大學(xué)力學(xué)振動(dòng)

1、9.2.1 一剛體可繞水平軸擺動(dòng).已知?jiǎng)傮w質(zhì)量為m，其重心C和軸O間的距離為h，剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.問剛體圍繞平衡位置的微小擺動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？如果是，求固有頻率，不計(jì)一切阻力.解 剛體受力如圖所示，規(guī)定逆時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)正方向，為與鉛垂線（為平衡位置）的夾角，由對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理；因很小故9.2.2 輕彈簧與物體的連接如圖所示，物體質(zhì)量為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為和，支承面是理想光滑面，求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率. 解 以物體m為隔離體,水平方向受的彈性力以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平向右為x軸正方向。設(shè)m處于點(diǎn)對(duì)兩彈簧的伸長(zhǎng)量為0，即兩個(gè)彈簧都處于原長(zhǎng)狀態(tài)。m發(fā)生一小位移x之后，彈簧的伸長(zhǎng)量為x，彈

2、簧被壓縮長(zhǎng)也為x。故物體受力為： （線性恢復(fù)力）m相當(dāng)于受到剛度系數(shù)為的單一彈簧的作用由牛頓第二定律：9.2.3一垂直懸掛的彈簧振子，振子質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為.若在振子和彈簧之間串聯(lián)另一彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一半.串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù)應(yīng)是的多少倍？解 未串時(shí)：平衡位置 串聯(lián)另一剛度系數(shù)為的彈簧：此時(shí)彈簧組的勁度系數(shù)為已知：解得：9.2.4單擺周期的研究.（1）單擺懸掛于以加速度a沿水平方向直線行駛的車廂內(nèi).（2）單擺懸掛于以加速度a上升的電梯內(nèi).（3）單擺懸掛于以加速度a(<g)下降的電梯內(nèi).求此三種情況下單擺的周期.擺長(zhǎng)為.解 （1）以車為參照系，擺錘為隔離體，受重力，擺線張力

3、，慣性力。平衡位置處有：由此可得平衡位置時(shí)擺線鉛直夾角 (1)由平衡位置發(fā)生小角位移由牛頓第二定律:在切線方向的分量式即 角很小,故.于是得:利用(1)式,則 即 因?yàn)樗?2)以電梯為參照系,慣性力與重力沿鉛垂方向,同于的分析擺線為鉛垂位置時(shí)為平衡態(tài).(3) 同(2)的分析得:9.2.5在通常溫度下，固體內(nèi)原子振動(dòng)的頻率數(shù)量級(jí)為.設(shè)想各原子之間彼此以彈簧連結(jié).一摩爾銀的質(zhì)量為108g且包含個(gè)原子.現(xiàn)僅考慮一列原子，且假設(shè)只有一個(gè)原子以上述頻率振動(dòng)，其它原子皆處于靜止，計(jì)算一根彈簧的勁度系數(shù).解 由9.2.2知這里 9.2.6一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為，物體質(zhì)量為20g現(xiàn)將彈簧自平衡位置拉長(zhǎng)

4、并給物體一遠(yuǎn)離平衡位置的速度，其大小為7.0m/s，求該振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(SI).解 以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O-x,水平向右為正方向。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程為:故時(shí)，時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程：9.2.7質(zhì)量為的物體懸掛在勁度系數(shù)為的彈簧下面.（1）求其振動(dòng)的周期.（2）在時(shí)，物體距平衡位置的位移為，速度為，求其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.解 以平衡位置為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-x，豎直向下為正方向。（1）（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為：即 故 所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：9.2.8（1）一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，若計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前0.5s，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何表示？欲使其初相為零，計(jì)時(shí)起點(diǎn)應(yīng)提前或推遲若干？ （2）一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為.若計(jì)時(shí)

