微分方程期末考試卷與答案

1、 常微分方程 期末考試試卷（3）班級 學(xué)號 姓名 成績 一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。、_稱為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。、形如_的方程稱為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。、當(dāng)方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當(dāng)其實部為_時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為_。二、 計算題(每題10分,共60分) 8、9、10、若，試求方程組的解并求expAt。11、。12、求伯努利方程13、求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解。三、證明.（10分）14、階齊線性方程

2、一定存在個線性無關(guān)解。 常微分方程 期末考試試卷（4）班級 學(xué)號 姓名 成績 一、填空（每格5分，共30分）1、 形如 的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、 形如 的方程，稱為伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n 3、 如果存在常數(shù) 對于所有函數(shù)稱為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、 形如 的方程，稱為歐拉方程，這里5、 設(shè)的某一解，則它的任一解 。二、 計算題(每題10分,共40分) 6、 求方程7、 求方程的通解。8、 求方程的隱式解。 9、求方程三、證明.（30分）10、試驗證=是方程組x=x,x= ，在任何不包含原點的區(qū) 間a上的基解矩陣。11、設(shè)為方程x=Ax（A為n

3、n常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t- t)其中t為某一值. 試卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是。2、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是。3、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是，C為非奇異常數(shù)矩陣。4、函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 存在常數(shù)>0，對于所有都有使得不等式成立。5、當(dāng)時，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。6、若是的基解矩陣，則滿足的解。7、若為n階齊線性方程的個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的通解可表為，其中是任意常數(shù)。8、求=f(x,y)滿足的解等價于求積分方程y=

4、y+的解。9、如果在上 連續(xù) 且關(guān)于滿足李普希茲條件，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中 ，。二、計算題(每題10分,共50分) 10、求方程 的解。解：原式可化為 分離變量得 兩邊積分后 即故原方程的通解為 11、求方程通過點的第二次近似解。解：令 則 12、求非齊線性方程的特解。解：線性方程的特征方程，故特征根。又， 是特征單根，所以原方程有特解，將其代入原方程得， B=0 。故原方程的特解為。13、求解恰當(dāng)方程。解： ， .則 .所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 14、 求伯努利方程解：這是n=2時的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，這是線性方程，求得它的

5、通解為z=帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.三、證明.（20分）15、1)試驗證初值問題，的解為: ;2）求該微分方程組的expAt。1）證明：解得此時 k=1 2）解：由公式expAt= 得 試卷（2）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是。2、若為階齊線性方程的個解，則它們線性相關(guān)的充要條件是。3、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是，C為非奇異常數(shù)矩陣。4、函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 存在常數(shù)>0，對于所有都有使得不等式成立。5、當(dāng)時，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。6、若是的基解矩陣，則滿

6、足的解。7、若（i=1,2,n）是對應(yīng)齊線性方程的一個基本解組，為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 。8、求=f(x,y)滿足的第一次近似解的表達(dá)式為 。9、如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲條件，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中 ，。二、 計算題(每題10分,共50分) 10、求方程 的解。解：原式可化為 分離變量得 兩邊積分后 即故原方程的通解為 11、 求伯努利方程解：這是n=2時的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z=帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.12、求常系數(shù)非齊線性

7、方程的特解。解：線性方程的特征方程，故特征根。又， 是特征單根，所以原方程有特解，將其代入原方程得， B=。所以原方程的特解為。13、求解恰當(dāng)方程 。解：因為（2xydx+ xdy）+dy=0即d( xy)+dy=0也即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C。14、求方程通過點的第二次近似解。解：令 則 三、證明.（20分）15、1)試驗證初值問題，的解為: ;2）求該微分方程組的expAt。1）證明：解得此時 k=1 2）解：由公式expAt= 得。試卷3答案一、填空題、 、 、零穩(wěn)定中心二、計算題8、解：因為，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是

8、解9、線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解為10、解：解得此時 k=1 由公式expAt= 得11、解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為： p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 12、解： 13、解：由解得奇點（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因為=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點。三、 證明題14、由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。試卷（4）答案一、 填空題（每格5分）1 2、 z=34、5、二、 計算題（每題10分）6、這是n=2時的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z=帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.7、解：積分：故通解為：8、解：齊線性方程的特征方程為，故通解為不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解為9、解 三、證明題（每題15分）10、證明：令的第一列為(t)= ,這時(t)= (t)故(t)是一個解。同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)= (t)這樣(t)