第六章線性空間與線性變換

1、*第六章 線性空間與線性變換在第三章中，我們把n元有序數(shù)組叫做n維向量，討論了向量的許多性質(zhì)，并介紹過(guò)向量空間的概念.在這里，我們把這些概念推廣，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化.§ 線性空間的定義與性質(zhì)定義1 設(shè)V是一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域，如果對(duì)于任意兩個(gè)元素V，總有惟一的一個(gè)元素V與之對(duì)應(yīng)，稱為的和，記作；對(duì)于任一數(shù)kR與任一元素V，總有惟一的一個(gè)元素V與之對(duì)應(yīng)，稱為k與的積，記為k；并且這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律(對(duì)任意V;k,R)：(1) ;(2) ；(3) 在V中有一個(gè)元素0(叫做零元素)，使對(duì)任何V，都有+0；(4) 對(duì)任何V，都有V中的元素，使=0(稱為的

2、負(fù)元素)；(5) 1；(6) k()（k）；(7) (k+)k；(8) k()k+k.那么，V就稱為R上的向量空間(或線性空間)，V中的元素稱為(實(shí))向量(上面的實(shí)數(shù)域R也可為一般數(shù)域).簡(jiǎn)言之，凡滿足上面八條運(yùn)算規(guī)律的加法及數(shù)量乘法稱為線性運(yùn)算；凡定義了線性運(yùn)算的集合稱為向量空間(或線性空間).注意：向量不一定是有序數(shù)組；向量空間V對(duì)加法與數(shù)量乘法(數(shù)乘)封閉；向量空間中的運(yùn)算只要求滿足八條運(yùn)算規(guī)律，不一定是有序數(shù)組的加法及數(shù)乘運(yùn)算.例1 實(shí)數(shù)域R上次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的全體，我們記作Pxn，即Pxnanxn+a1xa0an,an-1,，a，aR.對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、多項(xiàng)式數(shù)乘構(gòu)成R上的向

3、量空間.例2 實(shí)數(shù)域R上n次多項(xiàng)式的全體，記作W，即Wanxn+an-1xn-1+a1x+aan,an-1，a，aR，且an0.W對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、多項(xiàng)式數(shù)乘不構(gòu)成R上的向量空間.因?yàn)?(anxn+an-1xn-1+axa)0W，即W對(duì)數(shù)乘不封閉.例3 全體實(shí)函數(shù)，按函數(shù)的加法、數(shù)與函數(shù)的乘法，構(gòu)成R上的線性空間.例4 n個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體Sn=x=(x1，x2，xn)x1，x2，xnR對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘k·(x1，x2，xn)(0,0,0)不構(gòu)成R上的向量空間，因?yàn)?x=0，不滿足運(yùn)算規(guī)律(5).注 （1）在例4中，對(duì)所定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算是封閉的

4、.但不滿足運(yùn)算定律（5）.這說(shuō)明，驗(yàn)證一個(gè)集合是否構(gòu)成線性空間，不能只驗(yàn)證集合對(duì)所定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算是否封閉.一般來(lái)說(shuō)，若集合中定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加法與數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，除了驗(yàn)證這兩種運(yùn)算的封閉性外，還應(yīng)仔細(xì)檢驗(yàn)是否滿足8條線性運(yùn)算規(guī)律. （2）比較例4中的與，作為集合，它們是一樣的，但由于在其中所定義的運(yùn)算不同，以至構(gòu)造向量空間而則不是向量空間.由此可見(jiàn)，線性空間集合與運(yùn)算二者的結(jié)合.一般來(lái)說(shuō)，同一集合，若定義兩種不同的線性運(yùn)算，則構(gòu)成不同的線性空間，若定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算，則不構(gòu)成線性空間，因此，線性空間中所定義的線性運(yùn)算是本質(zhì)的，而其中的向量具體是什么并不重要.例5 正

5、實(shí)數(shù)的全體，記作R，定義加法、數(shù)乘運(yùn)算為ab=ab(a,bR)，k·a=ak（kR,aR+）.驗(yàn)證R+對(duì)上述加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成R上的線性空間.證 實(shí)際上要驗(yàn)證十條.對(duì)加法封閉：對(duì)任意a,bR，有ababR；對(duì)數(shù)乘封閉：對(duì)任意kR,aR，有k·aakR；(1) ab=ab=ba=ba;(2) (ab)c(ab) c(ab)ca(bc)a (bc)；(3) R中的元素1滿足：a1a·1a(1叫做R的零元素)；(4) 對(duì)任何aR，有aaa（a1叫做a的負(fù)元素）；(5) 1·aa1a;(6) k·(·a)k·()k（）·a

