平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1、【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)和運(yùn)算率，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運(yùn)用。2、平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，向量垂直的充要條件。利用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。 三、知識(shí)要點(diǎn)（一）主要知識(shí)：（1）平面向量的數(shù)量積的定義1）向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，過O點(diǎn)作，則AOB=（0°180°）叫做向量的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量同方向時(shí)，=0°，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時(shí)，=180°，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。2）垂直；

2、如果的夾角為90°則稱垂直，記作。3）的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則叫做的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=規(guī)定=0    非零向量當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=90°，這時(shí)=0。4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（2）平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個(gè)非零向量，是單位向量，于是有：當(dāng)同向時(shí)，；當(dāng)反向時(shí)，特別地，。（3）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0但是乘法公式成立：；等等。（4）平面向量數(shù)

3、量積的坐標(biāo)表示1）若=（）,=（）則=2）若=（x,y）,則|=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,則4）若=（）,=（）則（）5）若=（）,=（）則 （二）主要方法：1、注意向量夾角的概念和兩向量夾角的范圍； 2、垂直的充要條件的應(yīng)用；3、當(dāng)角為銳角或鈍角，求參數(shù)的范圍時(shí)注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性；4、距離，角和垂直可以轉(zhuǎn)化到向量的數(shù)量積問題上來解決 5、特別提示：數(shù)量積不滿足結(jié)合律。 【典型例題】例1、已知兩單位向量與的夾角為120°，若，試求與的夾角。解：由題意，且與的夾角為120°，所以，同理可得  而，設(shè)為與的夾角，則   

4、;例2、已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。點(diǎn)評(píng)：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的基本運(yùn)算。 例3、已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1）（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：。 例4、三角形ABC中，A（5，1）、B（1，7）、C（1，2），求：（1）BC邊上的中線AM的長；（2）CAB的平分線AD的長；（3）cosABC的值解：（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為=D點(diǎn)分的比為2xD=（3）ABC是與的夾角，而=（6，8），=（2，5） 例5、已知向量，（1）當(dāng)，且時(shí)，求的值； （2）當(dāng)，且時(shí)，求的值解：（1）當(dāng)時(shí)， ，

5、 由，   得，  上式兩邊平方得，因此，  （2）當(dāng)時(shí)，由得即   ，    或 命題意圖與思路點(diǎn)撥：本題考查三角函數(shù)與平面向量的綜合運(yùn)用，理解平面向量的平行和垂直關(guān)系，并合理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)變形求值問題。本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法1、解決關(guān)于向量的問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想2、要體會(huì)思路的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，

6、總結(jié)解題規(guī)律。搞好解題后的反思，從而提高綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力。3、通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生體會(huì)用平面向量解決平面幾何問題的兩種方法向量法和坐標(biāo)法。 【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題1. 設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是（1，0），（0，2），（4，3），（3，1），則四邊形ABCD為（    ）A. 正方形                    B.

7、 矩形            C. 菱形               D. 平行四邊形2. 已知ABC中，=，=，·<0，SABC=,|=3,| |=5,則與的夾角是（    ）A. 30°           &

8、#160;            B. 150°           C. 150°              D. 30°或150°3. 設(shè)a，b是非零向量，則使a·b=成立的一個(gè)必要非充分條件是（）A.   

9、;                   B.              C.              D. *4. 已知P是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足0，記、的面積依次為、，則：等于（

10、60;     ）A. 1：2：3                B. 1：4：9          C. ：1  D. 3：1：25. 已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）A.             

11、; B.             C.            D. *6. 將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）A.                      

12、60;            B. C.                                  D.  二、填空題*7. 已知，與的夾角為，則使向量

13、與的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)的取值范圍是_8. 三角形ABC中,A（5,1）,B（1,7）,C（1,2）.則角B的大小為_ 三、解答題*9. 已知：、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中=（1，2）（1）若|，且，求的坐標(biāo)；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.10、非零向量滿足，求與所成角的大小。*11、設(shè)=（1+cos，sin），=（1cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），與的夾角為1，與的夾角為2，且12=，求sin的值。 【試題答案】1. 解析：=（1，2），=（1，2），=，又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四邊形，又|=，=（5，

14、3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=（4，1），1·4+2·1=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故選D答案：D2. 解析：·3·5sin得sin=,則=30°或=150°又·0,=150°答案：C3. 提示：由a·b=可得；但，a·b=，故使a·b=成立的一個(gè)必要非充分條件是故選4. 解析：取AC、BC中點(diǎn)D、E，連接PA、PB、PC、PD、PE，由0， 即由此可知，：=3：1：2，選D5. A6. A7. 提示：由已知條件可得，且a·b=cos60°由于與的夾角是鈍角，則且·，即解得8. 解：、，9. 解：（1）設(shè)，由和可得：     或 ，或（2）  即 ，        所以                      . 1