冪級數(shù)201046

1、注意：對于級數(shù)，當(dāng)收斂時，絕對收斂.例 證絕對收斂：令，則收斂收斂故 原級數(shù)絕對收斂. §7.5 冪級數(shù)教學(xué)目的：弄清冪級數(shù)的相關(guān)概念；掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、 收斂域定義與求法；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，能靈活正確運用性質(zhì) 求冪級數(shù)的和函數(shù).重難點：掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域概念與求法；掌握冪 級數(shù)的性質(zhì)，能靈活正確運用性質(zhì)求冪級數(shù)的和函數(shù)，以及常 數(shù)項級數(shù)的和.教學(xué)方法：啟發(fā)式講授教學(xué)過程：一、函數(shù)項級數(shù)的概念1【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).2收斂域(1) 收斂點 常數(shù)項級數(shù) 收斂；(2) 發(fā)散點常數(shù)項級數(shù) 發(fā)散；(3) 收斂

2、域 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點形成的集合；(4) 發(fā)散域 的發(fā)散點的全體構(gòu)成的集合.3和函數(shù) , .4余項 , , . 注: 只有在收斂域上, 才有意義； , .二、冪級數(shù)及其收斂半徑和收斂域1【定義】形如的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù).（也稱為一般冪級數(shù)），其中 為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù).當(dāng)時, 稱為的冪級數(shù)（也稱為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)）, 其中常數(shù)（）稱為冪級數(shù)的系數(shù).結(jié)論：對于級數(shù)，作代換可以將一般冪級數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，所以我們只研究標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)斂散性的判別方法.的收斂域：此級數(shù)的全體收斂點的集合.顯然: (收斂域)，即冪級數(shù)總在點處收斂. 例如: , 均為冪級數(shù). 顯然: 的收斂域,其發(fā)散域. 且和函數(shù) .

3、此結(jié)論可當(dāng)公式使用.2.級數(shù)的收斂域把級數(shù)的各項取絕對值得正項級數(shù)，記 ，則 ；于是由比值判別法知（1）若，即，絕對收斂.(2) 若，即，發(fā)散.(3) 若，即，比值法失效，斂散另行判定.（4）若，即，此時對任意，收斂.上述分析顯示級數(shù)在一個以原點為中心，從到的區(qū)間內(nèi)絕對收斂，區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，為收斂半徑.若級數(shù)僅在點收斂，則規(guī)定，級數(shù)的收斂域為例如 級數(shù) 由于 ， 級數(shù)收斂域為 或 ；獨點集.若對任意都收斂，則，級數(shù)的收斂域為.當(dāng)時，要討論級數(shù)在處的斂散性才能確定收斂域.此時收斂域可能是下列區(qū)間之一：3.【阿貝爾定理】（補充）設(shè)的收斂域為，則（1）若且, 則對, 收斂且絕對收斂. (2

4、) 若, 則 對,有即級數(shù)發(fā)散.證明: (1) 收斂，由 收的常數(shù)）,因,從而 收斂,正項級數(shù)收斂收斂即對,收斂且絕對收斂.(2) ,假若有滿足收斂矛盾. 所以,有發(fā)散，即. 注意:(1) 若, 則 (收斂域), ； (2) 若, 則 (發(fā)散域). 4.【定理7.13】若冪級數(shù)系數(shù)滿足條件 或（為常數(shù)或），則 (1) 當(dāng)時, 則； (2) 當(dāng)時, 則. （3）當(dāng)時, 則. 常用公式: ，.例如: 冪級數(shù)的收斂半徑,時，級數(shù)發(fā)散，故其斂區(qū)與斂域均為.例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解: (1) . (2) 當(dāng)時, 級數(shù)為收斂；當(dāng)時, 級數(shù)為發(fā)散.故收斂區(qū)間（斂區(qū)）是，收斂域為（斂域）.例2（1

5、） 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解: ,故 收斂區(qū)間和收斂域均是 .（2） 求冪級數(shù)的收斂半徑.解: .練習(xí)：求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.提示：，又時級數(shù)發(fā)散.收斂域.例3 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.提示：當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時，原級數(shù)是，收斂的交錯級數(shù).所以 收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域.注意：缺項級數(shù)可以直接用比值法求收斂半徑.例4 （1） 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解：令,冪級數(shù)變形為,時級數(shù)絕對收斂，時級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時原級數(shù)為收斂，當(dāng)時，發(fā)散，故 原級數(shù)收斂半徑，收斂域為.注意：一般冪級數(shù)求收斂半徑時作變量代換.（2）求冪級數(shù)的收斂域.解：由時級數(shù)收斂，由由時級數(shù)發(fā)散. 得

6、 當(dāng)時，收斂，當(dāng)時，收斂，所以 收斂域為 .提問：（1）(02.3) 設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級數(shù)的收斂半徑為（A） (A) 5 (B) (C) (D) 答 因為,所以,（2） (90.5) 求級數(shù)的收斂域.解 令，級數(shù),由知,因此當(dāng)即時級數(shù)收斂.當(dāng)時,原級數(shù)為收斂,當(dāng)時,原級數(shù)為收斂.所以收斂域為.（3） (92.3) 級數(shù)的收斂域為.答 令 對于,由,于是收斂半徑,則,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時,原級數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域為.三、冪級數(shù)以及和函數(shù)的運算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,. 其中: 待定, 而由系列表達式

7、,確定.此處, , 但.2.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù).3.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項積分公式 ,.(積分前后的收斂半徑不變).例: , .逐項積分時在處無意義.4.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微，且在收斂區(qū)間上 , .說明：求導(dǎo)與積分前后兩級數(shù)的收斂半徑不變，但收斂域有可能改變.公式 例5 求冪級數(shù)的和函數(shù),并求.解：(1) .當(dāng)時, 級數(shù)為收斂；當(dāng)時, 級數(shù)為發(fā)散. 故原級數(shù)收斂域是.(2) 當(dāng)時, 有.于是 , 由于且冪級數(shù)在其收斂域上連續(xù), 取 代入和函數(shù)可得 .（2）求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)及級數(shù)的和.解：1），所以，當(dāng)時，發(fā)散，當(dāng)時，發(fā)散.所以 級數(shù)斂域

8、為.2）設(shè)，則為所求和函數(shù).3）令，則有 ，所以.4）令，則有 ，所以.練習(xí)：（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)：(2) (99.3) .因為,令，則有,所以答案為4.例6 (00.6) 設(shè)求的和.解 由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是 ,令,則,從而 .例7 (03.9) 求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值.解 依題意上式兩邊從0到積分,得,由得.令,求得唯一駐點,由于可見在處取得極大值,且極大值為.例8(05.9) 求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).解 設(shè),則 , 由于因此 又由于 所以 故 練習(xí):求下列級數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù):(1)解 該級數(shù)為,由,知當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時,冪級數(shù)收斂;當(dāng)時,冪級數(shù)收斂,所以原冪級數(shù)的收斂域為.設(shè),則當(dāng)時有,所以 .(2)解 該冪級數(shù)為,由,知當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散,所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè),則當(dāng)時,有.小結(jié)：1.注意收斂區(qū)間與收斂域的聯(lián)系與區(qū)別. 2.利用冪級數(shù)的性質(zhì)求冪級數(shù)的和函數(shù)時，求導(dǎo)或求積分時前后的收斂區(qū)間不變. 3.利用冪級數(shù)的和函數(shù)可以求常數(shù)項級數(shù)的和；求出和函數(shù)后， 取的特值代入和函數(shù)即得所求. 4對缺項冪級數(shù)在求收斂半徑時應(yīng)設(shè)輔助變量轉(zhuǎn)