人們?cè)缇椭肋@個(gè)關(guān)于的表達(dá)式（4）。只是由于以下兩點(diǎn)，因而對(duì)其“視而不見(jiàn)” ：其一，在得到這個(gè)表達(dá)式之前已經(jīng)作了絕熱近似，因而這個(gè)表達(dá)式就已經(jīng)無(wú)關(guān)緊要了。這是因?yàn)?，由于時(shí)時(shí)刻刻都存在準(zhǔn)定態(tài)方程，于是，在時(shí)刻的

7、定態(tài)解前面可以添加任意相因子，而不影響定態(tài)解的成立。顯然，不同時(shí)刻，這個(gè)相因子可以相同或不同。這樣一來(lái)事情就成為，整個(gè)含時(shí)過(guò)程可以有一個(gè)任意時(shí)間函數(shù)的相因子，而不影響每個(gè)時(shí)刻定態(tài)解的成立。就是說(shuō)，在絕熱近似即時(shí)時(shí)刻刻都有準(zhǔn)定態(tài)方程成立的假設(shè)下，從所作假設(shè)和邏輯自洽角度來(lái)看，已不必計(jì)較任意時(shí)間函數(shù)的相因子了。這就是Berry之前，人們?yōu)槭裁磳?duì)這個(gè)含時(shí)因子表達(dá)式“視而不見(jiàn)”的緣故；其二，再加之，Berry之前，人們也不知道這里面還有一個(gè)不可積相因子的問(wèn)題?？偠灾?，由于上述兩點(diǎn)，Berry之前的人們對(duì)這個(gè)含時(shí)因子表達(dá)式并非不知道，而是“視而不見(jiàn)”。在Berry之后的現(xiàn)在來(lái)看，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這個(gè)公式既含有

8、小孩，也含有洗澡水。不可以籠統(tǒng)地稱作為小孩！然而，3、4將水盆里所有的東西都當(dāng)作了小孩。并且進(jìn)一步還對(duì)小孩作了新的定義，探討了小孩的來(lái)源小孩來(lái)自動(dòng)力學(xué)，而不是來(lái)自幾何學(xué)（拓?fù)洳黄接剐裕?。用疊加態(tài)作個(gè)說(shuō)明。取文獻(xiàn)4中第一個(gè)例子?？纯磫?wèn)題是怎么回事。一維諧振子，或是任何兩能級(jí)系統(tǒng)。這是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的問(wèn)題。取初態(tài)于是有取演化的一個(gè)循環(huán)周期（）之后，。所以總相位是。按公式（4）計(jì)算得當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。就這樣，4將這個(gè)相位稱作了Berry相因子。這個(gè)例子實(shí)在沒(méi)有任何數(shù)學(xué)背景。因?yàn)檫@個(gè)量子系統(tǒng)根本沒(méi)有參數(shù)空間，更談不上拓?fù)浞瞧接箚?wèn)題。其實(shí)，它正是在Berry之前當(dāng)人們作了絕熱近似后將其棄置不顧的洗澡水。二，關(guān)

9、于“Berry相位本質(zhì)”的爭(zhēng)論1，非得從含時(shí)Schrodinger方程才可以導(dǎo)出Berry相位嗎？ 答案是否定的?？梢詮亩☉B(tài)Schrodinger方程出發(fā)推導(dǎo)AB相因子?？蓞⒁?jiàn)14。 2，流形上矢量平移、協(xié)變導(dǎo)數(shù)計(jì)算 先研究單位球面。取球坐標(biāo)（）作為活動(dòng)標(biāo)架。容易得到它們?cè)诠潭ǖ闹苯亲鴺?biāo)中的表示： （6）可以證明6：一般說(shuō)來(lái)，活動(dòng)標(biāo)架的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一組封閉關(guān)系。比如，由（6）式就能得到，對(duì)球坐標(biāo)活動(dòng)標(biāo)架的微分表示式為： （7） 平面上兩根不相交的直線稱為平行線。但在球面上，這種平行線的概念是不存在的，因?yàn)椋呵蛎嫠械拇髨A均相交。但可以引入對(duì)球面上矢量作平行移動(dòng)的概念。令為球面某點(diǎn)的切平面內(nèi)一個(gè)矢量