5、起點(diǎn)推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計(jì)時(shí)起點(diǎn)？ （3）畫出上面兩種簡(jiǎn)諧振動(dòng)在計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變前后時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量的位置.解 （1） （1）計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前0.5，則，代入（1）式，運(yùn)動(dòng)方程為： 設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前秒，可使初相為零，即，代入（1）式得：有 即提前秒時(shí)計(jì)時(shí)可使其初相為零。（2） （2） 計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前秒時(shí)代入若計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲一秒，則，此時(shí)初相為若要 ，需即推遲秒計(jì)時(shí)時(shí)，可使初相為零。（3） 見圖a,b    (a)(b)9.2.9 畫出某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 （SI制）解 （制）令 則有為周期引的余弦曲線。畫出 曲線，再根據(jù)的關(guān)

6、系。將軸右移周期。9.2.10半徑為R的薄圓環(huán)靜止于刀口O上，令其在自身平面內(nèi)作微小擺動(dòng).（1）求其振動(dòng)的周期.（2）求與其振動(dòng)周期相等的單擺的長(zhǎng)度.（3）將圓環(huán)去掉而刀口支于剩余圓弧的中央，求其周期與整圓環(huán)擺動(dòng)周期之比.解 （1）該裝置為物理擺，利用9.2.1對(duì)一般剛體得到的公式為薄圓球質(zhì)量。 根據(jù)平行軸定理：（2）根據(jù)單擺公式由 可得 （3）該裝置為物理擺，仍利用公式由對(duì)稱性可知，質(zhì)心位于上。為剩余圓弧的質(zhì)量，。根據(jù)平衡軸定理。故即可知不管圓環(huán)去掉多少，只要刀口高于剩余圓弧中央，其振動(dòng)周期均不變。9.2.11 1m長(zhǎng)的桿繞過其一端的水平軸作微小擺動(dòng)而成為物理擺.另一線度極小的物體與桿的質(zhì)量

7、相等.固定于桿上離轉(zhuǎn)軸為h的地方.用表示未加小物體時(shí)桿子的周期，用表示加上小物體以后的周期.（1）求當(dāng)和時(shí)的比值.（2）是否存在某一h值，可令，若有可能，求出h值并解釋為什么h取此值時(shí)周期不變.解 （1）利用9.2.1得到的物理擺公式設(shè)為桿質(zhì)量，為桿長(zhǎng)，未加小物體時(shí)，加小物體后， （2）由，即可得：討論：由，此物理擺的等效單擺長(zhǎng)度為。在處加另一物體，相當(dāng)于使等效單擺的擺錘質(zhì)量增加而擺長(zhǎng)不變，故周期不變。，即小物體置于轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)影響。故周期不變。9.2.12天花板下以0.9m長(zhǎng)的輕線懸掛一個(gè)質(zhì)量為0.9kg的小球.最初小球靜止，后另有一質(zhì)量為0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度

8、與它發(fā)生完全非彈性碰撞。求兩小球碰撞后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.解 以小球?yàn)槲矬w系。碰撞前后的過程始末，在過程中認(rèn)為仍在原小球靜止處。水平方向動(dòng)量守恒： 碰撞后成為一個(gè)單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)方程為 以碰后小球獲得速度0.1(m/s)，而時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即由，故運(yùn)動(dòng)方程在很小的條件下，所以用線量描述的運(yùn)動(dòng)方程為。9.2.13 求第四章習(xí)題4.6.5題中鉛塊落入框架后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.解 以物體為隔離體，根據(jù)自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：落至盤上的速度為在以框架，物體為物體系。完全非彈性碰撞前后為過程始末，因外力（彈簧彈性力，重力）內(nèi)力，故可用動(dòng)量守恒定律求近似解：設(shè)彈簧自由伸展的位置為a，掛框架后平衡位置為b,碰后平

9、衡位置為O，O即為坐標(biāo)系O-x之原點(diǎn).依題意因碰撞后系統(tǒng)為一數(shù)值懸掛的彈簧振子，舍棄運(yùn)動(dòng)方程為以碰撞之后，的共同速度運(yùn)動(dòng)，而處于b處時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即：由運(yùn)動(dòng)方程為：可選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)起點(diǎn)使初項(xiàng)為零，則運(yùn)動(dòng)方程可表示為9.2.14 第四章習(xí)題4.6.5題中的框架若與一個(gè)由框架下方沿鉛垂方向飛來(lái)的小球發(fā)生完全彈性碰撞，碰后框架的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是怎樣的？已知小球20g，碰框架前的速度為10m/s.解 以框架，小球?yàn)槲矬w系。以框架平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O-x，豎直向下為正方向：以完全彈性碰撞前后為過程始末，設(shè)小球的碰撞前速度為，小球框架碰后速度為，因外力內(nèi)力，故可用動(dòng)量守恒定律近似求解。又因碰撞為完全彈性

