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文檔簡介
1、題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合(一)平面向量與三角形內(nèi)心1、O是平面上的一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P點的軌跡一定通過的( )(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心2、已知ABC,P為三角形所在平面上的一點,且點P滿足:,則P是三角形的( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3、在三角形ABC中,動點P滿足:,則P點軌跡一定通過ABC的: ( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心(二)平面向量與三角形垂心 “垂心定理”H是ABC所在平面內(nèi)任一點,點H是ABC的垂心.證明:由,同理,.故H是ABC的垂心. (反之亦然(證略)4、已知A
2、BC,P為三角形所在平面上的動點,且動點P滿足:,則P點為三角形的 ( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5、點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足,則點O是的 ( )(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交點6、在同一個平面上有及一點滿足關(guān)系式: ,則為的 ( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量與三角形重心 “重心定理”G是ABC所在平面內(nèi)一點,=0點G是ABC的重心.證明 圖中連結(jié)BE和CE,則CE=GB,BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點
3、,AD為BC邊上的中線.將代入=0,得=0,故G是ABC的重心.(反之亦然(證略)P是ABC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心 =0=0,即由此可得.(反之亦然(證略)7、已知O是平面上一 定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P 滿足:,則P的軌跡一定通過ABC的 ( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心8、已知A、B、C是平面上不共線的三點,O是三角形ABC的重心,動點P滿足= (+2),則點P一定為三角形ABC的 ( )A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分點(非重心)C.重心 D.AB邊的中點(四
4、)平面向量與三角形外心9、若 為內(nèi)一點,則 是 的( )A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心10、的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,則實數(shù)m = (五)平面向量與三角形四心11、已知向量,滿足條件+=0,|=|=|=1,求證 P1P2P3是正三角形.(數(shù)學第一冊(下),復習參考題五B組第6題)12、在ABC中,已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:Q、G、H三點共線,且QG:GH=1:2
5、。13、若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .14、 設O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心. 求證 15已知點、在三角形所在平面內(nèi),且=,則=則點、依次是三角形的(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、內(nèi)心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、內(nèi)心題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合答案1、解析:因為是向量的單位向量設與方向上的單位向量分別為, 又,則原式可化為,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分,那么在中,AP平分,則知選B.4、解析:由.即則 所以P為的垂心. 故選D.8、取AB邊的中點M,則,由= (+2)可得3,即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點,且點P不過重心,故選
6、B.9、解析:由向量模的定義知到的三頂點距離相等。故 是 的外心 ,選B。10、111證明 由已知+=-,兩邊平方得·=, 同理 ·=·=, |=|=|=,從而P1P2P3是正三角形.反之,若點O是正三角形P1P2P3的中心,則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點,+=0且|=|=|點O是正P1P2P3的中心.12【證明】:以A為原點,AB所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標系。設A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分別為AB、BC、AC的中點,則有: 由題設可設,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF
7、即,故Q、G、H三點共線,且QG:GH=1:213證明 若ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD,CD.,.又垂心為H,AHCD,CHAD,四邊形AHCD為平行四邊形,故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系:(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”;(2)三角形的重心在“歐拉線”上,且為外垂連線的第一個三分點,即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?!皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單,可簡化成如下的向量問題.14證明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .三角形“四心”與向量結(jié)合總結(jié)1O是的重心;若O是的重心,則故;為的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心,則故3O是的外心(或)若O是
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