高階非線性脈沖時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

1、第20卷 第2期 2010年2月長(zhǎng) 春 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)JOURNALOFCHANGCHUNUNIVERSITY高階非線性脈沖時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性賈對(duì)紅(長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長(zhǎng)治 046011)摘 要:對(duì)高階非線性脈沖微分方程的解的振動(dòng)性作了研究,所得結(jié)果是在原有結(jié)果基礎(chǔ)上的改進(jìn),并舉例說(shuō)明脈沖對(duì)振動(dòng)性態(tài)的影響。關(guān)鍵詞:脈沖微分方程;時(shí)滯微分方程;振動(dòng)性;非線性中圖分類號(hào):O175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1009-3907(2010)02-0005-04定義2 方程(1)的解稱為非振動(dòng)的,如果這個(gè)解最終為正或是最終為負(fù);否則稱該解為振動(dòng)的。如果方程(1)的所有解為振動(dòng)的,則稱方程(1)是振

2、動(dòng)的。由于高階非線性脈沖微分方程可以轉(zhuǎn)化為脈沖微分方程組,而對(duì)脈沖微分方程組解的整體存在性可以參考文4。下面我們總假定方程(1)的解在t0- ,+#上是整體存在的。(i)0 引 言近來(lái)在文獻(xiàn)13中研究了一類高階線性脈沖微分方程的振動(dòng)性,得到了一些振動(dòng)準(zhǔn)則。本文主要是在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上研究一類高階非線性脈沖微分方程:(r(t)xxx(i)(i)+(2n-1)(t)+'f(t,x(t- )=0,t t0,(i)(i)t tk,k=1,2 (tk)=gk(x(tk),i=0,1,2 2n-1(i)(t)= (i)(t),t!t0- ,t0,x(t)=x+以下總假設(shè)下列條件成立:() <

3、tk+1-tk<+#,k=0,1,2 。(%)f(t,x)在t0- ,+#&(-#,+#)上連續(xù),且f(t,x)有:uf(t,u)>0(u 0),f(t,u)/!(u) p(t)(u 0)。其中p(t)在t0- ,+#上連續(xù),p(t) 0,u!(u)>0(u 0),且!'(u)>0。r(t)在t0- ,+#上為連續(xù)正函數(shù), (t)在t0- ,t0上分段連續(xù),且 (t)在t0- ,t0上最多有有限個(gè)第一類間斷。()gk(i)(x)在(-#,+#)上連續(xù),且存在正常gk(i)(x)(i)(i)(i)(i)bk。數(shù)ck,bk,i=0,1 2n-1滿足:ak x

4、(i)()(t1-t0)+(i-1)(t2-t1)+ +b1a1a2 am-1m+1-tm)+ =+#,(i-1)(i-1)(i-1)(tb1b2 bm-1()aj+1(2n-1)(2n-2)j+1tj+1tj(i)(i)(i)(i)(1)0<t0<t1< <tk< klimtk=+#。#其中xx(i)+k(i)(tk)=hlim-0x(i-1)x(i-1)(tk+h)-xh(i-1)(i-1)(tk),(t)=blim+0(tk+h)-xh(tk)+本文通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)間符號(hào)的關(guān)系,得到了脈沖微分方程(1)振動(dòng)的一個(gè)充分條件,所得結(jié)果改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中的一些結(jié)論。1

5、基本概念定義1 函數(shù)x(t):t0- ,a)R,t0 0,a>0稱為方程(1)的一個(gè)解,如果滿足:(1)x(t)= (t),t!t0- t0,x(t0)=x0;(2)對(duì)t!t0,t0+a)且t tk,t tk+ ,x(t)滿足:(r(t)x(3)x(i)(2n-1)(i)(i)(i)+(i)(t)f'+(i)aj+1tj+2dt+(2n-2)dt+ +tj+1r(t)r(t)aj+1(2n)-1(2n-2)j+m-1j+mtj+m-1(2n-1)(t,x(t- )=0;(t)在t tk(k!N)處連續(xù),xx(i)aj+2a(2n-1)(2n-2)j+2a(j+m-1) at(t)

