平面解析幾何71向量和直線方程

1、第七章 平面解析幾何 在初中學(xué)習(xí)階段，你已經(jīng)學(xué)過平面幾何，也知道了坐標(biāo)的概念，并且應(yīng)用坐標(biāo)來研究了一些基本初等函數(shù)的圖象；在第五章還介紹了函數(shù)圖象的移位縮放作圖法，使你能在坐標(biāo)系中作出不少函數(shù)的圖象應(yīng)該說所有這些，主要是為反映和研究函數(shù)的性質(zhì)服務(wù)坐標(biāo)系本來是一個(gè)幾何概念，你會(huì)覺得對它的本家平面幾何反而沒有盡到服務(wù)的責(zé)任，這似乎有點(diǎn)說不過去 事實(shí)上，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，笛卡兒引入直角坐標(biāo)系后，最早也是用于研究幾何學(xué)上的一些問題本章的主要內(nèi)容，可以彌補(bǔ)你的缺憾應(yīng)用坐標(biāo)來研究平面幾何中的一些基本問題 平面幾何中所研究的主要對象是兩類，一類是直線及由線段構(gòu)成的多邊形，如三角形、平行四邊形梯形等等；另一

2、類則是曲線，如圓等這些仍然是本章所研究的主要對象；在曲線方面，范圍還會(huì)擴(kuò)充到與圓密切相關(guān)的橢圓、雙曲線、拋物線 在研究方法方面，當(dāng)然不會(huì)完全重復(fù)平面幾何中的一套，特別在直線及多邊形方面，我們將用向量的觀點(diǎn)及相關(guān)方法來考察它們的性質(zhì)和關(guān)系§7.1 向量和直線方程預(yù)備知識(shí)·平面直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)的概念重點(diǎn)·坐標(biāo)系的基底和向量的概念·向量的坐標(biāo)·各種形式的直線方程及其求法難點(diǎn)·對向量的理解·在不同條件下，以不同形式寫出直線方程學(xué)習(xí)要求·理解向量和向量坐標(biāo)的概念，會(huì)在直角坐標(biāo)系中作 出已知坐標(biāo)的向量·已知起終點(diǎn)坐標(biāo)

3、，會(huì)熟練地寫出向量的坐標(biāo)·理解向量在確定直線中的作用·熟記點(diǎn)向式、點(diǎn)斜式、斜截式直線方程，并能在不同已知條件下 應(yīng)用它們得到直線方程·掌握一般式直線方程及其與其它形式直線方程的轉(zhuǎn)化·理解用二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 幾何中除了單個(gè)的點(diǎn)或有限個(gè)點(diǎn)之外，由無限個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)的集合，最簡單的莫過于直線了，本節(jié)就從這個(gè)最簡單的集合直線講起我們要解決兩個(gè)基本問題：如何確定一條直線；確定的直線在一個(gè)坐標(biāo)系中如何表示從確定直線的原始想法出發(fā)，要引進(jìn)一種全新的量向量；為了在一個(gè)坐標(biāo)系中表示直線，還要知道向量的坐標(biāo)有了這兩者，幾乎所有有關(guān)直線的問題就都能得到解決了

4、1. 解析幾何概述 什么是解析幾何？它與平面幾何的根本區(qū)別在哪里？為什么要學(xué)習(xí)解析幾何？你在開始學(xué)習(xí)本章之前，也許已經(jīng)在考慮這些問題了 (1)什么是解析幾何 平面幾何是研究形及其數(shù)量特性的，所謂形，無非是由直線構(gòu)成的多邊形(如三角形、平行四邊形)或圓；所謂數(shù)量特性，是指線段的長度、圓或多邊形的面積等等在平面幾何中，告訴了你三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C，三角形是完全被確定了的，但你卻求不出面積來，這是因?yàn)樵谄矫鎺缀沃袑ψ罨镜膸缀卧攸c(diǎn)，沒有賦予任何數(shù)字特性，因此無法用數(shù)來表示點(diǎn)的位置，在平面上給了三點(diǎn)，除了三個(gè)黑點(diǎn)之外，什么都沒有，要你求面積，當(dāng)然是勉為其難了 若在平面上建立了坐標(biāo)系，情況就不同

