平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式

1、平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式德清乾元職高 朱見(jiàn)鋒【教材分析】：本課是在平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、內(nèi)積定義基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，主要知識(shí)是平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是后面學(xué)習(xí)曲線方程的重要公式和推導(dǎo)依據(jù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1. 掌握平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示，會(huì)應(yīng)用平面向量?jī)?nèi)積的知識(shí)解決平面內(nèi)有關(guān)長(zhǎng)度、兩向量的夾角和垂直的問(wèn)題2. 能夠根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷兩向量是否垂直，求兩向量的夾角等。3. 通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識(shí)的相同性，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)公式式，平面向量垂直的

2、充要條件，平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】：平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。【教學(xué)方法】 本節(jié)課采用問(wèn)題啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法 【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的平面直角坐標(biāo)及其運(yùn)算下面一起來(lái)回憶下這些知識(shí)：1.在平面直角坐標(biāo)系中，是基向量，他們的坐標(biāo)如何表示？任意向量的坐標(biāo)如何表示？的坐標(biāo)如何表示？2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量的內(nèi)積，是怎么定義的呢？· = = 3 有哪些重要性質(zhì)？ ·= = Û ；| |= · 4.滿足哪些運(yùn)算律(1)交換律：· =·(2)結(jié)合律：()·

3、(·)·()；(3)分配律：()··· 5.那么如何用坐標(biāo)來(lái)表示·呢？教師提出問(wèn)題學(xué)生回憶解答師生共同回憶舊知識(shí)師：對(duì)平面向量的內(nèi)積的研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標(biāo)表示引出探究問(wèn)題為知識(shí)遷移做準(zhǔn)備新課知識(shí)講解例題講解練習(xí)鞏固例題講解練習(xí)鞏固新課已知， 是直角坐標(biāo)平面上的基向量，如果(a1，a2)，(b1，b2)，你能推導(dǎo)出· 的坐標(biāo)公式嗎？ 探究過(guò)程·(a1a2)·(b1b2) a1b1·a1b2·a2b1·a2b2·，又因?yàn)?·1，·

4、;1，·0，所以·a1b1a2b2定理 在直角坐標(biāo)平面xoy中，如果(a1，a2)，(b1，b2)則·a1b1a2b2 即：兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和因此可以推出兩向量垂直的充要條件為Û a1 b1a2 b20；問(wèn)題：(1)若已知=(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| | 嗎？解 因?yàn)閨 |2=·=(a1，a2)·(a1，a2)a12a22，所以| |=這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式因此可推出兩非零向量夾角余弦值公式為cos，例1 設(shè)(3，1)，(1，2)，求：(1) ·； (2) | |；(3)

5、 | |； (4) ，解 (1) ·3×1(1)×(2)325；(2) | |；(3) |；(4) 因?yàn)閏os，因?yàn)?，所以，配套學(xué)生練習(xí)：已知(0，2)，(-2，2)，求：(1) ·； (2) | |；(3) | |； (4) ，問(wèn)題(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求| ？解 因?yàn)锳(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x2x1，y2y1)所以|，這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式例2 已知A(2，4)，B(2，3)，求|解 因?yàn)锳(2，4)，B(2，3)，所以(2，3) (2，4)(4，7)，所以|學(xué)生練習(xí)： 已知A(2，

6、1)，B(6，3)，C(5，0)，求：ABC三邊的長(zhǎng)，并判別ABC是否為等腰三角形例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求證：證明 因?yàn)?21，32)(1，1)，(21，52)(3，3)，可得·(1，1)·(3，3)0所以 練習(xí)快速判別上面的練習(xí)中的ABC是否為等腰直角三角形？學(xué)生討論并回答，教師再提出的下列問(wèn)題：（1）(a1a2)·(b1b2)是怎樣進(jìn)行運(yùn)算的？（2）·，· ，·的內(nèi)積是怎樣計(jì)算的？教師給出向量?jī)?nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式并引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹鲈诮處煹囊龑?dǎo)下學(xué)生討論得出教師提出問(wèn)題，稍加點(diǎn)撥學(xué)生討論解答教師總結(jié)得

7、出這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式 教師例題分析講解學(xué)生邊學(xué)邊用學(xué)生練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)教師提出問(wèn)題學(xué)生討論解答教師總結(jié)得出這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式學(xué)生嘗試解答教師針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)學(xué)生練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答教師針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng) 問(wèn)題為復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算和向量的內(nèi)積而設(shè)計(jì)通過(guò)學(xué)生的探究給出結(jié)論，比直接給出更符合學(xué)生的特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受通過(guò)結(jié)論的探究，讓學(xué)生初步感受到無(wú)論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終都?xì)w結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算從而歸納總結(jié)出公式及數(shù)學(xué)規(guī)律通過(guò)例1可讓學(xué)生加深對(duì)向量?jī)?nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量的長(zhǎng)度公式的理解和記憶使剛剛學(xué)過(guò)的知識(shí)及

8、時(shí)得到應(yīng)用讓學(xué)生在邊學(xué)邊用中鞏固知識(shí)，形成技能采用問(wèn)題誘導(dǎo)式讓學(xué)生更易理解和接受通過(guò)例2可讓學(xué)生加深對(duì)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的理解和記憶學(xué)習(xí)新知后緊跟練習(xí)，有利于幫助學(xué)生更好的梳理和總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容有利于教師檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式，常見(jiàn)的題型主要有：(1)直接用兩向量的坐標(biāo)計(jì)算平面向量的內(nèi)積；(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)求該向量的模（長(zhǎng)度）；(3)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求這兩點(diǎn)間的距離；(4)運(yùn)用平面向量的性質(zhì)判定平面內(nèi)兩向量是否垂直？學(xué)生閱讀課本,暢談本節(jié)課的收獲，老師引導(dǎo)梳理，總結(jié)本節(jié)課主要的知識(shí)點(diǎn)梳理總結(jié)也可針對(duì)學(xué)生薄弱或易錯(cuò)處進(jìn)行強(qiáng)調(diào)和總結(jié)作業(yè)教材 P56 練習(xí)A 組第 1 題；教材 P57 練習(xí) B