應(yīng)變能密的分析

1、3.2 彈性應(yīng)變能密度函數(shù) 彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的定義    彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要產(chǎn)生變化。根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量。現(xiàn)分析彈性體內(nèi)任一有限部分的外力功和內(nèi)能的變化關(guān)系，設(shè)彈性體內(nèi)取出部分的閉合表面為S，它所包圍的體積為V。以W表示外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功，U表示在該微小變形過程中取出部分的內(nèi)能增量，K表示動能增量，Q表示熱量的變化（表示為功的單位），根據(jù)熱力學(xué)第一定律，則

2、有WK U Q    我們首先假設(shè)彈性體的變形過程是絕熱的，也就是假設(shè)在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得失。再假設(shè)彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽略不計(jì)（這樣的加載過程稱為準(zhǔn)靜態(tài)加載過程），則根據(jù)上式表示的熱力學(xué)第一定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲得的，故稱之為彈性變形能或彈性應(yīng)變能。由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來。下面，推導(dǎo)單位體積彈性應(yīng)變能的表達(dá)式。 

3、   仍以X、Y、Z表示單位體積的外力，表示作用在彈性體內(nèi)取出部分表面上單位面積的內(nèi)力。對上述的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，可以認(rèn)為彈性體在外力作用下始終處于平衡狀態(tài)。外力所作的功W包含兩個部分：一部分是體力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2，它們分別為（3.30）以及（3.31）    于是，有（3.32）    因此，外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功W 可以表示為（3.33）    將平衡微分方程（1.66）和靜力邊界條件（1.68）代入上式，并利用散度定理，上式可化為

4、（3.34）    利用幾何方程（2.12），并注意到，最終可推得相應(yīng)的內(nèi)能增量U為（3.35）    定義函數(shù)u0(ij)，使之滿足（3.36）    該定義式稱為格林（Green）公式。將它代入式（3.35），有（3.37）    由上式可以看出，函數(shù)u0(ij)表示單位體積的彈性應(yīng)變能，故稱之為彈性應(yīng)變能密度函數(shù)（或彈性應(yīng)變比能函數(shù)），簡稱為應(yīng)變能。由于彈性應(yīng)變能密度函數(shù)表示彈性體的內(nèi)能概念，因此，它必然是一個勢函數(shù)，故也稱之為彈性勢函數(shù)。對式（3.36）取積分，可得（

5、3.38）     這里，u0(ij)和u0(0)分別表示物體變形之后和未變形時的彈性應(yīng)變能密度。通常，取u0(0)=0，于是有 （3.39）    根據(jù)格林公式（3.36），假如u0(ij)的具體函數(shù)形式能夠確定的話，那么，彈性體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系也就完全確定了。這表明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式。若假設(shè)u0(ij)對ij有二階以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由格林公式（3.36），可進(jìn)一步推得（3.40）    上式就稱為廣義格林公式。將式（3.3）代入廣義格林公式，可得（

6、3.41）    這就證明了各向異性彈性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個。    以上我們討論的是彈性體的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，如果彈性體在外力作用下處于運(yùn)動狀態(tài)，同樣可以證明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)仍具有式（3.39）所表示的形式。此外，還可以證明，對于變形過程是等溫的情形，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)也可以近似地表示為式（3.39）的形式。 線彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)    對線彈性體，它的應(yīng)力與應(yīng)變之間呈線性關(guān)系，如式（3.2）所示，因此，由式（3.39）可以發(fā)現(xiàn)，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(ij)一定是應(yīng)變張量分量的二次齊次

7、函數(shù)。根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉（Euler）定理，有（3.42）代入格林公式（3.36），得（3.43）    這就是線彈性體彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(ij)的最一般表達(dá)形式。對于各向同性彈性體，則有（3.44）或（3.45）    從表達(dá)式（3.44）或式（3.45）中可得到一個重要的結(jié)論：各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)恒為正，而且分別為ij和ij的二次齊函數(shù)。若將式（3.45）分別對各個應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，則可推得（3.46）    上式表明：對彈性勢函數(shù)u0(ij)求各個應(yīng)力分量的偏導(dǎo)數(shù)，就可以得到相應(yīng)的

8、各個應(yīng)變張量分量。從彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(ij)出發(fā)，我們還可以求出整個彈性體的總應(yīng)變能U。設(shè)一個彈性體的體積為V，則整個彈性體的總應(yīng)變能U為,&nbs, p;&, ;nbs, p;（3.47）    以下，列出幾個各向同性彈性體常用的應(yīng)變能表達(dá)式： 體變能和畸變能的概念    在介紹體變能和畸變能的概念之前，我們首先對各向同性彈性體的本構(gòu)方程（3.21）作一有意義的分解，即把應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都分解為球量和偏量兩個部分ijsijmijijeijmij    這里，mii /3(xyz)

9、/3為平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力，mii / 3(xyz)/3為平均正應(yīng)變。于是，式（3.21）就改寫為     利用體積模量K=(3+2)/3，則上式變?yōu)閟ijmij2ij +3Km （3.48）將式（3.26）代入上式，可得（3.49）    由此可見，對各向同性彈性體，其變形可以分為相互獨(dú)立的兩個部分：一部分是由各向相等的正應(yīng)力（靜水應(yīng)力）引起的相對體積變形（體積應(yīng)變）；另一部分則是由應(yīng)力偏量作用所引起的物體幾何形狀的變化（即畸變）。    現(xiàn)考察各向同性彈性體在兩種特殊的應(yīng)力狀態(tài)作用下的彈性應(yīng)變能：一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是球量，另一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是偏量。由于在以應(yīng)力球張量描繪的應(yīng)力狀態(tài)作用下，各向同性彈性體僅產(chǎn)生體積變化，所以，稱與之對應(yīng)的彈性應(yīng)變能為體變能；而在以應(yīng)力偏量描繪的應(yīng)力狀態(tài)作用下，各向同性彈性體僅產(chǎn)生幾何形狀的變化，所以，稱與之對應(yīng)的彈性應(yīng)變能為畸變能（或形變能）。根據(jù)各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的表達(dá)式（3.44），可推得單位體積的體變能（體變比能）u0V和畸變能（形變比能）u0d分別為