5、了，說給定三點(diǎn)，就得確實(shí)給出它們的信息它們的位置，即它們的坐標(biāo)有了坐標(biāo)，你就能知道每條邊的長度，還能知道某條邊上的高(這些正是本節(jié)和下一節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容)，面積就可以求出來了點(diǎn)的位置、即點(diǎn)的坐標(biāo)是一對有序數(shù)，因此可以說，建立坐標(biāo)系后，把點(diǎn)這個(gè)幾何中最基本的元素，賦予了數(shù)字特性憑借這一點(diǎn)，繼而可以把點(diǎn)集(包括直線、曲線)數(shù)字化，這就是所謂的直線方程、曲線方程；再繼而，我們可以把它們之間的相關(guān)關(guān)系予以數(shù)字化，例如兩直線垂直有什么數(shù)字特征等；最后，我們還能用函數(shù)關(guān)系去研究它們的性質(zhì)因此可以說，把平面幾何數(shù)字化就是解析幾何，也可以說，解析幾何是研究幾何元素和幾何形的數(shù)字特征的一門學(xué)科名詞“解析”的來由，

6、是因?yàn)樵谧鴺?biāo)系下討論幾何的形，幾乎都要用方程來表示，而正如你在第五章中所看到的，方程往往是坐標(biāo)變量的解析式 (2)為什么要學(xué)習(xí)解析幾何 把幾何學(xué)數(shù)字化成為解析幾何之后，明顯帶來兩大好處 首先它能把幾何元或形之間的關(guān)系數(shù)字化，精確表示出不同幾何元和形之間的位置關(guān)系例如三點(diǎn)是否共線？在平面幾何中去驗(yàn)證是很難的，在解析幾何中只要驗(yàn)證這三點(diǎn)是否同時(shí)滿足一個(gè)直線方程；又例如過圓外一點(diǎn)，向圓引切線，在平面幾何中只能憑肉眼觀察，再作得精確，到顯微鏡下去看一看，還可能有偏差；在解析幾何中就不同了，有了坐標(biāo)，就能有圓和過已知點(diǎn)的直線的方程，要相切，根據(jù)第五章中求曲線交點(diǎn)的方法，只要聯(lián)立這兩個(gè)方程且僅有一個(gè)解就行

7、了，這樣我們可以精確地算出切點(diǎn)的坐標(biāo)，理論上來講，偏差已經(jīng)不存在了 其次，在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，大量圖形都通過計(jì)算機(jī)處理和存儲(chǔ)；然而計(jì)算機(jī)只能處理數(shù)字，因此必須把圖形數(shù)字化以計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)圖形來說，不外兩種方式一種是全息存儲(chǔ)，例如把一張彩色照片存放到計(jì)算機(jī)內(nèi)，掃描儀會(huì)把彩照劃分成極細(xì)密的格子(一般一平方英寸要分成60´60格)，在每一小格內(nèi)找一個(gè)代表點(diǎn)，把這點(diǎn)的坐標(biāo)、灰度碼、色別碼(所謂碼也是一個(gè)數(shù)字)等信息存儲(chǔ)到計(jì)算機(jī)內(nèi)要顯示這幅彩照時(shí)，只要讀出這些信息，在計(jì)算機(jī)坐標(biāo)系內(nèi)，逐點(diǎn)按坐標(biāo)、色別、灰度顯示，彩照就出來了另一種是參數(shù)存儲(chǔ)，例如要存放一個(gè)紅色虛細(xì)線描繪的三角形，只要存儲(chǔ)三個(gè)頂點(diǎn)

8、的坐標(biāo)，線型、色別碼及連線順序，計(jì)算機(jī)根據(jù)這些信息，會(huì)算出連接這三點(diǎn)的直線方程，然后在計(jì)算機(jī)坐標(biāo)系內(nèi)按要求的線型和色別，逐點(diǎn)描繪直線上的點(diǎn)，三角形就會(huì)再現(xiàn)于顯示屏上這種存儲(chǔ)方式不但信息量少，而且更加精確可見，無論用哪一種方式存儲(chǔ)，都離不開幾何的數(shù)字化，也即離不開解析幾何 2. 直線的確定和向量 現(xiàn)在讓我們從最簡單的直線講起 (1)平面上確定直線的條件 在實(shí)際生活中直線方式是經(jīng)常遇到的，實(shí)際中是如何確定一條直線的呢？如果忽略地球表面近似是球面這個(gè)因素，那么可以認(rèn)為一架飛機(jī)從上海飛到北京是按直線方式飛行的，你沒有見過在地面上，從上海到北京劃一條直線，然后要求飛行員按這條線飛行吧？實(shí)際上只要告訴飛行

