平面彎曲梁的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

1、第八章 平面彎曲梁的強(qiáng)度與剛度計(jì)算§8-1 純彎曲時(shí)橫截面的正應(yīng)力一純彎曲試驗(yàn)：純彎曲：內(nèi)力只有彎矩，而無剪力的彎曲變形。剪切彎曲：既有彎矩，又有剪力的彎曲變形。為了研究梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律，取一矩形截面等直梁，在表面畫些平行于梁軸線的縱線和垂直干梁軸線的橫線。在梁的兩端施加一對(duì)位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，梁則發(fā)生彎曲。梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象：橫向線仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個(gè)角度；縱向線（包括軸線）都變成了弧線；梁橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，在壓縮區(qū)變寬了些，在拉伸區(qū)則變窄了些。根據(jù)上述現(xiàn)象，可對(duì)梁的變形提出如下假設(shè)：平面假設(shè)：梁彎曲變形時(shí)，

2、其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個(gè)微小的角度。單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。 可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也木縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸，即圖中的Z軸。梁的橫截面繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)微小角度。二梁橫截面上的正應(yīng)力分布： 圖中梁的兩個(gè)橫截面之間距離為dx，變形后中性層纖維長度仍為dx且dx=d。距中性層為y的某一縱向纖維的線應(yīng)變?yōu)椋?#160;對(duì)于一個(gè)確定的截面來說，其曲率半徑是個(gè)常數(shù)，因此上式說明同一截面處任一點(diǎn)縱向纖維的線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性層的距離成正比。

3、由單向受力假設(shè)，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，將虎克定律代入上式，得： 由上式可知，橫截面上任一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，即正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化，在中性軸處，y=0，所以正應(yīng)力也為零。 三梁的正應(yīng)力計(jì)算： 在梁的橫截面上任取一微面積dA，作用在這微面積上的微內(nèi)力為dA，在整個(gè)橫截面上有許多這樣的微內(nèi)力。微面積上的微內(nèi)力dA對(duì)z軸之矩的總和，組成了截面上的彎矩則式中稱為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，是截面圖形的幾何性質(zhì)，僅與截面形狀和尺寸有關(guān)。上式是梁純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)M及y均可用絕對(duì)值代入，至于所求點(diǎn)的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還

4、是壓應(yīng)力，可根據(jù)梁的變形情況，由纖維的伸縮來確定，即以中性軸為界，梁變形后靠凸的一側(cè)受拉應(yīng)力，靠凹的一側(cè)受壓應(yīng)力。也可根據(jù)彎矩的正負(fù)來判斷，當(dāng)彎矩為正時(shí)，中性軸以下部分受拉應(yīng)力，以上部分受壓應(yīng)力，彎矩為負(fù)時(shí)，則相反。橫截面上最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。即令則WZ稱為抗彎截面模量，也是衡量截面抗彎強(qiáng)度的一個(gè)幾何量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)。彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式是梁在純彎曲的情況下導(dǎo)出來的。對(duì)于一般的梁來說，橫截面上除彎矩外還有剪力存在，這樣的彎曲稱為剪切彎曲。在剪切彎曲時(shí)，橫截面將發(fā)生翹曲，平截面假設(shè)不再成立。但較精確的分析證明，對(duì)于跨度l與截面高度h之比 l/h>5的梁，計(jì)算

5、其正應(yīng)力所得結(jié)果誤差很小。在工程上常用的梁，其跨高比遠(yuǎn)大于5，因此，計(jì)算式可足夠精確地推廣應(yīng)用于剪切彎曲的情況。§8-2 常用截面二次矩 平行移軸公式一、常用截面二次矩：1、矩形截面：2、圓形截面與圓環(huán)形截面：圓形截面： IZd4/64 WZd3/32圓環(huán)形截面： IZ（D4d4）/64 WZd31-(d/D)4/323、型鋼的截面：查表，見附錄。二組合截面二次矩 平行移軸公式：計(jì)算彎曲正應(yīng)力時(shí)需要截面對(duì)中性軸的慣性矩，截面的中性軸又是截面的形心主軸。在截面上任一點(diǎn)K，取鄰域dA，K點(diǎn)到z軸、y軸的距離分別為y、z，定義y2dA、z2dA為微元對(duì)z軸、y軸的慣性矩，分別記作：dIz=

