平面及空間直線與直線的關(guān)系2012年11月15日教學備課講義教案

1、精銳教育學科教師輔導講義講義編號：學員編號： 年 級：高三課時數(shù)：3學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師： 課 題T平面定義與性質(zhì)T直線與直線的位置關(guān)系T綜合應(yīng)用求解星級授課時間教學目的1、 理解平面的定義及性質(zhì)；掌握3個公理及推論并會應(yīng)用。2、 掌握公理4，并理解空間等角定理。3、 掌握兩直線的位置關(guān)系，理解異面直線并會求異面直線的夾角。教學內(nèi)容一、平面及其基本性質(zhì)知識導入1、知識點梳理（1）、生活中的平面生活中的一些物體通常呈平面形，如課桌面、黑板面、海面都是平面，幾何里說的平面（plane）是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是幾何里的平面限延展的。（2）、平面的畫法與表示法常常把水平的平

2、面畫成一個平行四邊形，銳角通常畫成45°，且橫邊等于其鄰邊長的2倍平面表示：平面通常用、寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面、平面、平面，也可以用平行四邊形的四個頂點或相對的兩個頂點的大寫英文字母來表示，如平面ABCD，或平面AC或平面BD。ABCD·P·Q如果一個平面被另一個平面遮住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出來，如右圖。平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成是點的集合，點P在平面內(nèi)，記作P，點Q在平面外，記作Q。（3）、公理1公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。此公理可以判斷直線是否在平面內(nèi)。A·

3、83;B點動成線、線動成面。直線、平面都可以看成點的集合。點P在直線l上，記作Pl，點P在直線l外，記作Pl。如果直線l上的所有點都在平面內(nèi)，就說直線l在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線l，記作l；否則，就說直線l在平面外，記作l。公理1也可以表示：Al，Bl，且A，Bl（4）、公理2公理2如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。Pl，且Pl（5）、公理3三腳架可以聲支撐照相機或測量用的平板儀或電子琴，自行車前后輪胎及支架。公理3過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。（補充3個推論）：推論1：經(jīng)過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有

4、且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。典型例題例1、用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的關(guān)系。解析：結(jié)合元素與集合間的關(guān)系表示點線面間的關(guān)系解：左邊的圖中，l，aA，aB。右邊的圖中，l，a，b，al=P，bl=P。 點評：結(jié)合元素與集合間的關(guān)系表示點線面間的關(guān)系A(chǔ)BalPlab變式1：用符號表示下列語句（1） 點A在平面內(nèi)，點B在平面外 (A, B)（2） 直線l經(jīng)過平面外的一點M ( M, Ml)例2 不共面的四點可以確定幾個平面？共點的三條直線可以確定幾個平面？解析：結(jié)合實物做出解答解：不共面的四點可以確定4個平面（如三棱錐）共點的三條直線可以確定1個或3個平面

5、點評：發(fā)展學生思維變式2：判斷正誤1.經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面（）2.如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合（）例3如圖，已知平面，且l.設(shè)梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求證：AB，CD，l共點(相交于一點)證明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的兩腰AB，CD必定相交于一點設(shè)ABCDM.又AB，CD，M，且M.M.又l，Ml.即AB，CD，l共點課堂檢測一選擇題1. 空間中ABCDE五點中，ABCD在同一平面內(nèi)，BCDE在同一平面內(nèi)，那么這五點（）A共面 B不一定共面C不共面D以上都不對2. 若a、b是異面直線，b、c是異面直

6、線，則a、c的位置關(guān)系是（）A相交、平行或異面 B相交或平行C異面D平行或異面3.空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點是PQR，PQ=3，QR=4，PR=5，那么異面直線AC、BD所成的角是（） A900B600 C450 D300二填空題4.在空間四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，若AC=BD,ACBD,則四邊形EFGH為_5.直線a、b不在平面內(nèi)，a、b在平面內(nèi)的射影是兩條平行線，則a、b的位置關(guān)系是_三解答題6.完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求證：B

7、D和AE是異面直線證明：假設(shè)_ 共面于g，則點A、E、B、D都在平面_內(nèi)QAÎa，DÎa，_Ì. QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc_Ìg，_Ìg，這與_矛盾BD、AE_7如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為A1A的中點，求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點7證明：(1)分別連接EF、A1B、D1C.E、F分別是AB和AA1的中點，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，四邊形A1D1CB為平行四邊形A1

8、BCD1，從而EFCD1.EF與CD1確定一個平面E、F、D1、C四點共面(2)EF綊CD1，直線D1F和CE必相交，設(shè)D1FCEP.PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點，而平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD.CE、D1F、DA三線共點反思小結(jié)二、空間中直線與直線的位置關(guān)系知識導入1、平行線的傳遞性（1）提問：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？讓學生思考： 長方體ABCD-A'B'C'D'