6、在t=adt+ =#。r(t)tk處左連續(xù),且滿足:(tk)=gk(i)(x+(i)(tk)。(+)tj+1tjtaj+1j+2dt+-dt+ +j+1tr(t)r(t)bj+1(2n-1)收稿日期:2009 10 26作者簡(jiǎn)介:賈對(duì)紅(1979 ),女,山西壽陽(yáng)人,助教,碩士,主要從事微分差分方程定性理論。6(2n-1)(2n-1)(2n-1)長(zhǎng) 春 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第20卷aj+1aj+2 aj+m-1tj+mdt+ =#。j+m-1r(t)bj+1bj+2 bj+m-1-t由上述討論知,存在T1>T,使t>T1時(shí)x(i-1)2 主要結(jié)果引理1 設(shè)x(t)為方程(1)的解,且條

7、件()-()成立,又設(shè)對(duì)某一i!1,2, 2n-1,存在T t0當(dāng)t T時(shí),xx(i-1)(i)(t)>0。引理證畢。引理2 設(shè)x(t)為方程(1)的解,且條件(i)()-()成立,又設(shè)對(duì)某一i!1,2 2n-1,存在T t0當(dāng)t T時(shí)有x(t)>0(<0),x( 0)且x(i)(i-1)(t) 0(t)>0(<0),x(i+1)(t)(t)在任何區(qū)間t,+#)上不恒為零,0( 0),則存在T1>T,使得當(dāng)t>T1時(shí)有(t)>0(<0)。(i)則當(dāng)t充分大時(shí)有x(t)>0(<0)。證明:僅就括號(hào)外情形證明。不妨設(shè)T=t0,下面證

8、明對(duì)一切tk>T,x由x(i)(i-1)證明:僅就括號(hào)外情形證。不妨設(shè)T=t0,當(dāng)t!(tk,tk+1(k=1,2 )時(shí),由x0,下面分兩種情況討論:情形1:若對(duì)一切tk>T時(shí),有x為xx(i)(i)(i-1)(tk)>0。(i-1)(t)>0,x(i+1)(t)若不然,則存在某個(gè)tj>T使得x(t) 0知當(dāng)k>j時(shí)x(i-1)(i-1)(i-1)(tj) 0。(i)(t)在(tk,tk+1上單(tk)<0,因(i)(t)>0,x(i+1)(t) 0知x(i)(t)>0且在(tk,(t)調(diào)不增。有x(tk+1) x(tk) 0,又x(t)在

9、任何區(qū)間t,+#)上不恒為零,故存在某個(gè)ts>tj,使xx(i-1)(i)tk+1上單調(diào)不減。從而當(dāng)t!(t1,t2時(shí),x(t)。從t1到t2積分上式得:x(i-1)+1(t)在(ts,ts+1不恒為零。為方便起見(jiàn)設(shè)s(i)=j,即x+1(t)在(tj,tj+1上不恒為零,從而有(i-1)(t2) x(i-1)(t)+x+1(i)(t)(t2-t1)。(2)(tj+1)<x(i-1)(tj) aj(i-1)+(i-1)x(i-1)(tj) 0,當(dāng)(tj+1)+同理可得:(i-1)(i-1)+(i)+x(t3) x(t2)+x(t2)(t3-t2),(3)由(2)、(3)式xxg2(

10、x(i)(i)(i-1)(i)(i)(i)t!(tj+1,tj+2時(shí)有x(i-1)(t) x(i-1)(i-1)(t2) x(i-1)(i)(t1)得:(t2)+(x(i-1)(i-1)+aj+1x(tj+1)<0,即有x(tj+2)<0。由歸納法知,當(dāng)t!(tj+m,tj+m+1時(shí),當(dāng)m充分大時(shí)x0,x(i)(i-1)(t3) g(x(i-1)(t)<0,故在(tj+1,+#)上有x(i-2)(i-1)(t)<(t2)(t3-t2) b2(i)22(i-1)(i-1)(t2)+(t1)+(t) 0。由引理1得x(i-1)(t)<0。依此類推(i-1)a2(xx(