6、y2dA dIy=z2dA上式對(duì)整個(gè)截面積分，得截面對(duì)z軸、y軸的慣性矩：圖所示的截面形心為C，面積為A，zc軸、yc軸通過截面形心C，現(xiàn)有不通過形心的z軸、y軸分別與zc軸、yc軸平行，兩軸之間的距離分別為a、b，截面對(duì)z軸、zc軸以及對(duì)y軸、yc軸的慣性矩有以下關(guān)系：IZ=IZc+a2AIY=IYc+b2A上式稱為慣性矩的平行移軸公式，即截面對(duì)任一軸z的慣性矩等于該截面對(duì)過形心而平行于z軸的zc軸的慣性矩加上兩軸之間的距離的平方與截面面積的乘積見教材P146例題8.1。§8-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算為保證梁安全地工作，危險(xiǎn)點(diǎn)處的正應(yīng)力必須小于梁的彎曲許用應(yīng)力，這是梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

7、。對(duì)于塑性材料，其抗拉和抗壓強(qiáng)度相同，宜選用中性軸為截面對(duì)稱軸的梁，其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：對(duì)于脆性材料，其抗拉和抗壓強(qiáng)度不同，宜選用中性軸不是截面對(duì)稱軸梁，并分別對(duì)抗拉和抗壓應(yīng)力建立強(qiáng)度條件：對(duì)于中性軸不是截面的對(duì)稱梁，其最大拉應(yīng)力值與最大壓應(yīng)力值不相等。如圖所示的T形截面梁，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為：強(qiáng)度條件可解決三類強(qiáng)度計(jì)算問題： 強(qiáng)度校核：驗(yàn)算梁的強(qiáng)度是否滿足強(qiáng)度條件，判斷梁在工作時(shí)是否安全。 截面設(shè)計(jì)：根據(jù)梁的最大載荷和材料的許用應(yīng)力，確定梁截面的尺寸和形狀，或選用合適的標(biāo)準(zhǔn)型鋼。 確定許用載荷：根據(jù)梁截面的形狀和尺寸及許用應(yīng)力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關(guān)系確定梁的許

8、用載荷。注：對(duì)于非對(duì)稱截面，需按公式分別計(jì)算三類問題?！纠繄D示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應(yīng)力30MPa，許用壓應(yīng)力60MPa，截面尺寸如圖。截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強(qiáng)度。   解：1、求支座反力：FA=2.5kN FB=10.5kN畫出彎矩圖，最大正彎矩在C點(diǎn)，最大負(fù)彎矩在B點(diǎn)，即C點(diǎn)為上壓下拉，而B點(diǎn)為上拉下壓。2、求出B截面最大應(yīng)力：最大拉應(yīng)力（上邊緣）最大壓應(yīng)（下邊緣）3、求出C截面最大應(yīng)力：最大拉應(yīng)力（下邊緣）最大壓應(yīng)力（上邊緣）最大拉應(yīng)力在C點(diǎn)且Cmax=28.83MPa<=30MPa最大壓應(yīng)力在B點(diǎn)

9、且Bmax=46.13MPa<60MPa故梁強(qiáng)度足夠。見教材P147例題8.2/8.3/8.4。師生小結(jié)：1、純彎曲的定義及應(yīng)用；2、梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算；3、應(yīng)用。 §8-5 梁的彎曲變形概述梁在外載荷作用下將產(chǎn)生變形，梁不但要滿足強(qiáng)度條件，還要滿足剛度條件，即要求梁在工作時(shí)的變形不能超過一定的范圍，否則就會(huì)影響梁的正常工作。一、撓曲線方程：懸臂梁在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的外力P的作用下將發(fā)生平面彎曲，變形后梁的軸線將變?yōu)橐粭l光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲軸線，也稱彈性曲線、撓曲線。y=f(X)梁的繞曲線方程。二、撓度和轉(zhuǎn)角：梁上任一截面C，變形后其形心在C/處，C截面的形心產(chǎn)生線

