概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料llll

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程期 末 復(fù) 習(xí) 資 料注：以下是考試的參考內(nèi)容，不作為實(shí)際考試范圍，考試內(nèi)容以教學(xué)大綱和實(shí)施計(jì)劃為準(zhǔn)；注明“了解”的內(nèi)容一般不考。1、能很好地掌握寫樣本空間與事件方法，會(huì)事件關(guān)系的運(yùn)算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義3、掌握概率的基本性質(zhì)和應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算；理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式4、能準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式解題；掌握事件獨(dú)立性的概念與性質(zhì)。5、理解隨機(jī)變量的概念，能熟練寫出(01)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函數(shù)的概念與性質(zhì)，理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與性質(zhì)。7、掌握指數(shù)分布

2、(參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計(jì)算8、會(huì)求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，求一維隨機(jī)變量的分布律或概率密度。9、會(huì)求分布中的待定參數(shù)。10、會(huì)求邊緣分布函數(shù)、邊緣分布律、條件分布律、邊緣密度函數(shù)、條件密度函數(shù)，會(huì)判別隨機(jī)變量的獨(dú)立性。11、掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度的概念與計(jì)算。12、理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)與其性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律與其性質(zhì)，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度與其性質(zhì)，并會(huì)用它們計(jì)算有關(guān)事件的概率。13、了解求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法。14、會(huì)熟練地求隨機(jī)變量與其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。會(huì)熟練地默

3、寫出幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差。15、較熟練地求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).16、了解矩與協(xié)方差矩陣概念。會(huì)用獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合性質(zhì)解題。17、了解大數(shù)定理結(jié)論，會(huì)用中心極限定理解題。18、掌握總體、樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布概念，掌握樣本均值與樣本方差與樣本矩概念，掌握c2分布(與性質(zhì))、t分布、F分布與其分位點(diǎn)概念。19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理；會(huì)用矩估計(jì)方法來估計(jì)未知參數(shù)。20、掌握極大似然估計(jì)法，無偏性與有效性的判斷方法。21、會(huì)求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。會(huì)求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。23、明確假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，會(huì)U檢驗(yàn)法、t檢驗(yàn)、檢驗(yàn)

4、法、F檢驗(yàn)法解題。24、掌握正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)法。概率論部分必須要掌握的內(nèi)容以與題型1古典概型中計(jì)算概率用到的基本的計(jì)數(shù)方法。2概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨(dú)立性的概念與性質(zhì)。3準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。4一維、二維離散型隨機(jī)變量的分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。分布中待定參數(shù)的確定，分布律、密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)合分布與邊緣分布、條件分布的關(guān)系，求數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，求函數(shù)的分布律、密度函數(shù)與期望和方差。5會(huì)用中心極限定理解題。6熟記(0-1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指數(shù)分布(參數(shù))、均勻分

5、布、正態(tài)分布的密度函數(shù)、期望和方差。數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分必須要掌握的內(nèi)容以與題型1統(tǒng)計(jì)量的判斷。2計(jì)算樣本均值與樣本方差與樣本矩。3熟記正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理。4會(huì)求未知參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)。5掌握無偏性與有效性的判斷方法。6會(huì)求正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。7理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和原理，明確正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。概率論部分必須要掌握的內(nèi)容以與題型1古典概型中計(jì)算概率用到的基本的計(jì)數(shù)方法。古典概型例子摸球模型例1：袋中有a個(gè)白球，個(gè)黑球，從中接連任意取出m(ma+)個(gè)球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a個(gè)白球，個(gè)黑球，

6、c個(gè)紅球，從中任意取出(ma+)個(gè)球，求取出的m個(gè)球中有k1(a) 個(gè)白球、k2(b) 個(gè)黑球、k3(c) 個(gè)紅球(k1k2k3=m)的概率.占位模型例：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在N個(gè)格子中的分布問題.設(shè)有n個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以概率1/N落入N個(gè)格子(Nn)的任一個(gè)之中，求下列事件的概率：(1) A=指定n個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(2) B=任意n個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(3) C=指定的一個(gè)格子中恰有m(mn)個(gè)質(zhì)點(diǎn).抽數(shù)模型例：在09十個(gè)整數(shù)中任取四個(gè)，能排成一個(gè)四位偶數(shù)的概率是多少？2概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨(dú)立性的概念與性質(zhì)。如對(duì)于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)