10、。并稱其為屬于曲面（點(diǎn)）的矢量。眾所周知，對(duì)矢量作普通意義下的平行移動(dòng)意味著，它對(duì)移動(dòng)參數(shù)的全微分等于零： （8）現(xiàn)在，設(shè)沿一小弧線段，按普通意義的平行移動(dòng)，將其平移到鄰近的點(diǎn)。由于點(diǎn)切平面與點(diǎn)切平面有不同的法線方向，矢量將不再處于點(diǎn)的切平面內(nèi)，也即不再屬于曲面（點(diǎn)）的矢量。這就是說(shuō)，屬于曲面的矢量，其全微分為零一般不與其沿曲面（某條曲線作）平行移動(dòng)的概念相一致。所以，需要擴(kuò)充矢量平移的概念，使矢量移動(dòng)時(shí)保持仍屬于曲面（在各點(diǎn)都處于該點(diǎn)切平面內(nèi)）。 為此，定義：對(duì)矢量的絕對(duì)微分（或協(xié)變微分）為，屬于曲面某點(diǎn)的矢量，當(dāng)它沿曲面移動(dòng)時(shí)，其微分矢量向此點(diǎn)切平面的投影，稱為此矢量在此點(diǎn)的絕對(duì)微分，即在

11、切平面上的投影矢量 （9）于是，將上面“全微分為零”的條件換為較弱的“絕對(duì)微分為零”的條件7： （10）方程（8）表示三維歐氏空間中矢量平行移動(dòng)。與此相對(duì)照，（10）式是這個(gè)概念的發(fā)展曲面上的矢量沿曲面的某一條曲線作平行移動(dòng)。詳細(xì)些說(shuō)，（10）式是當(dāng)黎曼空間作為浸入空間的曲面時(shí)，從包容空間來(lái)看，“上矢量的平行移動(dòng)要使的切分量永遠(yuǎn)為零”，就是要使矢量的微分變化量與處處正交，即8“總是垂直于的切仿射空間”。 這些概念說(shuō)明如下。設(shè)矢量是球面某點(diǎn)切平面內(nèi)的任一矢量，則當(dāng)其移動(dòng)時(shí)，它變化的微分量為將活動(dòng)標(biāo)架的微分表示式（7）式）代入此處，得這里。顯然，矢量在此點(diǎn)的切平面內(nèi)并與垂直。 在球面上移動(dòng)矢量顯然

12、不存在模長(zhǎng)改變的問(wèn)題，即。得 （11）于是，在球面上沿某條曲線對(duì)矢量作絕對(duì)微分的表達(dá)式為： （12）（12）式是對(duì)的絕對(duì)（協(xié)變）微分。這里尚未涉及它沿球面某條曲線的平行移動(dòng)。 由此可知以下兩點(diǎn)： 其一，當(dāng)矢量沿球面任一條曲線作平行移動(dòng)，即時(shí)，由三維歐氏空間來(lái)看，矢量的全微分變化量中不存在繞法線方向轉(zhuǎn)動(dòng)的成份。因?yàn)?，此時(shí)有 （13）就是說(shuō)，微分變化量總是沿此點(diǎn)球面的法線方向。微分變化量中不存在垂直于法線的成份，當(dāng)然也就不存在繞法線方向轉(zhuǎn)動(dòng)的成份。顯然，反過(guò)來(lái)也可以說(shuō)，矢量的微分變化量中不存在繞法線方向轉(zhuǎn)動(dòng)（也即當(dāng)因移動(dòng)而變化時(shí)，面不繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)），也可以作為對(duì)矢量沿球面上任一曲線作平行移動(dòng)的充要條件

13、。這正是上頁(yè)由包容空間所看到的在球面上的平行移動(dòng)8。 其二，一個(gè)矢量如果沿球面大圓作平行移動(dòng)，它在切平面內(nèi)活動(dòng)標(biāo)架中的坐標(biāo)將保持不變。比如，若矢量沿球面的一條經(jīng)線作平行移動(dòng)，則有這導(dǎo)致 （14）由于沿經(jīng)線，所以。按定義，是移動(dòng)矢量與之間的夾角，說(shuō)明此矢量沿球面的經(jīng)線大圓平行移動(dòng)時(shí)，它在活動(dòng)標(biāo)架的中的坐標(biāo)一直保持不變。類似地，若矢量沿球面的赤道線作平行移動(dòng)，由于，即 。表明該矢量在赤道線的中坐標(biāo)保持不變。沿傾斜大圓的情況，可將球坐標(biāo)的極點(diǎn)變換到這個(gè)大圓上，即為剛才所說(shuō)沿經(jīng)線平移的情況。此條可以推廣為：沿任意曲面的最短程線作平行移動(dòng)時(shí)，該矢量在沿線的切平面活動(dòng)標(biāo)架中的坐標(biāo)保持不變。（14）式是球面