9、員從上海出發(fā)，按什么方向飛行就得了，因?yàn)橐粋€(gè)起點(diǎn)，再有一個(gè)方向，飛行員就能確定一條直線方式的飛行路線說得近一些，在操場上跑100公尺，劃好直線跑道固然可以順利沿直線跑到終點(diǎn)，難道不劃線，你就不能按照直線跑到終點(diǎn)了？其實(shí)只要在終點(diǎn)豎立一個(gè)標(biāo)記，例如插一面旗，甚至站立一位裁判，你就會(huì)奮力按照直線跑向終點(diǎn)，為什么呢？因?yàn)橛辛似瘘c(diǎn)，根據(jù)終點(diǎn)標(biāo)記，你又明確了方向，你會(huì)自覺地確定一條直線方式的行進(jìn)路線這些生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)方向，就能確定一條直線路徑·圖7-1Al 這種生活經(jīng)驗(yàn)反映到幾何上，用數(shù)學(xué)語言來表述，那就是說，在平面上給定一個(gè)點(diǎn)A，一個(gè)方向(在圖上暫時(shí)用一個(gè)帶有短線段的箭頭表

10、示)，就能確定一條與指定方向平行的直線l(見圖7-1) 若在平面上建立了直角坐標(biāo)系，給定一個(gè)點(diǎn)A，就是給出了點(diǎn)A的坐標(biāo)；什么叫給定了一個(gè)方向呢？在實(shí)際生活中好說，從上海到北京的方向，誰都能明白；可是在數(shù)學(xué)上怎么來理解和表示一個(gè)給定方向？這個(gè)問題的本質(zhì)，其實(shí)就是如何把通俗所稱的方向予以數(shù)字化圖7-2ENWS30°(y)(x) (2)向量的概念 在實(shí)際中常常是以東南西北作為一個(gè)參照系統(tǒng)來指明一個(gè)方向例如說東偏北30°，你立即知道是圖7-2上所畫的那個(gè)方向坐標(biāo)軸與圖7-2上的東南西北指向很相似，只要你把x軸的正向看作東，把y軸的正向看作北，把坐標(biāo)系作為參照系，我們不是也能用x軸偏

11、y軸30° 來說明上述方向嗎？但這種說法還是比較含糊，如何將其進(jìn)一步數(shù)字化呢？圖7-4(2)xyOxyAA1x1y1圖7-4(1)xyOyAA1x1y1x圖7-3xyOxyA 如圖7- 3，在坐標(biāo)平面內(nèi)，用一個(gè)帶有箭頭的短線段來表示方向若把箭頭的始點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)的位置A就確定了，它的坐標(biāo)也就確定了，不妨設(shè)它的坐標(biāo)為(x,y)顯然，點(diǎn)A坐標(biāo)(x,y)與兩個(gè)因素有關(guān)：一個(gè)是指向；另一個(gè)是短線段的長度如圖7-4(1)，兩個(gè)長度相同的箭頭因?yàn)橹赶虿煌咽键c(diǎn)移到原點(diǎn)后，終點(diǎn)A,A1的坐標(biāo)不同；而圖7-4(2)，兩個(gè)指向相同的箭頭因?yàn)殚L度不同，把始點(diǎn)移到原點(diǎn)后，終點(diǎn)A, A1的坐標(biāo)也不同

12、這就是說，數(shù)學(xué)上所講的方向，包含了兩個(gè)因素：指向和長度 指向和長度合起來就是所謂已知方向的數(shù)字化；把箭頭的始點(diǎn)移到原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)是數(shù)字化的具體體現(xiàn) 我們希望有一個(gè)確切的名稱來同時(shí)包含指向、長度的意思這個(gè)確切的名稱就是向量即所謂向量，是一個(gè)既有指向、又有大小的量(長度就是這個(gè)量的大小)，也就是說，我們把指向、長度合起來看作為一個(gè)量向量因此，當(dāng)且僅當(dāng)指向相同且大小相等的兩個(gè)向量，才能稱為相等 在一個(gè)坐標(biāo)系中，把一個(gè)向量的始點(diǎn)移到原點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)稱為這個(gè)向量的坐標(biāo)相等的向量的坐標(biāo)也相同 有了向量的名稱，我們可以說，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)向量，就能確定一條平行于該向量的直線我們把這個(gè)向量稱為直線的方向向量 例1