10、位移CC/。CC/既有水平分量，也有垂直分量，而水平分量很小，只討論垂直分量C/C/。截面形心位移的垂直分量稱該截面的撓度，用y表示。C截面不但產(chǎn)生線位移，還產(chǎn)生了角位移，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生了角位移，此角位移稱轉(zhuǎn)角，用表示。撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)作如下規(guī)定：撓度與y軸正方向同向?yàn)檎?，反之為?fù)；截面轉(zhuǎn)角以逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。只要知道梁的撓曲軸線方程y=f(x)，就可求出撓度和轉(zhuǎn)角。§8-6 用疊加法求梁的變形一、撓曲軸線近似微分方程：梁任一截面的曲率： (1)曲線y=f(x)的曲率： (2)代入（1）式得： (3)式（3）稱梁的撓曲軸線微分方程。由于y/很小，y/2更小，可忽

11、略。方程的正負(fù)號(hào)與彎矩M的正負(fù)號(hào)的規(guī)定以及撓度的正方向規(guī)定有關(guān)，規(guī)定撓度向上為正。彎矩M與曲線的二階導(dǎo)數(shù)y/的正負(fù)號(hào)關(guān)系為：1）梁的撓曲軸線是一下凸曲線，梁的下側(cè)纖維受拉，彎矩M>0，曲線的二階導(dǎo)數(shù)y/>0；2）梁的撓曲軸線是一上凸曲線，梁的上側(cè)纖維受拉，彎矩M<0，曲線的二階導(dǎo)數(shù)y/<0。由此可知，這兩種情況下彎矩與曲線的二階導(dǎo)數(shù)均同號(hào)，上式應(yīng)取正號(hào)，即：注：書本P153表8.1給出了梁在簡單載荷下的撓曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角和最大撓度。二、用疊加法求梁的變形： 小變形時(shí)梁彎曲撓度的二階導(dǎo)數(shù)與彎矩成正比，而彎矩是載荷的線性函數(shù)，所以梁的撓度與轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)，可以使用

12、疊加法計(jì)算梁的轉(zhuǎn)角和撓度，即梁在幾個(gè)載荷同時(shí)作用下產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加和，這就是計(jì)算梁彎曲變形的疊加原理。舉例：外伸梁在外伸段作用有均布載荷q，梁的抗彎剛度為EI，求C截面的撓度。解：把外伸梁段上的均布載荷向B截面簡化，得集中力qa，力偶qa2/2，將使B截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角B，BC段的實(shí)際變形等于固定端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角B的懸臂梁。C截面的撓度由以下兩部分構(gòu)成：懸臂梁由于B截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角引起的撓度yC1和懸臂梁在載荷下產(chǎn)生的撓度yC2。首先計(jì)算B截面轉(zhuǎn)角B：三、梁的剛度條件：梁除了要滿足強(qiáng)度條件外，還要滿足剛度條件，即工作中的梁的撓度和轉(zhuǎn)角不能太大。設(shè)梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角

13、分別為ymax和max，而y和分別為撓度和轉(zhuǎn)角的許用值，則梁的剛度條件為：ymaxymax舉例：簡支梁選用32a工字鋼，P=20KN，l=8.86m，E=210Gpa，梁的許用撓度f=l/500，試校核梁的剛度。解：查表得：IZ=11100cm4。查表得梁的跨中撓度為：，；因?yàn)閥<f，所以梁滿足剛度條件。見教材P155例題8.6。§8-7 提高梁的強(qiáng)度和剛度的措施1、合理安排梁的支承：均布載荷作用在簡支梁上時(shí)，最大彎矩與跨度的平方成正比，如能減少梁的跨度，將會(huì)降低梁的最大彎矩。舉例：2、合理地布置載荷：（P158圖8.20）使梁上載荷分散布置，可以降低最大彎矩。舉例：3、選擇梁的合理截面：根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積比值Wz/A選擇截面：抗彎截面系數(shù)越大，梁能承受載荷越大；橫截面積越小，梁使用的材料越少。同時(shí)考慮梁的安全性與經(jīng)濟(jì)性，可知Wz/A值越大，梁截面越合理。以下比較具有同樣高度h的矩形、圓形和工字形（槽形）截面的Wz/A值：高為h、寬為b的矩形截面：直徑為h的圓形截面：。高為h的工字形與槽形截面：?？梢娺@三種截面的合理順序是：1）工字形與槽形截面；2）矩形截面；3）圓形截面。截面形狀的合理性，可以從梁截面彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律說明，梁截面的彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化，截面邊緣處的正應(yīng)力最大，中性軸處的正應(yīng)力值為零，