平面向量題型三三角形四心與向量結(jié)合

1、題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合(一)平面向量與三角形內(nèi)心1、O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（ ）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心2、已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P是三角形的（   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3、在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC的： （ ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心(二)平面向量與三角形垂心 “垂心定理”H是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是ABC的垂心.證明：由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）4、已知A

2、BC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 （   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5、點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的 （ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)6、在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式： ，則為的 （   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量與三角形重心 “重心定理”G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是ABC的重心.證明 圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)

3、，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（證略）P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）7、已知O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的 （    ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心8、已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足= (+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 （ ）A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)(四

4、)平面向量與三角形外心9、若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（     ）A內(nèi)心   B外心     C垂心       D重心10、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = (五)平面向量與三角形四心11、已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）12、在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2

5、。13、若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .14、 設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心. 求證 15已知點(diǎn)、在三角形所在平面內(nèi)，且=,則=則點(diǎn)、依次是三角形的（A）重心、外心、垂心 （B）重心、外心、內(nèi)心（C）外心、重心、垂心 （D）外心、重心、內(nèi)心題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合答案1、解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.4、解析:由.即則 所以P為的垂心. 故選D.8、取AB邊的中點(diǎn)M，則，由= (+2)可得3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心，故選

6、B.9、解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外心 ，選B。10、111證明 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.12【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有： 由題設(shè)可設(shè),AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF

7、即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：213證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.14證明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .三角形“四心”與向量結(jié)合總結(jié)1O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3O是的外心(或)若O是