6、；(7) (k+)·a= =k·a·a；(8) k·(ab)=k·(ab)=(ab)k=akbk=akbk=k·ak·b.因此，R對(duì)于上面定義的運(yùn)算構(gòu)成R上的線性空間.下面我們直接從定義來(lái)證明線性空間的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).性質(zhì)1 零元素是惟一的.假設(shè)01，02是線性空間V中的兩個(gè)零元素，即對(duì)任何V，有+01=,+02，于是特別有02+01=02,01+02=01,故01=01+02=02+01=02.性質(zhì)2 任一元素的負(fù)元素是惟一的(的負(fù)元素記作-).假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，即0，0.于是性質(zhì)3 00；（1）；k00.因?yàn)?010（1

7、+0）1，所以 00+0（）0+(0)0又因?yàn)?（1）1+（1）=1+(1)00，所以 (1) =0（1）（）（1）（1）0;而 k0=k（1）k（k）k+(-k)00.性質(zhì)4 如果k0，那么k0或者0.假設(shè)k0，那么1(·k) =(k)00.在第三章子空間的概念可推廣到一般線性空間中.定義2 R上線性空間V的一個(gè)非空子集合W如果對(duì)于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域R上的線性空間，稱W為V的線性子空間(簡(jiǎn)稱子空間).一個(gè)非空子集要滿足什么條件才構(gòu)成子空間?因?yàn)閃是V的一部分，V中運(yùn)算對(duì)W而言，規(guī)律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)顯然被滿足，因此只要W對(duì)運(yùn)算封閉且滿足規(guī)律(3)(4

8、)即可，但由線性空間的性質(zhì)3知，若W對(duì)運(yùn)算封閉，則能滿足規(guī)律(3)(4)，因此有定理1 線性空間V的非空子集W構(gòu)成V的子空間的充分必要條件是W對(duì)于V中的兩種運(yùn)算封閉.例6 在全體實(shí)函數(shù)組成的線性空間中，所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成V的一個(gè)子空間.§2 維數(shù)、基與坐標(biāo)在第三章，我們討論了n維數(shù)組向量之間的關(guān)系，介紹了一些重要概念，如線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)等，這些概念及有關(guān)性質(zhì)只涉及線性運(yùn)算，因此，對(duì)于一般的線性空間中的元素(向量)仍然適用，以后我們將直接引用這些概念和性質(zhì).基與維數(shù)的概念同樣適用于一般的線性空間.定義3 在線性空間V中，如果存在n個(gè)元素1,2,n，滿足：(1) 1,2,n

9、線性無(wú)關(guān).(2) V中任一元素都可由1,2,n線性表示，記為.那么，1,2,n就稱為線性空間V的一個(gè)基，n稱為線性空間V的維數(shù).維數(shù)為n的線性空間稱為n維線性空間，記作Vn.如果在V中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，那么V就稱為無(wú)限維的.若知1,2,n為的一個(gè)基，則對(duì)任何Vn，都有一組有序數(shù)x1, x2, xn使=x11+ x22+ xnn，并且這組數(shù)是惟一的(否則1,2,n線性相關(guān)).反之，任給一組有序數(shù)x1, x2, xn，可惟一確定Vn中元素=x11+ x22+ xnn.這樣，Vn的元素與有序數(shù)組(x1, x2, xn)之間存在著一種一一對(duì)應(yīng)，因此可用這組有序數(shù)來(lái)表示，于是我們有定義4

10、設(shè)1,2,n是線性空間Vn的一個(gè)基，對(duì)于任一元素Vn，有且僅有一組有序數(shù)x1, x2, xn使=x11+ x22+ xnn，x1, x2, xn這組有序數(shù)就稱為在基1,2,n下的坐標(biāo)，記作(x1, x2, xn).例7 在線性空間Px3中，11，2x，3x2，4x3就是Px3的一個(gè)基，Px3的維數(shù)是4，Px3中的任一多項(xiàng)式f(x)a3x3+a2x2a1xa0可寫(xiě)成 f(x)=a34a23a12a01，因此f(x)在基1，2，3，4下的坐標(biāo)為(a0，a1，a2，a3).易見(jiàn)11，21x; 32x2，4x3也是Px3的一個(gè)基，而f(x)=(a0a1)1a122a34，因此f(x)在基1，2，3，4

