函數(shù)的單調(diào)性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上都江堰校區(qū) （數(shù)學(xué)） 輔導(dǎo)講義任課教師: 岳老師 Tel:課題函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)盤查一函數(shù)的單調(diào)性1判斷正誤(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性()(2)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(3)>f(3)()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩個(gè)自變量”改為“存在兩個(gè)自變量”()(4)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(5)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)()2(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)yx22x(x2,4)的增區(qū)間為_3若函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_基礎(chǔ)盤查二函數(shù)的最值4判斷正誤(

2、1)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值()(2)函數(shù)y在1,3上的最小值為()5(人教A版教材例題改編)已知函數(shù)f(x)(x2,6)，則函數(shù)的最大值為_【答案】1(1)× (2) (3)× (4)× (5)×；22,4；3；4(1)× (2)；52必備知識(shí)1：?jiǎn)握{(diào)性的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果對(duì)于任意x1，x2D，且x1<x2，則有：(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)>f(x2)設(shè)x1，x2a，b，如果>0，則f(x)在a，b上是單調(diào)遞增函數(shù)，如果&

3、lt;0，則f(x)在a，b上是單調(diào)遞減函數(shù)必備知識(shí)2：確定單調(diào)性的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再取值作差變形確定符號(hào)下結(jié)論(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間典題例析【例1】下列四個(gè)函數(shù)中，在(0，)上為增函數(shù)的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|【解析】選C當(dāng)x>0時(shí)，f(x)3x為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)x23x為減函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)x23x為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x

4、)|x|為減函數(shù)故選C.【例2】判斷函數(shù)g(x)在(1，)上的單調(diào)性【解】任取x1，x2(1，)，且x1<x2，則g(x1)g(x2)，因?yàn)?<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函數(shù)必備知識(shí)2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致典題例析【例3】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|； (3)yx22|x|1.【解】(1)f(x)3|x|圖象如圖所示f(x)在(，0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)(2)令g(x)x2

5、2x3(x1)24.先作出g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到f(x)|x22x3|的圖象，如圖所示由圖象易得：函數(shù)的遞增區(qū)間是3，1，1，)；函數(shù)的遞減區(qū)間是(，3，1,1(3)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)【例4】求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間【解】令ux2x6，y可以看作有y與ux2x6的復(fù)合函數(shù)由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)，而y在(0，)上是增函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間為(，3，單調(diào)增區(qū)間為2，)必備知識(shí)3復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常

6、用結(jié)論：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減，則函數(shù)yf(x)，xa，c在xb處有最大值f(b)；如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增，則函數(shù)yf(x)，xa，c在xb處有最小值f(b)【多角探明】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，歸納起來常見的命題角度有：(1)求函數(shù)的值域或最值；(2)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大?。?3)解函數(shù)不等式；(4)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值.角度一：求函數(shù)的值域或最值【例5】函數(shù)f(x)的最大值為_【解析】當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，易知函數(shù)f(x)x22在

7、x0處取得最大值，為f(0)2. 故函數(shù)f(x)的最大值為2.角度二：比較函數(shù)值或自變量的大小【例6】設(shè)函數(shù)f(x)是(，)上的減函數(shù)，則()Af(a)>f(2a) Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a) Df(a21)<f(a)【解析】選D 由a21a2，得a21>a，又f(x)是R上的減函數(shù)，f(a21)<f(a)【例7】(2014·廣州模擬)已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，且在(1，)上單調(diào)遞增，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為 ()AcbaBbacCbcaDabc【解析】選B函數(shù)圖象關(guān)于x1對(duì)稱，aff

8、，又yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增，f(2)ff(3)，即bac.角度三：解函數(shù)不等式【例8】f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，當(dāng)f(x)f(x8)2時(shí)，x的取值范圍是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)【解析】選B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得8x9.角度四：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值【例9】已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1x2，都有<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，2)BC(，2 D【解析】選B由題意可知，函

9、數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有由此解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .類題通法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.一、選

10、擇題1下列說法中正確的有()若x1，x2I，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，則yf(x)在I上是增函數(shù)；函數(shù)yx2在R上是增函數(shù)；函數(shù)y在定義域上是增函數(shù)；y的單調(diào)區(qū)間是(，0)(0，)A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)【解析】選A 函數(shù)的單調(diào)性的定義是指定義在區(qū)間I上任意兩個(gè)值x1，x2，強(qiáng)調(diào)的是任意，從而不對(duì)；yx2在x0時(shí)是增函數(shù)，x<0時(shí)是減函數(shù)，從而yx2在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性；y在整個(gè)定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，如3<5而f(3)>f(5)；y的單調(diào)遞減區(qū)間不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意寫法2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是

11、()A1,2 B1,0C0,2 D2，)【解析】選A由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,23(2015·黑龍江牡丹江月考)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【解析】選B由題設(shè)知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，而x1為對(duì)稱軸，ffff，又<<<1，ff>f，即f>f>f.4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1

12、x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12【解析】選C由已知得當(dāng)2x1時(shí)，f(x)x2，當(dāng)1<x2時(shí)，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)f(x)的最大值為f(2)2326.5函數(shù)y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4 B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4 D沒有最大值也沒有最小值【解析】選C y|x3|x1|作出圖象可求6(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調(diào)遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的值()A可能為0 B恒大

13、于0C恒小于0 D可正可負(fù)【解析】選C由x1x2<0不妨設(shè)x1<0，x2>0. x1x2<0，x1<x2<0. 由f(x)f(x)0知f(x)為奇函數(shù)又由f(x)在(，0)上單調(diào)遞增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.故選C.二、填空題7已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若f<f(1)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_【解析】由題意知f(x)為R上的減函數(shù)且f<f(1)；則>1，即|x|<1，且x0.故1<x<1且x0.8已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范

14、圍為_【解析】函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知，函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需a1或a2，從而a(，12，)答案：(，12，)9設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_【解析】由題意知g(x)函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)10設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是_【解析】f(x)a，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)a1.答案1，)三、解答題11已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，

15、f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值【解】(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)證明：任取x1，x2(0，)，且x1>x2，則>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f

16、(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.12已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值【證明】(1)設(shè)x1>x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2.13函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.【解】(1)設(shè)x1<x2