14、上矢量平移的基本方程。3，Berry相位本質(zhì)是幾何的（I）二維流形和樂(lè)相因子計(jì)算下面在球面上以初等方式實(shí)現(xiàn)和樂(lè)計(jì)算。 A（14）式所表示的當(dāng)矢量平移時(shí)其 分量的變化，也可以采用通常辦法，用 C聯(lián)絡(luò)系數(shù)表達(dá)式來(lái)得到。詳見(jiàn)第4, ii)。 B 舉例： A ) 考慮直角坐標(biāo)第一象限由三條大圓弧所圍的部份球面（全球面的）。設(shè)z軸A點(diǎn)球面上有一矢量，它切A點(diǎn)處X-Z面中的大圓弧，即初始時(shí)。由A點(diǎn)出發(fā)，沿X-Z面大圓弧平行移動(dòng)。由于此段大圓是球面上最短程線，平行移動(dòng)中繼續(xù)保持與此段大圓相切，直至B點(diǎn)。在B點(diǎn)經(jīng)線與XY面的赤道線垂直相交，因此將與赤道線段BC呈垂直交角，直到C點(diǎn)。自C點(diǎn)它又成為YZ面經(jīng)線的切

15、線保持如此直到返回A點(diǎn)。平移轉(zhuǎn)一圈的結(jié)果，與出發(fā)時(shí)相比，此時(shí)的已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)了角度。這一角度也可以用所圍球面S對(duì)球心所張的立體角來(lái)表示： （15） B）上例中，若沿AB弧平移到緯度角處的點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向此緯線平移到Y(jié)Z面內(nèi)的點(diǎn)，再沿YZ面的經(jīng)線返還到A點(diǎn)。這時(shí) 和上面情況差別在于，弧段不再是大圓（最短程線），矢量沿它平移時(shí)，坐標(biāo)會(huì)發(fā)生改變。在點(diǎn)處，和弧呈垂直交角，但按角定義，與此處夾角仍為零，即有。在處則為說(shuō)明在處，此矢量與的夾角成為 （16）接著沿弧段平行移動(dòng)并返回A點(diǎn)的途中，不再有角度的變化。但弧段本身在A點(diǎn)與弧段有一夾角。所以平移一圈后總共轉(zhuǎn)過(guò)角度為 （17）其實(shí)，這個(gè)轉(zhuǎn)角又等于圈C內(nèi)的部份球面積S

16、對(duì)球心所張的立體角： （18）這是因?yàn)?上面例算中，平移矢量轉(zhuǎn)角與所圍曲面對(duì)球心所張立體角的關(guān)系 （19）是普遍的，與球面上曲線的形狀無(wú)關(guān)7。它們?nèi)w構(gòu)成球面上的U（1）和樂(lè)群。此普遍結(jié)論可證明如下。 證明：分為兩部份7。第一，證明以大圓弧段為邊界的球面邊多角形的面積為： （20）注意兩個(gè)大圓必相交于球面上相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)（可稱為這兩個(gè)大圓的南北兩極），于是整個(gè)球面積被分為：i, 這個(gè)多邊形面積； ii, 與此多邊形關(guān)于球心對(duì)稱的另一多邊形面積；iii, 個(gè)二角形的面積，它們的內(nèi)角 等于原多角形的外角。于是有： 這就得到上述S的公式。 第二，往證：依正向，即逆時(shí)針?lè)较蜓卮硕嘟切纹叫幸苿?dòng)矢量。設(shè)初始