11、i)(t2)(t3-t2) b2(xx由引理1可得當(dāng)充分大時(shí)x(t)<0,這與x(t)>0矛盾,故對(duì)一切tk>T有x(i-1)a(t)(t2-t1)+b+1(tk)>0。再由x(i-1)(t)(i)(t2)(t3-t2)。(i-1)+在(tk,tk+1上單調(diào)不增有x(t) x(i-1)(tk+1)>用歸納法可得:x(i-1)(tm) b2+1(i-1)b3(i-1)bm-1x(i-1)(t1)+0,故t充分大時(shí)x(t)>0。引理證畢。引理3 設(shè)x(t)為方程(1)的解,且條件()-(+)成立,又設(shè)存在T t0當(dāng)t T時(shí)有x(t)>0,則存在T, T及l(fā)

12、!1,3 2n-1,使得當(dāng)t>T,時(shí),有:x(i)x(i)a2(i)(t)(t2-t1)+(i-1)x(t2)(t3-t2)+b2(i)(i)(i)(i)a2a3 am-1+(i-1)(i-1)m-tm-1)。(4)(i-1)(tb2b3 bm-1因?yàn)閍(i)k(t)>0,i=0,1, l(i-1)>0,b(i-1)k>0,由(1)式知當(dāng)m充分大(i-1)(-1)x(i)(t)>0,i=l+1, 2n-1(5)時(shí),(4)式的右端大于零,從而當(dāng)m充分大時(shí)xm情形2:設(shè)存在某個(gè)tj>T時(shí),x么有xx(i)(i-1)(i-1)>r(t)x(2n-1)(t)

13、'0,0,與假設(shè)矛盾。所以對(duì)一切tk>T,情形1不成立。(tj) 0,那(t) a(i-1)+j(i-1)j證明:設(shè)T=t0,因?yàn)閤(t)>0(t t0),由條件(%)及p(t)非負(fù),且在任何區(qū)間(t,+#)上不恒為零,知r(t)x(2n-1)x(i-1)(tj) 0,因?yàn)?t)>x(i-1)(t)'=-f(t,x(t- ) -p(t)&(2n-1)(t)>0,所以x(i-1)(t)在(tj,tj+1上單調(diào)增加。(i-1)+從而當(dāng)t!(tj,tj+1時(shí),x0,特別有xa(i-1)(j+1)(tj)+!(x(t- ) 0,令s(t)=r(t)x0。

14、(t),則s'(t)(tj+1)>x(i-1)(tj) 0。(t) x(i-1)(一)首先證當(dāng)tk>T時(shí),必有x(tk)>0。(1)若不然存在自然數(shù)j,滿足tj>T時(shí)x(2n-1)(2n-1)當(dāng)t!(tj+1,tj+2時(shí),xxi-1(i-1)(tj+1)(tj) 0,s(tj)=r(tj)x+(2n-1)(tj) 0,因?yàn)閟('t)(2n-1)(tj+1)>0,由歸納法知:(i-1)0,故當(dāng)t!(tj,tj+1時(shí),s(t)單調(diào)不增。(t)>0。故當(dāng)t故有s(t) s(tj)=r(tj)xtjaj(2n-1)當(dāng)t!(tj+m,tj+m+1時(shí),x

15、tj+(i-1)(tj)+x(2n-1)tj)s(j1)第2期 賈對(duì)紅:高階非線性脈沖時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性7(2n-1)由此知s(tj+1) aj+1+(2n-1)s(tj+1) 0。由歸納法知,當(dāng)t!(tj+m,tj+m+1時(shí)s(t) 0,由s(t) 0及s('t) 0且在(t,+#)上不恒為零,可得當(dāng)t充分大時(shí)s(t)(2n-1)(2n-1)<0,從而x(t)<0。設(shè)t>tj時(shí)x(t)<0。(a)如果x(2n-2)+aj+1 aj+m-1tj+m -dt。tj+m-1r(t)bj+1 bj+m-1由條件(+)知,當(dāng)m充分大時(shí)x(2n-2)(2n-1)(tj+