13、 (1)已知一個(gè)向量與x軸的正向成150°角，長度為3，求其坐標(biāo)； (2)已知一個(gè)向量的坐標(biāo)為(-3,-1)，試以(1,1)為始點(diǎn)，作出這個(gè)向量，并求此向量的長度 解 (1)建立坐標(biāo)系；以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、x軸正向?yàn)槭歼?，?50°角，在終邊上量取長度為3的線段OA，并在點(diǎn)A處標(biāo)以箭頭(見圖7-5) 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x, y)，則 xyOA150°圖7-5 x=3×cos150°=-，y=3×sin150°=所以所求向量的坐標(biāo)為(-,) xyOA圖7-6BP (2)建立坐標(biāo)系，作出點(diǎn)A(-3,-1)；連接OA，并在點(diǎn)A處標(biāo)以箭頭，

14、得到一個(gè)與求作的向量相等的向量把它平移，使始點(diǎn)到坐標(biāo)為(1,1)的點(diǎn)P處，所得向量即為所求(見圖7-6) 向量長度=OA= 例2 若把向量的始點(diǎn)移到原點(diǎn)，終點(diǎn)總是落在以原點(diǎn)為圓心、半徑為5的圓上請問向量的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？ 解 設(shè)向量與x軸正向的角為a，則把它的始點(diǎn)移到原點(diǎn)后，其終點(diǎn)坐標(biāo)為 (5cosa, 5sina) (1)所以向量的坐標(biāo)總是具有(1)的形式，其中的a為向量與x軸正向的角 課內(nèi)練習(xí)11. (1)已知一個(gè)向量與x軸的正向成270°角，長度為4，求其坐標(biāo)； (2)已知一個(gè)向量與x軸的正向成240°角，長度為a，求其坐標(biāo)； (3)已知一個(gè)向量的坐標(biāo)為(-1,-1)，

15、試以(3,-1)為始點(diǎn)，作出這個(gè)向量，并求 此向量的長度2. (1)長度相等為a的向量，當(dāng)把始點(diǎn)移到原點(diǎn)后，其終點(diǎn)位置有何特征？ (2)指向相同而長度不同的向量，當(dāng)把始點(diǎn)移到原點(diǎn)后，其終點(diǎn)位置有何 特征？ (3)關(guān)于向量的一些說明 過去你所接觸的全是數(shù)量，即只有大小、沒有指向的量，因此向量對你來說，是一個(gè)全新的概念 向量的實(shí)際背景 首先你會(huì)覺得向量是不是搞數(shù)學(xué)的人想出來的花樣，實(shí)際生活中是否有那么一種量，它確實(shí)是向量？事實(shí)上，實(shí)際中很多的量就是既有大小、又有指向的，例如你所熟悉的速度，就應(yīng)該是一個(gè)向量，你以某個(gè)大小的速度往哪兒跑？這不有一個(gè)指向問題嗎？要沒了指向，就無法考慮具體的運(yùn)動(dòng)了，因此物

16、理學(xué)中的速度是一個(gè)向量你會(huì)反駁，過去我也處理過不少行程問題，速度從來就是數(shù)量，不也解決問題了嗎？其實(shí)在你以前考慮的行程問題中，物體的運(yùn)動(dòng)路徑(即指向)都是事先設(shè)定好了的，這樣剩下的問題僅僅是算算路程的長短和速度的大小，當(dāng)然不會(huì)涉及指向了又例如你所熟悉的作用力，也應(yīng)該是一個(gè)向量，你對舉重杠鈴施以往上的力，杠鈴會(huì)被你提起來，若施以推力，杠鈴能被提起來嗎？它只會(huì)滾動(dòng)而絕不會(huì)上升對嗎？因此只有力的大小而沒有指向，是無法確定物體在力的作用下的運(yùn)動(dòng)的但是過去我們只考慮力與運(yùn)動(dòng)方向指向一致的情況，使力的指向問題被掩蓋起來了再例如稍微抽象一點(diǎn)的點(diǎn)的位移，除了移動(dòng)多少距離(即大小)之外，也有一個(gè)移向那里(即指向