11、下的坐標(biāo)為(a0a1，a1，a3).取定Vn的一個(gè)基1,2,n，設(shè)Vn，x11x22xnn，y11y22ynn,于是=（x1y1）1(x2y2)2(xn+yn)n，k(kx1) 1(kx2)2(kxn) n.即的坐標(biāo)是(x1y1，x2y2，xn+yn)（x1，x2，xn）+(y1，y2，yn)，k的坐標(biāo)是(kx1，kx2，kxn)k(x1，x2，xn).總之，在線性空間Vn中取定一個(gè)基1,2,n，則Vn中的向量與n維數(shù)組向量空間Rn中的向量(x1, x2, xn)之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，即設(shè) (x1, x2, xn), (y1，y2，yn).則(1) (x1

12、，x2，xn)+( y1，y2，yn)；(2) k k(x1，x2，xn).由上面所述，我們可以說(shuō)Vn與Rn有相同的結(jié)構(gòu)，稱n與Rn同構(gòu).一般地，設(shè)V與U是R上的兩個(gè)線性空間，如果在它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)線性空間V與U同構(gòu).易見(jiàn)，同構(gòu)關(guān)系具有傳遞性，我們有定理2 R上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們的維數(shù)相等.同構(gòu)主要是保持線性運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，Vn中的線性運(yùn)算就可轉(zhuǎn)化為Rn中的線性運(yùn)算，并且Rn中凡只涉及線性運(yùn)算的性質(zhì)都適用于Vn，但Rn中超出線性運(yùn)算的性質(zhì)，在Vn中就不一定具備，如內(nèi)積.§3 基變換與坐標(biāo)變換事實(shí)上，n維線

13、性空間中，任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以取做空間的基，由例7可見(jiàn)，同一元素在不同的基下有不同的坐標(biāo)，那么，不同基與不同的坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系呢?設(shè)1,2,n及1, 2, n是線性空間Vn的兩個(gè)基，且 (6.1)(6-1) 式可表為 (6.2)(6-1)和(6-2)稱為基變換公式，矩陣C稱為由基1,2,n到基1, 2, n的過(guò)渡矩陣，由于線性無(wú)關(guān)，故C一定是可逆矩陣.定理3 設(shè)Vn中的元素在基1,2,n下的坐標(biāo)為(x1，x2，xn)，在基1, 2, n下的坐標(biāo)為，若兩個(gè)基滿足(6-2)，則有坐標(biāo)變換公式 (6-3)證 因而1,2,n線性無(wú)關(guān)，故即有關(guān)系式(6-3).例8 在例7中，我們有故這與例7

14、所得的結(jié)果是一致的.§4 線性變換定義5 設(shè)A、B是兩非空集合，如果對(duì)于A中的任一元素，按照一定的法則，總有B中的一個(gè)確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)法則稱為從集合A到集合B的映射.如果A，A到A的映射稱為A的變換.映射常用表示，A的變換常用T表示.A到B的映射使B中的與中的對(duì)應(yīng)，就記 ()或，此時(shí)，稱為在映射下的像，稱為在下的原像，的像的全體構(gòu)成的集合稱為的像集，記作 (A)，即 (A) ()A.映射的概念是函數(shù)概念的推廣.例9 設(shè)AR,BR, (x)x2是R到R的一個(gè)映射，它把x映射到x23，7是-2在下的像.定義6 設(shè)U，V是R上的兩個(gè)線性空間，是V到U上的一個(gè)映射，如果滿足(1)

15、 ，V, (+) ()+ ()；(2) kR，V， (k)=k ()，那么，就稱為V到U的線性映射.當(dāng)VU時(shí)，V到U的線性映射稱為V的線性變換.例10 在線性空間Px中，微分運(yùn)算D是一個(gè)線性變換.因 Df(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)Df(x)+Dg(x)， Dkf(x)=kf(x)kf(x)kDf(x).例11 由關(guān)系式確定xOy平面上的一個(gè)線性變換，T把任一向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角.例12 在線性空間R3中，變換()=+(1,0,0), R3.T不是R3的線性變換.因 T (0)(0)=(0,0,0)+(1,0,0)0=0·T ().線性變換具有下述性質(zhì)：(1)