16、m)<(tk)<0時(shí),s(tj) aj+(2n-1)&0,這與假設(shè)矛盾,這種情形不成立,故當(dāng)t充分大時(shí)(2n-2)x(t)<0。(2)由t充分大時(shí)x(2n-3)(2n-1)s(tj)<0,記s(tj)=-(>0)。因?yàn)閟,(t) 0,所以s(t)在區(qū)間(tj+i-1,tj+i(i=1,2 )上單調(diào)不增,故當(dāng)t!(tj,tj+1時(shí)有:s(t) s(tj)=-<0。特別有s(tj+1)<-<0所以:(t) -,(2n-1)x(t) -t!(tj,tj+1,(6)r(t)+(2n-1)s(t) s(tj+1) -aj+1<0,t!(tj+

17、1,tj+2,x(2n-1)+(t)<0,x(2n-2)(t)<0,再由引理1知x(t)<0,反復(fù)利用引理1知t充分大時(shí)x(t)<0產(chǎn)生矛盾,故假設(shè)不成立,x(2n-1)(tk)>0。當(dāng)t!(tk,tk+1時(shí)s,(t) 0,s(t)(2n-1)r(t)x(2n-1)s(tk+1)>0,從而有x(t)>0。由數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)t!(tk+m,tk+m+1時(shí)s,(t) 0,s(t) s(tk+m+1)>0,故m充分大時(shí)x(t)>0。(2n-1)(二)為方便起見(jiàn),不妨設(shè)t t0時(shí)x(t)>0,從而有x切tk有x(2n-2)(2n-1)aj+1(t

18、) -,t!(tj+1,tj+2。r(t)(2n-2)(2n-1)(7)(t)在(tk,tk+1上單調(diào)增加,若對(duì)一(2n-)(2n-2)對(duì)(7)式從tj到tj+1積分得:x(2n-2)+(2n-1)tj+11x(tj)-j+1dt。tjr(t)xa(2n-2)(tj+1)(tk)<0,顯然有x(2n-2)(t)>0(t(2n-2)t0)。若有某個(gè)tj使x單調(diào)性及ak(A1)x(B1)x(2n-2)(tj) 0,由x(2n-2)(t)的>0知當(dāng)t>tj時(shí)x(t)>0,x(t)>0,x(2n-2)(2n-2)(t)>0。由同理對(duì)(7)式從tj+1到tj+2

19、積分得:(tj+2) xx(2n-2)+j(2n-2)此知存在T1>T下面兩情形之一成立:(2n-1)(2n-1)tj+2tj+1(t+j+1)-a(2n-1)j+11dtr(t)(t)>0,t T1;(t)<0,t T1。(2n-2)j+1aj+1tj+2(t)-dt-dt。tj+1r(t)r(t)aj+1tj+1tj(2n-2)j+1(2n-2)j+m-1(2n-1)當(dāng)(A1)成立時(shí),由引理1知t充分大時(shí),(2n-3)x(t)>0,反復(fù)利用引理1最終可得當(dāng)t充分大時(shí):x(2n-1)由歸納法知x(2n-2)(tj+m) aj+1tjax(2n-2)(tj)-+(t)&

20、gt;0,x(t)>0 x('t)>0,x(t)>0。當(dāng)(B1)成立時(shí),類似前面的討論,由引理2知(2n-3)(2n-2)當(dāng)t充分大時(shí)有xT,當(dāng)t>T時(shí)有:(A2)x(B2)x(2n-3)(2n-3)ta1tj+21dt-(2n-2)dt-tj+1r(t)r(t)aj+1aa(2n-1)j+1j+-1(2n-1)j+1(t)>0,進(jìn)一步知存在T2>(2n-4)(2n-4)-(2n-2)aa(2n-1)j+m-1j+m-1(t)>0,x(t)>0,x(t)>0,t T2;(t)<0,t T2。j+mtj+m-1tdt。r(r)由