17、)的問題，例如你笑的時(shí)候，嘴角的位移應(yīng)該是往上的，如果指向錯(cuò)向下了，那豈不令人啼笑皆非？因此總體來看位移量，不得不是一個(gè)向量由此可見，向量并不是數(shù)學(xué)家憑空的想像，而有著堅(jiān)實(shí)的實(shí)際背景，離開幾何仍然有著廣泛的應(yīng)用課內(nèi)練習(xí)21. 請你舉出若干個(gè)實(shí)際生活中的向量 向量與有向線段 你不會(huì)去想數(shù)量的位置問題，而對于向量，因?yàn)榻?jīng)常提到什么始點(diǎn)、終點(diǎn)，你可能會(huì)有誤解，以為向量應(yīng)該有一個(gè)位置其實(shí)向量不過是一個(gè)量，只是這個(gè)量既有大小，還有指向；而指向與位置是沒有關(guān)系的因此向量不應(yīng)該受囿于位置反映在幾何上，在一個(gè)坐標(biāo)系中表示一個(gè)向量，只要指向、大小(即長度)相同，表示向量的箭頭畫在哪兒沒有關(guān)系，因此箭頭是可以自由

18、移動(dòng)的，所謂始點(diǎn)、終點(diǎn)只是相對于箭頭而言，相對于坐標(biāo)系來說，始點(diǎn)、終點(diǎn)可以隨便放在那里有人為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，稱向量為自由向量在物理、工程中，有著具體含義的表示力或位移等的向量，作用點(diǎn)的問題是必須考慮的，但這并不表示力或位移等的向量本身與位置有關(guān)，引起作用效果不同的僅是其作用點(diǎn)一個(gè)大小為100牛頓、垂直向上的力，就是一個(gè)向量，它沒有什么位置，不論作用在那兒都是這個(gè)力但因?yàn)樽饔命c(diǎn)不同，引起物體的運(yùn)動(dòng)會(huì)不同，如作用在舉重杠鈴的中點(diǎn)，杠鈴會(huì)被整體提升；如作用在杠鈴的一端，只有杠鈴的作用端被提升 請注意，不要把向量的幾何表示(一條帶有箭頭的短線段)與有向線段(一條有方向的短線段，記得嗎？三角函數(shù)線就是有向

19、線段)混為一談從表示的形式上來看，前者帶有箭頭，后者則沒有；從表示的意義上來看，前者既以箭頭表示了指向，又以短線段的長度表示了大小，后者則僅有正向、負(fù)向兩個(gè)方向，以表明有向線段表示的量是正還是負(fù)；從位置關(guān)系上來看，前者的位置是自由的，平移到哪里都是同一個(gè)向量，后者的位置則是不可改變的，換了一個(gè)位置就變成另一條有向線段了課內(nèi)練習(xí)31. 你乘飛機(jī)從上海到北京與坐火車從上海到北京，在地圖上，以位移的角 度來看，是否相同？為什么？ (4)向量的表示和作圖 向量常用下面兩種方法表示：第一種，用一個(gè)小寫的黑體西文字符，如a,b,m,n.；在書寫時(shí)，因?yàn)閷懞隗w不方便，就在西文字符上面加一個(gè)小的箭頭，如.如果

20、向量的坐標(biāo)已知，則把坐標(biāo)寫在它的后面，如a(1,-2), n(a,b), (,-),.；有時(shí)候也寫成a=(1,-2), n=(a,b), =(,-),.這種表示方法通常用來表示并不在意始點(diǎn)位置的向量第二種，如果我們已經(jīng)把一個(gè)向量的始點(diǎn)移到了點(diǎn)A，且此時(shí)向量的終點(diǎn)位置在點(diǎn)B，為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，把向量表示為注意在以起、終點(diǎn)表示一個(gè)向量時(shí)，不要?jiǎng)訐u你已經(jīng)建立的向量可以自由移動(dòng)的信念，說已知向量，僅表示這樣一個(gè)事實(shí)：如果把已知向量的始點(diǎn)放在點(diǎn)A，那么終點(diǎn)就在點(diǎn)B 一個(gè)向量a或的長度，用記號(hào)|a|或|來表示根據(jù)向量坐標(biāo)的含義，立即可以得到向量長度的計(jì)算公式：若a=(x,y) (或=(x,y)，則 |a|