7、，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以與換為或之中的幾個(gè)，求另外幾個(gè)。例1：事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，3準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。若已知導(dǎo)致事件A發(fā)生(或者是能與事件A同時(shí)發(fā)生)的幾個(gè)互斥的事件B i，i=1,2,n,的概率P(B i) ，以與B i發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率P(A|B i)，求事件A發(fā)生的概率P(A)以與A發(fā)生的條件下事件B i發(fā)生的條件概率P(B i| A)。例：玻璃杯成箱出售

8、，每箱20只。假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。4一維、二維離散型隨機(jī)變量的分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。分布中待定參數(shù)的確定，分布律、密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)合分布與邊緣分布、條件分布的關(guān)系，求數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，求函數(shù)的分布律、密度函數(shù)與期望和方差。(1)已知一維離散型隨機(jī)變量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,n,確定參數(shù) 求概率P(

9、a<X<b)求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)Y=g(X)的分布律與期望Eg(X)例：隨機(jī)變量的分布律為.1234k2k3k4k確定參數(shù)k求概率P(0<X<3)，求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的分布律與期望(2)已知一維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)確定參數(shù)求概率P(a<X<b)求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)Y=g(X)的密度函數(shù)與期望Eg(X)例：已知隨機(jī)變量的概率密度為，確定參數(shù)k求概率求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的密度與期望(3)已知二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)

10、合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n,確定參數(shù)求概率P(X,Y)ÎG求邊緣分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n,求條件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n,求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求函數(shù)Z=g(X, Y)的分布律與期望Eg(X, Y)例：已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.05

11、0.10.13求概率P(X<Y)， P(X=Y)求邊緣分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求條件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)f(x, y)確定參數(shù)求概率P(X,Y)ÎG求邊緣密度，判斷是否相互獨(dú)立求條件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，

12、判斷是否不相關(guān)求函數(shù)Z=g(X, Y)的密度函數(shù)與期望Eg(X, Y)例：已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為，確定常數(shù)的值；求概率P(X<Y)求邊緣密度，判斷是否相互獨(dú)立求條件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)5會(huì)用中心極限定理解題。例1：每次射擊中，命中目標(biāo)的炮彈數(shù)的均值為2，方差為，求在100次射擊中有180到220發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率例2：設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。6熟記(0-1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指數(shù)分布(

13、參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布的密度函數(shù)、期望和方差。數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分必須要掌握的內(nèi)容以與題型1統(tǒng)計(jì)量的判斷。對(duì)于來自總體X的樣本，由樣本構(gòu)成的各種函數(shù)是否是統(tǒng)計(jì)量。2計(jì)算樣本均值與樣本方差與樣本矩。3熟記正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理。4會(huì)求未知參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)。例：設(shè)總體的概率密度為，是來自總體的一個(gè)樣本，求未知參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量.5掌握無偏性與有效性的判斷方法。對(duì)于來自總體X的樣本，判斷估計(jì)量是否無偏，比較哪個(gè)更有效。例：設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本，下列統(tǒng)計(jì)量是不是總體均值的無偏估計(jì) 求出方差，比較哪個(gè)更有效。6會(huì)求正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。 對(duì)于正態(tài)總體，由樣本

14、結(jié)合給出條件，導(dǎo)出參數(shù)的置信區(qū)間。7理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和原理，明確正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。 對(duì)于單、雙正態(tài)總體根據(jù)給定條件，確定使用什么檢驗(yàn)方法，明確基本步驟。例：設(shè)，u和未知，(X1，Xn)為樣本，(x1,xn)為樣本觀察值。(1)試寫出檢驗(yàn)u與給定常數(shù)u0有無顯著差異的步驟；(2)試寫出檢驗(yàn)與給定常數(shù)比較是否顯著偏大的步驟。1古典概型中計(jì)算概率用到的基本的計(jì)數(shù)方法。古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a個(gè)白球，個(gè)黑球，從中接連任意取出m(ma+)個(gè)球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 分析：本例的樣本點(diǎn)就是從a+中有次序地取出m個(gè)球的不同取法；第m