21、條件()知,當(dāng)m充分大時(shí)有x(tj+m)<0,由x(2n-2)(2n-2)2n-1重復(fù)上述推論,最終得存在T 'T及l(fā)!1,32n-1,使當(dāng)t>T時(shí)',有x(i)(t)的單調(diào)遞減性知,當(dāng)t!(2n-2)(t)>0,i=0,1, l(i-1)(tk,tk+1時(shí),x(t)<x(tk)<0。由此知,當(dāng)(-1)x(i)(t)>0,i=l+1, 2n-1證畢。t充分大時(shí)x(t)<0。(2n-2)(b)當(dāng)x(tk) 0時(shí),對(duì)(7)式從tj+1到tj+2積分得:xb(2n-2)(2n-2)+(2n-1)tr(t)x(t) '0,注:x(t)為

22、負(fù)的情形也有類似引理。定理 如果條件()-(+)成立,且t2p(t)dt=+#,那么方程(1)的任意解振動(dòng)。證明:假設(shè)方程(1)有一非振動(dòng)解,不妨設(shè)x(t)>0(t t0),則x(t- )>0(t t1),由引理3知存在T 't0,當(dāng)t T時(shí)有':r(t)x(2n-1)(2n-1)+#(2n-1)(tj+2) x(2n-2)+j(tj+1)-aj+1tj+1tj+2tj+1dt r(t)(2n-2)j+1xtdt-aj+1dt。j+2(t)-jt(2n-2)j+1r(t)r(t)bj+1(2n-1)由歸納法知:x(2n-2)(t), 0,(tj+m) bj+1tj+

23、1(2n-2)bj+m-1(2n-1)(2n-2)x(2n-2)(t+)j-x(t)>0,x'(t)>0,x(t)>0,令s(t)=(2n-1)+(2n-1)r(t)x(t),則s'(t) 0,s(tk)=r(tk)x(tk) bk+(2n-1)aj+1tj+2tjdt-(2n-2)dt-tj+1r(r(r)j+1x(2n-1)(tk),設(shè)T='t1,則tk>t1時(shí),s(t)(,tk+18長(zhǎng) 春 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第20卷s(t) s(t1) b1有s(t2) s(t1) b1s(t) s(tm) b1+m+(2n-1)s(t1) t!(t1,t2

24、,特別(2n-1)(2n-1)s(t1),由數(shù)學(xué)歸納法得 bms(t1) t!(tm,tm+1,(2n-1)m(2n-1)1(2n-1)11)(1+x(t-),可知()-()滿足,對(duì)于22()有:-當(dāng)i>1時(shí),ak=bk=2,a1(t1-t0)+(i-1)(t2-t1)+ +b1a1a2 am-1m+1-tm)+ =(tb1b2 bm-11+2+ +2+ =+#,(i)(0)當(dāng)i=1時(shí),ak=2,bk=2a1(t1-t0)+(i-1)(t2-t1)+ +b1a1a2 am-1b1(i)(i)(i)(i)m(i)(i)(i)(i)(i)(i)s(tm+1) s(t) b bs(t1)。由方

25、程(1)及!,(x)>0,x(t)的嚴(yán)格單調(diào)性知:s,(t)=-f(t,x(t- ) -p(t)!(x(t- )。(8)從t1到t2積分上式得:s(t2) s(t1)-p(s)!(x(s- )ds,s!(t1,t2。又因?yàn)?(x(s- )>!(x(t1- )>!(x(t0),故s(t2)<b1(t,t2,s(t3)<b1(2n-1)(2n-1)2s(t1)-!(x(t0),s!t1p(s)ds+t2t1tb2(2n-1)3s(t1)-!(x(t0),tp(s)ds2tb2bm-1m-1(tm+1tm)+ =ms!(t2,t3。由歸納法得到:s(tm+1)<s(t)-!(x(t0)bii=1tm(2n-1)t+mtm+1tm1+4!2+ +4對(duì)條件()有:-p(s)ds<tj+1tj/2+ =+#。m+1s(t1)-!(x(t0)p(s)ds&tmaj+11tj+21dt+(2n-2)dt+ +tj+1r(t)r(t)aj+1aj+1a(2n-1)(2n-1)m+1p(s)ds<tm(2n-1(bs(t1)s(tm+1)&i!(x(t0)i=1