21、(或|)= (7-1-1) 在工程物理中，有時(shí)會(huì)用到長度為0的向量，這種向量稱為零向量，記作O或零向量的指向無法確定，因此認(rèn)為它的指向是任意的 例3 設(shè)=(3,-2), =(-2,3), =(cos75°,sin75°)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)， (1)求出,的長度；(2)在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出上述向量 (1)解 根據(jù)公式(7-1-1) |=； |=； |=1 (2)分析 建立坐標(biāo)系，作出點(diǎn)A(1,1) 作出點(diǎn)B¢(3,-2)；連接O,B¢，并在B¢處標(biāo)記小箭頭，得到向量；把的始點(diǎn)移到點(diǎn)A處，標(biāo)記終點(diǎn)為B，即得向量(見圖7-7)xyO圖7-7

22、ABCDB¢-1-1-22134123475° 這樣作向量的手續(xù)比較煩瑣，我們可以把定位作圖法的思想用到這里來，改為下面的方法(見圖7-7) 解 建立坐標(biāo)系，作出點(diǎn)A(1,1) 以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立一個(gè)假想坐標(biāo)系；在這個(gè)假想坐標(biāo)系中作出點(diǎn)B(3,-2)，連接A,B，并在點(diǎn)B處標(biāo)記小箭頭，即得 在假想坐標(biāo)系中作出點(diǎn)C(-2,3)，連接A,C，并在點(diǎn)C處標(biāo)記小箭頭，即得 過A作與x軸成75°角的半直線，截取AD=1，在點(diǎn)D處標(biāo)記小箭頭，即得(想一下為什么？參見例2) 課內(nèi)練習(xí)41. 已知向量=(-1,-2), =(2,-3), =(cos45°,sin45&#

23、176;)，其中點(diǎn)A的 坐標(biāo)為(-1,1)， (1)求出, , 的長度；(2)在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出上述向量 例4 已知直線過點(diǎn)A(2,2)，方向向量n(-1,1)，試作出這條直線 解 作出坐標(biāo)系，在坐標(biāo)為(2,2)處標(biāo)注A；以原點(diǎn)為始點(diǎn)，作出向量n(-1,1)；過點(diǎn)A作n的平行線l，則l即為所求的直線(見圖7-8) xyO圖7-8An-12134123·l課內(nèi)練習(xí)51. 已知直線過點(diǎn)B(0,2)，方向向量n(-1,0)， 試作出這條直線 (5)平行向量的坐標(biāo)特征 平行向量的坐標(biāo)特征 所謂向量平行，其實(shí)是表示向量的線段平行，因此向量a,b平行也表示為a|b 零向量的指向可以任意，所以可

24、以認(rèn)為零向量和任何一個(gè)向量平行因此，在下面討論平行向量問題中，我們都撇開零向量axbylO圖7-9 若向量a|b，另作與a,b平行的直線l，當(dāng)把a(bǔ),b的始點(diǎn)都移到l上時(shí)，表示它們的有向線段必定都落在l上；反之，若表示a,b的有向線段能同時(shí)落到一條直線l上，則必定a|b因此又稱平行向量為共線向量(見圖7-9) 上述向量平行或共線的定義是一種描述性定義，那么平行向量有怎樣的數(shù)字特征呢？設(shè)a|b，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)把它們的始點(diǎn)都移到原點(diǎn)，axbyO圖7-10(1)Bx2x1A設(shè)終點(diǎn)分別為A,B 先討論簡單情況：若a,b平行于x軸，此時(shí)y1=y2=0(見圖7-10(1)，反之若y1

