帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析

1、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題是高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是歷年高考的熱點(diǎn)問題。要想在有限的考試時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確求解這類問題，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的綜合分析能力。如果能掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的基本類型及相關(guān)問題的解法，就可成竹在胸、從容應(yīng)試?；诳季V要求，本文只討論帶電粒子（不計(jì)重力）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中垂直磁場(chǎng)方向的幾種運(yùn)動(dòng)情況。 一、帶電粒子在無界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（以下所畫都是垂直磁場(chǎng)方向的截面圖） 如圖1，空間存在無邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子以垂直于B的速度v運(yùn)動(dòng)，它所受洛侖茲力提供向心力，作完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。軌道半

2、徑為r、運(yùn)動(dòng)周期為T，則 得 若粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用時(shí)間為t，則 得 二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) （一）有單平面邊界的磁場(chǎng) 如圖2，直線MN右側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。帶電粒子由邊界上P點(diǎn)以圖示方向進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)內(nèi)做部分圓周運(yùn)動(dòng)，將以關(guān)于邊界對(duì)稱的方向從Q點(diǎn)射出。則有 幾何關(guān)系：PQ 當(dāng)900時(shí)，1800，軌跡為一段優(yōu)弧，圓心在磁場(chǎng)中。 當(dāng)900時(shí)，1800，軌跡為半圓周，圓心在線段PQ的中點(diǎn)。 當(dāng)900時(shí)， 1800，軌跡為一段劣弧，圓心在磁場(chǎng)外。 總結(jié)：這類問題中要特別注意出入磁場(chǎng)的速度方向關(guān)于邊界對(duì)稱的特點(diǎn)。更重要的是要能用“動(dòng)態(tài)”的觀點(diǎn)分析問題，即當(dāng)粒子速度大小一定從P點(diǎn)

3、進(jìn)入方向變化時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、出磁場(chǎng)的位置都隨之變化，但軌跡半徑不變，所有可能軌跡的圓心應(yīng)分布在以P點(diǎn)為圓心、為半徑的半圓上。若帶電粒子從P點(diǎn)射入時(shí)速度大小變化而方向一定時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡、軌跡半徑、出磁場(chǎng)的位置都隨之變化，但運(yùn)動(dòng)時(shí)間和偏轉(zhuǎn)方向不變，所有可能軌跡的圓心應(yīng)分布在PO及其延長(zhǎng)線上。 （二）有平行雙平面邊界的磁場(chǎng)（只討論粒子垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)） 1當(dāng)時(shí)（如圖3中r1），粒子在磁場(chǎng)中做半圓周運(yùn)動(dòng)后由進(jìn)入邊界的Q1點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。則有 幾何關(guān)系：PQ1=2r1 粒子運(yùn)動(dòng)方向改變180°。 2當(dāng)時(shí)（如圖中），粒子將從另一邊界Q2點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。則有 幾何關(guān)系：

4、粒子運(yùn)動(dòng)方向改變。 總結(jié)：這類問題要特別注意粒子能否出另一邊界的臨界條件。還有正三棱柱面邊界磁場(chǎng)、正四棱柱面邊界磁場(chǎng)的問題，其分析方法與上面相似。 例題：如圖4，有很多質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子以等大速度從P點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的不同方向連續(xù)射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、磁場(chǎng)寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，求解下列問題： 要使粒子不從右邊界射出，粒子速度大小應(yīng)滿足的條件是什么？ 若粒子恰好不從右邊界射出，這些粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域的面積是多少？ 若所有粒子都從P點(diǎn)垂直左邊界進(jìn)入磁場(chǎng)并從右邊界Q點(diǎn)射出，速度方向改變角，求粒子的速度大小和粒子的偏轉(zhuǎn)距離？ 解析：根據(jù)題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4。 由牛頓第二定律得 要

5、使粒子不從右邊界射出，應(yīng)有 聯(lián)立式解得 若粒子恰好不從右邊界射出，應(yīng)有 此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域的面積為： （3）設(shè)此時(shí)粒子速度為V2，軌跡半徑為，由題意及幾何知識(shí)得 故有 由牛頓第二定律得 聯(lián)立式解得 粒子偏轉(zhuǎn)距離為 （三）有圓柱面邊界的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)方向與圓柱軸線平行） 1帶電粒子對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入磁場(chǎng) 如圖5所示，磁場(chǎng)圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心O射入，由幾何知識(shí)容易證明粒子從Q點(diǎn)飛出的速度方向的反向延長(zhǎng)線必過磁場(chǎng)圓心O點(diǎn)。則有如下關(guān)系： 物理關(guān)系：， 幾何關(guān)系：， 特別地當(dāng)時(shí)，即粒子速度方向改變。 2帶電粒子不對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入磁場(chǎng) 如圖5所示，帶電粒子從P

6、點(diǎn)射入方向發(fā)生變化時(shí)，則軌跡圓心的位置隨之變化。當(dāng)粒子沿圖6所示軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)、方向偏轉(zhuǎn)角最大。此時(shí)有： 聯(lián)立以上四式可解得和，并由可求得入射方向角。 討論： （1）由圖6看出，在軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)角一定的情況下，可實(shí)現(xiàn)此偏轉(zhuǎn)的最小磁場(chǎng)圓即為以PQ為直徑的圓。 （2）如圖7所示，由幾何知識(shí)很容易證明當(dāng)時(shí)，相同帶電粒子從P點(diǎn)沿紙面內(nèi)不同方向射入磁場(chǎng)，它們離開磁場(chǎng)時(shí)的方向卻是平行的。 總結(jié)：處理這類問題時(shí)一定要分清磁場(chǎng)圓和軌跡圓。再如圓環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域問題可參考（二）、（三）的分析方法求解。 例題在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)原點(diǎn)不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于xoy平面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。 解析：由題意可得電子在磁場(chǎng)中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。沿軸正方向射入的電子做圓周運(yùn)動(dòng)后從Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)，聯(lián)想圖7所示特點(diǎn)，若存在一半徑為R、圓心在O1圓形磁場(chǎng)區(qū)域即可到達(dá)題意要求年，如圖8所示。顯然，符合條件的最小磁場(chǎng)區(qū)域應(yīng)是圓O1、A1相交的部分。所以：。 從以上分析討論看出，帶