9、中， BB'AA'，DD'AA'， BB'與DD'平行嗎？ 再聯(lián)系其他相應(yīng)實例歸納出公理4（2）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>acabcb強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。2、空間等角定理讓學生觀察、思考：ADC與A'D'C'、ADC與A'B'C'的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？生：ADC = A'D'C'，ADC + A'B

10、'C' = 1800教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。教師強調(diào)：并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來。3、空間兩直線的位置關(guān)系（1）思考問題1：在平面幾何中，兩直線的位置關(guān)系如何？問題2：沒有公共點的直線一定平行嗎？問題3：沒有公共點的兩直線一定在同一平面內(nèi)嗎？（2）異面直線通過身邊諸多實物，引導學生思考、舉例和相互交流得出異面直線的概念：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（3）兩直線的位置關(guān)系提問：空間兩條直線有多少種位置關(guān)系？1、給出長方體模型，引導學生得出空間的兩條直線

11、有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。思考：如圖所示：正方體的棱所在的直線中，與直線AB異面的有哪些？2、再次強調(diào)異面直線不共面的特點，介紹異面直線的作圖，如下圖：（4）異面直線所成角（1）如圖，已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點O作直線a'a、b'b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。（2）強調(diào)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一

12、條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。典型例題例1空間四邊形 ABCD中，E.F.G.H分別是AB.BC.CD.DA的中點求證：四邊形EFGH是平行四邊形證明：連接BD因為EH是ABD的中位線，所以EHBD且EH=BD 同理FGBD且FG=BD因為EHFG且EH=FG所以四邊形 EFGH是平行四邊形變式：在例1中如果加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1

13、,（1） 哪些棱所在直線與直線BA1是異面直線？（2） 哪些棱所在的直線與AA1垂直？解析：考察異面直線的理解1.DD1.D1C1.B1C1所在直線分別與直線BA1是異面直線1B1.B1C1.C1D1.D1A1分別與AA1垂直點評：理解異面直線，垂直包括相交垂直與異面垂直變式：在正方體ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，與BD'成異面直線的有 _ 條。（6條）課堂檢測一選擇題1.垂直于兩條異面直線的直線有（ ）條A1 B2C無數(shù)D以上都不對EAFBCMND2.兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB與CD（ ）A垂直 B平行C

14、相交D以上都不對3右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60º角；DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（ ）（A）（B）（C）（D）二填空題4.在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為_5.空間四邊形中，分別是的中點，求異面直線所成的角為_三解答題6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.翰林匯翰林匯綜合應(yīng)用求解綜合訓練（一）1. 下列命題正確的是（）經(jīng)過三點確定一個平面經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面四邊形確定一個平面兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面

15、答案：2. 如圖，已知長方體中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是多少度？答案：（）；（）3. 已知，是三條直線，角，且與的夾角為，那么與夾角為答案：4.是長方體的一條棱，這個長方體中與垂直的棱共條。答案：8條5. 如果，是異面直線，直線與，都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個答案：2個6. 如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面？Error! Reference source not found.答案：3個，3個7 下列命題中，正確的個數(shù)為（ ）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；

16、平行移動兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過空間四邊形的頂點引的平行線段，則是異面直線與所成的角；四邊相等，且四個角也相等的四邊形是正方形0123答案：8. 若，是異面直線，也是異面直線，則與的位置關(guān)系是（）異面相交或平行平行或異面相交或平行或異面答案：9. 在空間四邊形中，分別是，的中點，則與的大小關(guān)系是答案：10. 已知是一對異面直線，且成角，為空間一定點，則在過點的直線中與所成的角都為的直線有條答案：11. 空間四邊形中，分別是，的中點，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是答案：12. 已知下列四個命題： 很平的桌面是一個平面； 一個平面的面積可以是m； 平面是矩形或平行四邊形

17、； 兩個平面疊在一起比一個平面厚其中正確的命題有（）個個個個答案：13. 給出下列命題：（1）和直線都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；（2）三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；（3）有三個不同公共點的兩個平面重合；（4）兩兩平行的三條直線確定三個平面其中正確命題的個數(shù)是（）答案：14. 直線，在上取點，上取點，由這點能確定的平面有（）個個個個答案：15. 三條直線相交于一點，可能確定的平面有（）個個個個或個答案：16. 下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每兩條都相交但不共點的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個點確定一個平面；兩條互相垂直的直線共面與與與與答案：17. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）異面直線相交直線不相交直線不平行直線答案：18.，是異面直線，是上兩