17、時(shí)刻位于頂點(diǎn)，屬于球面并沿大圓弧方向。在沿平行移動(dòng)中，因弧段是大圓，移動(dòng)中與的夾角保持不變。按逆時(shí)針轉(zhuǎn)到矢量方向來(lái)計(jì)算角度的正號(hào)，于是轉(zhuǎn)到矢量的角度應(yīng)等于 其中為多角形在頂點(diǎn)的外角。移動(dòng)至點(diǎn)后，與邊的夾角為 此值一直保持到點(diǎn)。類似討論下去， 最后可以確定當(dāng)移至點(diǎn)后，它將與構(gòu)成夾角 對(duì)于平面，多角形內(nèi)角和為，外角和為，于是得： 。 這個(gè)角即為矢量回轉(zhuǎn)多角形一圈之后的轉(zhuǎn)角。結(jié)合結(jié)論（20）式，即知有 （21）顯然，球面上任何閉合曲線均可以由這種大圓線段多角形近似到任意程度，所以公式（21）對(duì)矢量沿球面任何閉合曲線平行移動(dòng)均成立。證畢。進(jìn)一步，取球面上一個(gè)歸一化的復(fù)矢量稱作態(tài)矢 （22）讓它沿球面某

18、一閉合曲線作平行移動(dòng)，計(jì)算相應(yīng)的和樂(lè)相因子。 如果分別令和是上節(jié)中的矢量，讓它們沿此閉合曲線平行移動(dòng)，并用許多大圓線段作多角形逼進(jìn)這一閉合曲線，類似（21）式推導(dǎo)，立即得到此態(tài)矢量平行移動(dòng)轉(zhuǎn)一圈的（21）式結(jié)果。 也可直接計(jì)算如下：如果沿曲線平行移動(dòng)一微小弧段后，此復(fù)矢量獲得一小相位，即。顯然有 （23）這里表示取虛部數(shù)值。于是沿閉回路C轉(zhuǎn)一圈后，獲得相因子為 （24）這里為回路所圈的球面面積。其中， （25）注意，所以只需計(jì)算（25）式的分量（法向分量）。由及，（25）式的分量為 這里是球面點(diǎn)處垂直指向Z軸的單位矢量?？芍?。代入（24）式即得 （26）上面所取復(fù)矢量（22）式中的疊加系數(shù)是相

19、等的。但這并不失一般性。因?yàn)椋蛎嫔系娜魏伍]回路總只涉及球面的局部，于是對(duì)具有一般疊加系數(shù)的給定復(fù)矢量，總可以找到相應(yīng)的坐標(biāo)復(fù)蓋（球面點(diǎn)的參數(shù)化，比如上下兩套開(kāi)集球坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)）10，使矢量在這兩套開(kāi)集的球坐標(biāo)活動(dòng)標(biāo)架之一里，能夠表示為（22）式的形式，并保持整個(gè)回路在同一個(gè)單值分枝之內(nèi)。4，Berry相位的本質(zhì)是幾何的流形的聯(lián)絡(luò)系數(shù)和度規(guī)計(jì)算i) 流形的概念是歐氏空間的推廣。粗略地說(shuō)，流形就是流變著的形狀，它在每一點(diǎn)的近旁和歐氏空間的一個(gè)開(kāi)集是同胚的。因此在每一點(diǎn)的近旁可以引進(jìn)局部坐標(biāo)系。流形正是一塊塊“歐氏空間”粘起來(lái)的結(jié)果11。 以上做法的理論根據(jù)是H. Whitney定理11： “任意一個(gè)

20、維光滑流形總能嵌入到維歐氏空間中作為子流形?！边@說(shuō)明盡管流形的概念較為抽象，其實(shí)它正是歐氏空間的推廣。并最終仍可作為歐氏空間的嵌入子流形來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)，可以取較高維數(shù)的歐氏空間作為它的包容空間。這給了我們一個(gè)幾何直觀的方法來(lái)獲得黎曼空間（引入了度量張量的可微流形）。特例是，三維歐氏空間內(nèi)的曲面論就是這樣一類例子。曲面可以看作二維黎曼空間。準(zhǔn)確些說(shuō)是，任一個(gè)二維黎曼空間可以局部地實(shí)現(xiàn)為三維歐氏空間中的某一曲面。這樣所產(chǎn)生的幾何稱為曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何。這種幾何在曲面扭曲貼合（沒(méi)有伸縮的扭曲變形重合）中是不變的7、9。上面對(duì)球面的討論，正是給定了聯(lián)絡(luò)系數(shù)分布的二維黎曼空間的一種表現(xiàn)。公式（7、14）便

