平行四邊形綜合證明題

1、33（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果ECG45，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCG中，AGBC（BCAG），B90，ABBC=6，E是AB上一點(diǎn)，且ECG45，BE2求ECG的面積ABCDEFABCGEABCDE圖1圖2圖3G【答案】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BCCD，BCDF，BEDF，即可證得CBECDF，從而得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE連接CF由（1）知CBEC

2、DF，即可得到BCEDCF又GCE45，可得BCE+GCD45即可得到ECGGCF又CECF，GCGC，即可證得ECGFCG，即可證得結(jié)論；（3）15【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BCCD，BCDF，BEDF，即可證得CBECDF，從而得到結(jié)論； （2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE連接CF由（1）知CBECDF，即可得到BCEDCF又GCE45，可得BCE+GCD45即可得到ECGGCF又CECF，GCGC，即可證得ECGFCG，即可證得結(jié)論；（3）過(guò)C作CDAG，交AG延長(zhǎng)線于D證得四邊形ABCD 為正方形由（2）中ECGFCG，即得GEGFGEDFGDBEGD，設(shè)DGx，可得

3、AE=4，AG6x，EG=2+ x在RtAEG中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)果（1）在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDFCECF （2）如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE連接CFABCDEF圖2G由（1）知CBECDF，BCEDCF又GCE45，BCE+GCD45DCFGCDGCF45即ECGGCF又CECF，GCGC，ECGFCG =（3）如圖3，過(guò)C作CDAG，交AG延長(zhǎng)線于D在直角梯形ABCG中，B CA D E G（第23題答案圖3）AGBC，AB90，又CDA90，ABBC，四邊形ABCD 為正方形 已知ECG45由（

4、2）中ECGFCG， GEGFGEDFGDBEGD設(shè)DGx，BE=2，AB=6，AE=4，AG6x，EG=2+ x在RtAEG中，即解得：x3=15CEG的面積為15考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，勾股定理點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用34如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG。請(qǐng)?zhí)骄浚海?）線段AE與CG是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y最大？（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)

5、到AD的何位置時(shí)，BEHBAE？【答案】三角形全等；當(dāng)時(shí)，有最大值為；相似三角形的判定定理【解析】試題分析：（1）理由：正方形ABCD和正方形BEFG中 又 2分ABECBG 3分 4分（2）正方形ABCD和正方形BEFG 又ABEDEH 6分 7分 8分當(dāng)時(shí)，有最大值為 9分（3）當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，BEHBAE 10分理由： E是AD中點(diǎn) 11分又ABEDEH 12分又 14分又 BEHBAE 15分考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)和判定點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)

6、，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角35如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形？【答案】t=6(秒). t=7(秒). t=(秒)【解析】試題分析：解：（1）ADBC，當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形

7、PQCD為平行四邊形. AP=t cm,AD=24cm，PD=24t(cm), 24t=3t, t=6(秒). （2）過(guò)點(diǎn)D作DEBC于E，得矩形ABED， AD=BE=24 cm，CE=2624=2(cm)，ADBC，當(dāng)CQ=PD2CD時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形. 3t=24t22， t=7(秒). （3）ADBC，當(dāng)BQ=AP時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形. 263t= t，t=(秒).考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)與圖形點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為中考常見(jiàn)題型，經(jīng)常為壓軸題。準(zhǔn)確分析動(dòng)點(diǎn)列式是解題關(guān)鍵。36在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線 與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B圖1圖2（1）求BAO的度數(shù)；（2）如

8、圖1，P為線段AB上一點(diǎn)，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD點(diǎn)Q在AD上，連結(jié)PQ，過(guò)作射線PFPQ交x軸于點(diǎn)F，作PGx軸于點(diǎn)G求證：PFPQ ；（3）如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED若P為線段EB的中點(diǎn)，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由【答案】（1）（2）證明：在等腰直角三角形APD中，DA=DP，DPAD于D，由（1）可得，又PGx軸于G，PG = PD，即，又PQPF，在PGF和PDQ中，PGFPDQ，PF=PQ（3）756圖2DAEBOyPxH3412OPDP，OPDP 證明：延長(zhǎng)DP至H，使得PH=PD，P

9、為BE的中點(diǎn)，PB=PE，在PBH和PED中，PBHPED，BH=ED，BHED，在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，AD=BH，DEx軸，BHx軸， BHy軸，由（1）可得 OA=OB，在DAO和HBO中，DAOHBO，OD=OH，5=6，在等腰直角三角形DOH中，DP=HP，OPDP，OP=PD【解析】試題分析：（1）直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，A（6，0），B（0，6），OA=OB，在AOB中，（2）由，DA=DP，推出DPAD，再利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合圖像，以及全等三角形的判定，可以推出，PF=PQ。（3）由于PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出PBHPED，由此可以推

10、出BHED，又因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛DE中，AD=BH，所以利用全等三角形的判定定理，推出DAOHBO，同時(shí)利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD考點(diǎn)：全等三角形的判定定理點(diǎn)評(píng)：本題看似復(fù)雜，實(shí)則許多地方都用到了全等三角形的判斷，全等三角形在中考中是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)這方面的練習(xí)，做到舉一反三。37如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG。ABCDEFGN（1）連結(jié)GD，求證ADGABE；（2）連結(jié)FC，求證FCN=45；（3）請(qǐng)問(wèn)在AB邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）根據(jù)同

11、角的余角相等得DAG=BAE，再根據(jù)“SAS”證得ADGABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，首先證ABE、EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結(jié)果；（3）存在（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證DAQ、ABE、ADG三個(gè)三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證【解析】試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得DAG=BAE，再根據(jù)“SAS”證得ADGABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，首先證ABE、EHF全等，然后得AB=EH，

12、BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結(jié)果； （3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證DAQ、ABE、ADG三個(gè)三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可證得結(jié)果（1）如圖四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形DA=BA，EA=GA，BAD=EAG=90DAG=BAEADGABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為HBAE+AEB=90，F(xiàn)EH+AEB=90BAE=HEFAE=EFABEEHFAB=EH，BE=FHAB=BC=EHBE+EC=EC+CHCH=BE=FHFCN=45；

13、（3）在AB上取AQ=BE，連接QDAB=ADDAQABEABEEHFDAQABEADGGAD=ADQAG、QD平行且相等又AG、EF平行且相等QD、EF平行且相等四邊形DQEF是平行四邊形在AB邊上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，熟練掌握平面圖形的基本概念是解答本題的關(guān)鍵.38如圖，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng) （1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩點(diǎn)相遇

14、？ （2）若點(diǎn)E在線段BC上，且BE3cm，若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形？【答案】（1）8秒（2）17/3?！窘馕觥吭囶}分析：（1）利用時(shí)間=路程速度和求得；（2）分M點(diǎn)在E點(diǎn)左右兩側(cè)兩種情況討論.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：本題解題關(guān)鍵是M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)分情況討論.39如圖，等腰梯形中，ABDC，ADBC=5，DC=7，AB=13，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿ADDCCBBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（12分）求梯形的高為多少？分段考慮，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形時(shí)？在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，與重合？【答案】見(jiàn)解析【解析】試題分析: 解：高為4當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，PC與BQ不平行，故此時(shí)四邊形PQBC不可能為平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，如圖1。PC=12-2t，BQ=t，四邊形PQBC為平行四邊形，PC=BQ。12-2t=t，t=4。當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形。當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，PC與BQ不平行，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，PC與BQ不平行。設(shè)時(shí)間為，不符合題意。考點(diǎn)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)定理。點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)試題屬于難度較大的試題，主要考查考生對(duì)思維變換的把握和平行四邊形基本