常微分方程期末考試試卷6

1、 常微分方程期末考試試卷(6)學(xué)院 _ 班級(jí) _ 學(xué)號(hào) _ 姓名 _ 成績(jī) _一 填空題 （共30分，9小題，10個(gè)空格，每格3分）。1.當(dāng)_時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全 微分方程。2、_稱為齊次方程。3、求 =f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程_的連續(xù)解。 4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程 的解 y=作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是_。6、方程組的_稱之為的一個(gè)基本解組。7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_。8、滿足_的點(diǎn)（），稱為方程組的

2、奇點(diǎn)。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為_。二、計(jì)算題（共6小題，每題10分）。1、求解方程：=2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算6、試討論方程組 （1）的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。三、證明題（共一題，滿分10分）。試證：如果滿足初始條件的解，那么 常微分方程期末考試答案卷一、 填空題。（30分）1、2、3、y=+4、連續(xù)的5、w6、n個(gè)線性無(wú)關(guān)解7、8、X(x,

3、y)=0,Y(x,y)=09、為零 穩(wěn)定中心二、計(jì)算題。（60分）1、解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解：，令z=x+y則所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即3、解： 設(shè)f(x,y)= ,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過(guò)點(diǎn)（0，0）的一個(gè)解； 又由解得，|y|= 所以，通過(guò)點(diǎn)（0，0）的一切解為及|y|=4、解： (1) 齊次方程的通解為x= (2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=-于是 通解為x=+5、解： det()= 所以， 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，= 6、解： 因?yàn)榉匠探M（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型： a，c為實(shí)數(shù)三、證明題。 （10分）證明：