16、 T (0)0,T (-)T ()；(2) 若k11k22kmm,則T k1 1k2T 2kmT m;(3) 若1,2,m線性相關(guān)，則T 1,T 2,T m也線性相關(guān).只證T(0)0，其余請(qǐng)讀者自證.因 T(0)T(0·0)0·T(0)0.(4) 線性變換T的像集T(V)是V的子空間，稱為T(mén)的像空間.證 設(shè)1，2T(V)，那么，存在1，2V使1T 1，2 2，從而 (因1，2V)； (因k1V）.因此，T(V)是V的子空間.(5) 使T0的的全體V,T 0也是V的子空間，稱為線性變換T的核，記為T(mén)-1(0).證 設(shè)1，2T -1(0),那么T 1T 20，從而，即，,即.因

17、此，是V的子空間.例13 設(shè)有n階方陣其中定義Rn中的變換T為：T(x)=Ax (xRn）,則T為Rn中的線性變換.證 設(shè)Rn，kR，有T()A()AAT()T()；T(k)A(k)kA=kT(),故T為Rn中的線性變換.設(shè)因，可見(jiàn)T的像空間是由生成的向量空間.T的核T -1(0)是齊次線性方程組Ax0的解空間.§5 線性變換的矩陣從上節(jié)例13看到，關(guān)系式T(x)Ax (xRn)簡(jiǎn)單明了地表示出Rn中的一個(gè)線性變換，我們當(dāng)然希望Rn(Vn)中任何一個(gè)線性變換都能用這樣的關(guān)系式來(lái)表示.首先，我們證明下述兩個(gè)結(jié)論.(1) 設(shè)是線性空間Vn的一個(gè)基，如果Vn的線性變換T與T在這組基上的作用

18、相同，即，那么，TT.證T與T相等的意義是它們對(duì)Vn的每個(gè)向量的作用相同，即TT，Vn.設(shè),由，有(2) 設(shè)是線性空間Vn的一個(gè)基，對(duì)于Vn任意一組向量，一定有一個(gè)線性變換T使證 設(shè),作變換T，使，容易驗(yàn)證T是Vn的線性變換，且.綜合以上兩點(diǎn)，得定理4 設(shè)是線性空間Vn的一個(gè)基，是Vn中任意n個(gè)向量，則存在惟一的線性變換T使以后，記T()().定義7 設(shè)是線性空間Vn的一個(gè)基，T是Vn的一個(gè)線性變換，基向量的像可以被基線性表出： (6.4)用矩陣來(lái)表示就是： (6.5)其中.矩陣A稱為T(mén)在基下的矩陣.因線性無(wú)關(guān)，(6.4)式中的是由T惟一確定的.可見(jiàn)A由T惟一確定.給定一個(gè)方陣A，定義變換T:

19、 (6.6)這里.易見(jiàn)T是由n階矩陣A確定的線性變換，且T在基下的矩陣是A.這樣，在Vn中取定一個(gè)基后，Vn的線性變換與n階矩陣之間，有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(根據(jù)定理4).由關(guān)系式(6.6)，與在基下的坐標(biāo)分別為例14 在Px3中，取基，求微分運(yùn)算D(線性變換)在這個(gè)基下的矩陣.解D=0=0+0+0+0，D=1=1+0+0+0，D=2x=0+2+0+0，D=3x2=0+0+3+0，所以D在這個(gè)基下的矩陣為：例15 在R3中，取基e1(1，0，0)，e2(0，1，0)，e3(0，0，1)，表示將向量投影到y(tǒng)Oz平面的線性變換，即T(xe1ye2ze3)ye2ze3.(1) 求T在基e1, e2，e3下

20、的矩陣；(2) 取基為2e1，e12 e2，e3,求T在該基下的矩陣.解 (1) Te1(e10 e20 e3)0，Te2(0 e1e20 e3)e2，Te3(0 e10 e2e3)e3，即所以在基下的矩陣為： (2) 由即由上例可見(jiàn)，同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣一般是不同的，一般地，我們有定理5 設(shè)線性空間Vn的線性變換T在兩組基 (6.7) (6.8)下的矩陣分別為A和B，從基(6.7)到基(6.8)的過(guò)渡矩陣為P，則B-1AP(此時(shí)，A與B相似).證 由假設(shè)，有()()P，P可逆；及T()()A，T()()B.于是()BT()()T（()）P()AP ()P -1P.因線性無(wú)關(guān)，所以B