21、包含了球面上的這些聯(lián)絡(luò)系數(shù)。 在維流形M的任一點(diǎn)m（）近旁所引入的的同胚歐氏空間，可利用其局部坐標(biāo)系（）作出M在其點(diǎn)m附近的切矢量，用以構(gòu)造局部標(biāo)架，就是說(shuō)，在M的點(diǎn)m作出一個(gè)仿射空間。與流形M有一個(gè)共同點(diǎn)m，這樣的空間稱為切仿射空間，此空間中的矢量稱為流形M在m點(diǎn)的切矢量，簡(jiǎn)稱為m點(diǎn)的矢量。這說(shuō)明為何前面使用的是在球面各點(diǎn)切空間中的絕對(duì)（協(xié)變）微分。 纖維叢是流形向乘積的推廣。常用的是矢量叢。簡(jiǎn)單地說(shuō)，設(shè)E，M是兩個(gè)光滑流形，映射是光滑的， M上各點(diǎn)的切仿射空間由n維矢量集合構(gòu)成。稱（E，M，）為流形M上的矢量叢。E為全空間，M稱為底空間，稱為叢投影，稱作纖維。直觀地說(shuō)，矢量叢E是積流形和纖

22、維粘合的結(jié)果。粘合時(shí)要求纖維上的線性關(guān)系保持不變。中的維矢量稱為波截面。球面的內(nèi)蘊(yùn)幾何可以看作是嵌入3維歐氏空間中的二維黎曼流形。用纖維叢的語(yǔ)言，此球面稱為底空間，球面每點(diǎn)的切平面便是纖維，逆映射（即球面每點(diǎn)向切平面中矢量的一種對(duì)應(yīng)，也即，定義在球面上的兩分量的矢量場(chǎng)）便是波截面。平移矢量坐標(biāo)微分變化的展開(kāi)系數(shù)便是聯(lián)絡(luò)。ii) 球面的度規(guī)與聯(lián)絡(luò)系數(shù)計(jì)算。在曲線坐標(biāo)（）中，單位球面（）一小線段的長(zhǎng)度為 （27）于是，球面上切平面二維仿射空間中，協(xié)變及抗變度規(guī)分別為（） （28）注意這里度規(guī)是對(duì)參數(shù)直接寫(xiě)出的。則是單位球面的兩個(gè)抗變線段元， 它們的協(xié)變線段元為 （29）按照聯(lián)絡(luò)系數(shù)和度規(guī)間的關(guān)系1

23、3： （30）由此可得球面的聯(lián)絡(luò)系數(shù)： ， （31）其余聯(lián)絡(luò)系數(shù)為零。 利用這些聯(lián)絡(luò)系數(shù)和度規(guī)，就可以用一種正規(guī)普適的方法將前面平移矢量的分量變化再次寫(xiě)出來(lái)。這時(shí)所用公式是矢量平移中分量變化的下述表達(dá)式： （32）矢量的兩個(gè)抗變分量分別為。這里的表達(dá)式是由于要求矢量歸一化，即, 也即 。代入（32）式，有 （33）顯然，（33）式中第一式即為前面的（14）式。第二式不獨(dú)立，實(shí)際上也是第一式。這只要將第二式左邊微分出來(lái)，對(duì)的微分項(xiàng)將消去右邊的第一項(xiàng)，也得到。 證畢。 iii) 例如，帶AB效應(yīng)的楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中（在縫屏后面放置一根細(xì)磁弦），縫屏后面的波函數(shù)便帶著一個(gè)不可積的相因子（當(dāng)積分路徑掃過(guò)或

24、穿過(guò)磁場(chǎng)強(qiáng)度不為零的區(qū)域時(shí)，是與積分路徑有關(guān)的，而不僅只和積分的上下限有關(guān)；只在磁場(chǎng)強(qiáng)度為零的區(qū)域，積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與積分上下限有關(guān)。）14： （34）這就是電磁現(xiàn)象中不可積相位。注意，在此空間中的波函數(shù)將不是簡(jiǎn)單的復(fù)值函數(shù)，而是數(shù)學(xué)家稱作的截面，物理學(xué)家稱作的波截面。它不僅帶有這個(gè)不可積的相因子，還帶有如下不定冪次的相因子（數(shù)學(xué)家稱為轉(zhuǎn)換函數(shù)、轉(zhuǎn)換因子、轉(zhuǎn)換條件現(xiàn)在它們僅僅構(gòu)成簡(jiǎn)單的群）： （） （35）被稱作Berry相位的這些相因子不可以丟棄（不像通常的外部整體相因子）。因?yàn)樗鼈兙袑?shí)驗(yàn)觀測(cè)效應(yīng)。因此，這時(shí)縫屏后面空間波函數(shù)并不是通常意義下的波函數(shù)，而是多分枝的波截面。之所以如此是由于