15、次取出的球是白球意味著：第次是從a個(gè)白球中取出一球，再在a+-1個(gè)球中取出m-1個(gè)球。解：設(shè)B第m次取出的球是白球 樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)： 事件B包含的樣本點(diǎn)： ，則 注：本例實(shí)質(zhì)上也是抽簽問題，結(jié)論說明按上述規(guī)則抽簽，每人抽中白球的機(jī)會(huì)相等，同抽簽次序無關(guān)。例2：袋中有4個(gè)白球，5個(gè)黑球，6個(gè)紅球，從中任意取出9個(gè)球，求取出的9個(gè)球中有1 個(gè)白球、3個(gè)黑球、5個(gè)紅球的概率.解：設(shè)B取出的9個(gè)球中有1個(gè)白球、3個(gè)黑球、5個(gè)紅球 樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)： =5005 事件B包含的樣本點(diǎn)： =240，則 P(B)=120/1001=0.048占位模型例：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在N個(gè)格子中的分布問題.設(shè)有n個(gè)不同質(zhì)

16、點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以概率1/N落入N個(gè)格子(Nn)的任一個(gè)之中，求下列事件的概率：(1) A=指定n個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(2) B=任意n個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(3) C=指定的一個(gè)格子中恰有m(mn)個(gè)質(zhì)點(diǎn).解：樣本點(diǎn)為n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在N個(gè)格子中的任一種分布，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有N種不同分布，即n個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有Nn種分布。故樣本點(diǎn)總數(shù)為：Nn(1)在n個(gè)格子中放有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且每格有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，共有n!種不同放法；因此，事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)：n!，則 (2)先在N個(gè)格子中任意指定n個(gè)格子，共有種不同的方法；在n個(gè)格子中放n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且每格一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，共有n!種不同方法；因此，事件B包含的樣本點(diǎn)數(shù)： ，則(3)在指定的一

17、個(gè)格子中放m(mn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有種不同方法；余下n-m個(gè)質(zhì)點(diǎn)任意放在余下的N-1個(gè)格子中,共有種不同方法.因此，事件C包含的樣本點(diǎn)數(shù)：, 則抽數(shù)模型例：在09十個(gè)整數(shù)中任取四個(gè)，能排成一個(gè)四位偶數(shù)的概率是多少？解：考慮次序.基本事件總數(shù)為：=5040，設(shè)B=能排成一個(gè)四位偶數(shù) 。若允許千位數(shù)為0，此時(shí)千位數(shù)可在0、2、4、6、8這五個(gè)數(shù)字中任選其一，共有5種選法；其余三位數(shù)則在余下的九個(gè)數(shù)字中任選，有種選法；從而共有5=2520個(gè)。其中，千位數(shù)為0的“四位偶數(shù)”有多少個(gè)？此時(shí)個(gè)位數(shù)只能在2、4、6、8這四個(gè)數(shù)字中任選其一，有4種選法；十位數(shù)與百位數(shù)在余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)，有種選法；從而共有4

18、=224個(gè)。因此=2296/5040=0.4562概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨(dú)立性的概念與性質(zhì)。例1：事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(AB)= P(A)P(AB)=0.2，P(AB)= P(A)P(B)P(AB)=0.8例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，解：P(AB)=0.1，P(AB)=0.8，=3/7，=4/7，=2/33準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只

19、。假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。解：設(shè)事件表示“顧客買下該箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。則，。由全概率公式得 ；由貝葉斯公式 。4(1)例：隨機(jī)變量的分布律為.1234k2k3k4k確定參數(shù)k求概率P(0<X<3)，P(1<X<3)求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的分布律與期望解：由 ，有 k2 k3 k4 k =1 得 k

20、=0.1P(0<X<3)= P(X=1)P(X=2)=0.3，P(1<X<3)= P(X=2)=0.2=3，=10，D(X)=1Y014P0.30.60.1=1(2)例：已知隨機(jī)變量的概率密度為，確定參數(shù)k求概率P(1<X<3)求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的密度函數(shù)與期望解：由 =1，有 =1，得 k=3/8P(1<X<3)=7/8.=3/2，=12/5D(X)=3/20(3)例：已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13

21、求概率P(X<Y)， P(X=Y)求邊緣分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求條件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律解：P(X<Y)=0.7， P(X=Y)=0.2 X的分布律X012p0.50.20.3Y的分布律Y0123p0.10.20.30.4X的條件分布律X|Y=2012p1/21/61/3Y的條件分布律Y|X=10123p0.150.250.250.35=0.8，=1.4，D(X)=0.76=2，=5，D(Y)=1=1.64，cov(X,Y)=0.04=0.046 相關(guān)Z=XY的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13W=maxX，Y的分布律W0123p0.050.180.370.4V=minX，Y的分布律V012p0.550.220.23(4)例：已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為，確定常數(shù)的值；求概率P(X<Y)求邊緣密度，判斷是否相互獨(dú)立求條件密度，求期望E(X)，E