10、碰撞，碰撞前后總動(dòng)能相等?？梢郧蟮茫涸谝豢蚣転楦綦x體。碰撞之后平衡位置不變，仍未O點(diǎn)。系統(tǒng)為一豎直懸掛的彈簧振子，設(shè)其運(yùn)動(dòng)方程為：以碰撞后，框架獲得速度，而處于O點(diǎn)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即：根據(jù)題意，彈簧剛性系數(shù)故由知所以運(yùn)動(dòng)方程為9.2.15 質(zhì)量為m的物體自傾角為的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止而滑下，滑行了遠(yuǎn)后與一質(zhì)量為的物體發(fā)生完全非彈性碰撞.與勁度系數(shù)為k的彈簧相連.碰撞前靜止于斜面上，如圖所示.問兩物體碰撞后作何種運(yùn)動(dòng)，并解出其運(yùn)動(dòng)方程.已知.解 a為彈簧自由伸展位置,b為加后平衡位置，O為發(fā)生完全非彈性碰撞后的平衡位置，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O-x如圖：故以物體m為隔離體，物體m由斜面頂滑下，做勻加

11、速運(yùn)動(dòng)滑行遠(yuǎn)后速度為再以為物體系。以完全非彈性碰撞前后為過程始末，且近似認(rèn)為碰撞過程中位置不變。當(dāng)發(fā)生完全非彈性碰撞之后，沿ox方向的動(dòng)力學(xué)方程為受線性恢復(fù)力，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。根據(jù)定義的運(yùn)動(dòng)方程為若以碰撞后彈簧壓縮最甚時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，設(shè)此時(shí)坐標(biāo)為則現(xiàn)在求。以彈簧自由伸長(zhǎng)位置a為重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能零點(diǎn)。在由碰撞后到達(dá)壓縮最甚的過程中機(jī)械能守恒，有代數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程9.3.1 1851年佛科做證明地球自轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)，擺長(zhǎng)69m，下懸重球28kg.設(shè)其振幅為，求其周期和振動(dòng)的總能量，重球最低處勢(shì)能為零.解 根據(jù)單擺周期公式以懸線鉛直時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)，則振動(dòng)的總能量即等于擺錘在最高點(diǎn)時(shí)的勢(shì)能9.3.2 彈簧下面懸掛質(zhì)量

12、為50g的物體，物體沿豎直方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)（單位時(shí)間：s，長(zhǎng)度單位：cm）. （1）求彈簧的勁度系數(shù)，（2）求最大動(dòng)能，（3）總能量. 解 （1）根據(jù)彈簧振子（2）由則速度最大值故最大動(dòng)能（3）總能即等于最大動(dòng)能或9.3.3 若單擺的振幅為，試證明懸線所受最大拉力等于.解 設(shè)擺錘質(zhì)量為m,擺長(zhǎng)為，為最大擺角。以擺錘為隔離體。受重力，張力單擺的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)擺角為時(shí)，沿法向方向的動(dòng)力學(xué)方程為 單擺很小，故則 而 故 又 又由 機(jī)械能守恒 故 9.4.1 在電子示波器中，由于互相垂直的電場(chǎng)的作用，使電子在熒光屏上的位移為 求出時(shí)的軌跡方程并畫圖表示.解 由 當(dāng) 當(dāng) 由垂直與水平方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成公式得令 （坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，的關(guān)系式）則上式可得：是一個(gè)長(zhǎng)半軸為，短半軸為的橢圓。當(dāng) 時(shí)，則是一個(gè)半徑為的圓。9.6.1 某阻尼振動(dòng)的振幅經(jīng)過一周期后減為原來(lái)的，問振動(dòng)頻率比振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