25、屏后空間的拓樸非平庸性質(zhì)：由于磁弦的存在，空間區(qū)域已由曲面單聯(lián)通轉(zhuǎn)變?yōu)榍娑嗦?lián)通14。 再例如，磁單極子周圍磁場(chǎng)雖然是正規(guī)的，但相應(yīng)的矢勢(shì)卻必須有一根或幾根奇點(diǎn)線奇異弦。顯然，這種奇異弦是非物理的。造成這種現(xiàn)象的原因正是球面拓樸非平凡性質(zhì)：為避免球面上坐標(biāo)描述的奇性，必須同時(shí)采用至少兩套開(kāi)集坐標(biāo)覆蓋。因此在坐標(biāo)系的重疊區(qū)內(nèi)，由不同坐標(biāo)覆蓋所描述的波函數(shù)之間，將出現(xiàn)由規(guī)范變換產(chǎn)生的（指數(shù)上包含磁單極子強(qiáng)度的）轉(zhuǎn)換相因子。這說(shuō)明磁單極子周圍的空間波函數(shù)也不是普通的復(fù)值函數(shù)，而是波截面。但值得注意的是，屬于不同動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的波截面總是滿足同樣的轉(zhuǎn)換相因子10。 最后，總結(jié)以下三點(diǎn)：1） 上面關(guān)于Ber

26、ry相位問(wèn)題所說(shuō)的和所計(jì)算的，全都是幾何學(xué)，并不涉及物理學(xué)。所以，Berry相位的本質(zhì)是幾何的或者說(shuō)是拓樸的。2）楊振寧先生說(shuō)：“不同的波截面（比如說(shuō)，它們屬于不同的能量）顯然滿足同樣的轉(zhuǎn)換條件，因?yàn)橛型瑯拥摹?2。粒子具有不同的動(dòng)量時(shí)，情況也如此。這里楊先生是在強(qiáng)調(diào)這個(gè)相因子與粒子所處的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)沒(méi)關(guān)系，而只取決于作為參數(shù)的磁單極子強(qiáng)度(或磁通)。正是（）凸現(xiàn)了球面拓樸非平凡性質(zhì)，正是g ()產(chǎn)生了曲面單連通到曲面多連通的拓樸性質(zhì)改變。從別種情況的Berry相位計(jì)算來(lái)看，結(jié)果也相似：Berry相位表達(dá)式不依賴于粒子所處的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，甚至系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，而只依賴于系統(tǒng)哈密頓量中所含參數(shù)空間的

27、幾何性質(zhì)。2） 由“滿足含時(shí)Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式”，并不就能夠強(qiáng)調(diào)“Berry相位的物理根源來(lái)自動(dòng)力學(xué)的要求”。 因?yàn)?，除了剛才說(shuō)的第一、第二條理由之外，還有：i)這個(gè)事實(shí)本身并不是新發(fā)現(xiàn)的。在最初Berry自己的文章中，本來(lái) Berry就是以“滿足Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式”的，可是Berry仍然強(qiáng)調(diào)這個(gè)相因子的性質(zhì)是幾何的，并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)它“根源于動(dòng)力學(xué)”。更不必說(shuō)數(shù)學(xué)家Simon文章對(duì)這個(gè)相因子的幾何分析了2。其實(shí)，Berry相位問(wèn)題正是說(shuō)明了：來(lái)自Schrodinger方程的東西并不一定就是動(dòng)力學(xué)的，雖然動(dòng)力學(xué)的東西一定來(lái)自于Schrodinger方程。ii) 不是必須要從“滿足含時(shí)Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式”。事實(shí)上，從定態(tài)Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式更為直接和簡(jiǎn)便。這里，由于已經(jīng)是不可積相因子的圈積分，可以不必采用絕熱定理就能分離出絕熱相因子14。鑒于這里三條理由，這些相因子不宜說(shuō)是“根源于動(dòng)力學(xué)”或“來(lái)自動(dòng)力學(xué)的要求”，還是按大家的普遍提法，說(shuō)它是幾何的或拓樸的更為恰當(dāng)。其實(shí)，幾何的或拓樸的提法不僅在