21、AP.例16 在例15中基到基的過(guò)渡矩陣,T在基下矩陣為.由定理5，T在基下的矩陣為.這與例15的結(jié)論是一致的.定義8 線性變換T的像空間T(Vn)的維數(shù)，稱為T(mén)的秩；T的核T(0)的維數(shù)，稱為T(mén)的零度.顯然，若A是T在一個(gè)基下的矩陣，則T的秩就是R(A).若T的秩為r，則T的零度為nr.定義9 線性變換T在一個(gè)基下的矩陣A的特征值，稱為T(mén)的特征值.因相似矩陣的特征值相同，故線性變換T的特征值與基的選擇無(wú)關(guān).類似于矩陣，可討論線性變換的特征值與特征向量.本章小結(jié)與補(bǔ)充線性空間是線性代數(shù)的基本概念，它是對(duì)一些不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，根據(jù)其中線性的共同本質(zhì)進(jìn)行抽象而產(chǎn)生的，因而有必要認(rèn)清構(gòu)成線性空間的條件

22、：（1）線性空間中的元素，可以是以向量作為研究的對(duì)象，也可以抽象成某些集合的形式，如矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.（2）線性空間中所定義的加法與數(shù)量乘法（數(shù)乘）必須是封閉的，并且滿足8條運(yùn)算規(guī)律，缺一不可.其實(shí)質(zhì)就是元素的運(yùn)算必須在線性空間內(nèi).（3）在線性空間的表示中，線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)都是重要的概念，它們只涉及元素的加法和數(shù)乘運(yùn)算，與元素本身的屬性無(wú)直接關(guān)系，因此在第三章我們介紹的這些概念及有關(guān)性質(zhì)可在線性空間中直接引用.（4）一般說(shuō)來(lái)，線性空間都有無(wú)窮多個(gè)元素，如何把這些無(wú)窮多個(gè)元素表達(dá)出來(lái)，它們的關(guān)系如何？這是線性空間的結(jié)構(gòu)問(wèn)題.另一方面，線性空間是抽象的，如何將其元素與數(shù)發(fā)生聯(lián)系而用

23、具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示元素，從而把元素之間的運(yùn)算數(shù)量化？對(duì)線性空間的元素，運(yùn)算必須通過(guò)基與坐標(biāo)的建立，按照規(guī)定的運(yùn)算法則才實(shí)現(xiàn)數(shù)量運(yùn)算的.（5）基與維數(shù)確定后的線性空間，其基間變換，坐標(biāo)與坐標(biāo)在不同基下的變換關(guān)系就唯一確定了.設(shè)與是的兩個(gè)不同的基，且 則以每個(gè)關(guān)于基的坐標(biāo)作為列向量得到階方陣 就是由基到的過(guò)渡矩陣，它一定是可逆矩陣，因此，由基到基的過(guò)渡矩陣就是，反過(guò)來(lái)，若是的一個(gè)基，是可逆矩陣，令 ，則一定也是的一個(gè)基.線性變換是線性空間到自身的一個(gè)映射，它保持向量的線性組合與線性關(guān)系式不變，即及有線性變換把線性相關(guān)的向量組映成線性相關(guān)的向量組，即若是的一組線性相關(guān)的向量，則仍是線性相關(guān)的；但這

24、個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，線性變換可能把線性無(wú)關(guān)的向量組也映成線性相關(guān)的向量組，例如零變換就是這樣.取定了的一個(gè)基后，線性變換與階矩陣之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.求線性變換在的基下的矩陣的一般步驟是：（1）按法則，求基中每個(gè)向量在之下的像；（2）求每個(gè)像在該基下的坐標(biāo)，并將每個(gè)像的坐標(biāo)作為列向量，即可得到所求的矩陣.上述步驟可簡(jiǎn)言之：“基像用基表，坐標(biāo)寫(xiě)成列”即得線性變換在某基下的矩陣.設(shè)是線性變換在給定基下的矩陣，則對(duì)中的任一向量在基下的坐標(biāo)與像在基下的坐標(biāo)之間有如下的關(guān)系式： 線性變換在不同的基下的矩陣是相似的.因此我們?cè)谇蠼饩€性變換在的給定基下的矩陣時(shí)，可以先選取的標(biāo)準(zhǔn)基，得到在該基下的矩陣，然后通過(guò)由基到基的過(guò)渡矩陣，得到在基下的矩陣習(xí) 題 六1.檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的