25、=y2=0，則a,b必定都平行于x軸，因此a|b由此首先可得 a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于x軸Ûy1=y2=0，且當(dāng)x1,x2同號(hào)時(shí)指向相同，異號(hào)時(shí)指向相反axbyO圖7-10(2)ABB1A1 類似討論又可得 a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于y軸Ûx1=x2=0，且當(dāng)y1,y2同號(hào)時(shí)指向相同，異號(hào)時(shí)指向相反 其次討論a,b與坐標(biāo)軸不平行的情況，此時(shí)A,B不在坐標(biāo)軸上因?yàn)镺A|OB，所以S DOA1A DOB1BaxbyBO圖7-10(3)AA1B1A1,B1為A,B在x軸上的垂足(見圖7-10(2)(3)，由此可得 或 ，即 (1)當(dāng)符號(hào)取

26、正，a,b指向相同；符號(hào)取負(fù)，a,b指向相反反之，從(1)逆推上述過程，易得a|b 若記l=±，則上述結(jié)論可表示為： a(x1,y1)|b(x2,y2)Û或(x2, y2)=(l×x1, l×y1) 或x2y1=y2x1 (2) 只要經(jīng)過簡單的驗(yàn)證，可知當(dāng)a,b平行且平行于x軸或a,b平行且平行于y軸時(shí)，(2)的最后二式仍然成立因此可得一般的結(jié)論： a(x1,y1)|b(x2,y2) Û (x2, y2)=(l×x1, l×y1) 或 x2y1=y2x1 (7-1-2)其中l(wèi)=±，符號(hào)取“+”，表示a,b指向相同，

27、取“-”，則指向相反 具體檢驗(yàn)兩個(gè)向量是否平行，首先看是否成立y1=y2=0或x1=x2=0，若成立，則已經(jīng)可以得到平行的結(jié)論，然后根據(jù)非零坐標(biāo)符號(hào)的異同決定指向的異同；否則，檢驗(yàn)是否成立或x2y1=y2x1 例5 檢驗(yàn)下列各組向量是否平行，若平行，它們的指向是否相同？它們的長度有何關(guān)系？ (1)a(1,-3), b(-2,6)； (2)c(1,-3), d(-2,-6)； (3)m(0,-3), n(0,6)； (4)s(p,2p), t(-p,-2p)； (5)p(sin20°,cos20°), q(-3sin200°,-3cos200°) 解 (1

28、)因?yàn)?-2，即b=-2a，所以a|b；因?yàn)?2<0，所以它們的指向相反，且b的長度是a的2倍 (2)因?yàn)椋詂,d不是平行的向量 (3)因?yàn)閤坐標(biāo)同時(shí)為0，所以n|m；因?yàn)?-2，即n=-2m，所以它們的指向相反，且n的長度是m的2倍 (4)因?yàn)?-1，即t=-s，所以t|s；因?yàn)?1<0，所以它們的指向相反，且s, t的長度相等 (5)因?yàn)?=3， =3，即q=3p，所以p|q；因?yàn)?>0，所以它們的指向相同，且q的長度是p的3倍 第(4)小題中的向量s,t有些特點(diǎn)，它們平行且長度相等，僅是指向相反具有這樣特點(diǎn)的兩個(gè)向量，稱它們是互為相反的向量其實(shí)指向相反已經(jīng)包含了平行

29、的意思，因此可以說：若兩個(gè)向量長度相等而指向相反，則稱它們是互為相反的向量相反向量相當(dāng)于數(shù)量中的相反數(shù) 數(shù)乘向量 把(7-1-2)等式右邊的l形式地移到括號(hào)外面來，則得 b=(x2, y2)=l (x1, y1)=l×a我們把這種形式運(yùn)算合法化，稱為數(shù)乘向量運(yùn)算即已知向量a和任意實(shí)數(shù)l,(l¹0)，l×a表示一個(gè)平行于a、長度為|a|的|l|倍(即|la|=|l|a|)的向量，且其指向，當(dāng)l>0時(shí)與a相同，當(dāng)l<0時(shí)與a相反 這樣一來，向量平行的條件又可表述為：向量a|b Û b=l×a 表示平行向量數(shù)字特征的(7-1-2)，也給出

30、了數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則： 若a=(x1,y1)，則l×a=(lx1,ly1),(l¹0) (7-1-3) 在上面的討論中，我們一直限制l¹0這是出于我們不考慮零向量的平行問題對數(shù)乘向量而言，l=0也無何不可，即若b=0×a，那么b=(0,0)只是此時(shí)說l×a的指向與a一致或相反顯得有些勉強(qiáng) 例6 已知a=(-4,1)，在下列條件下，求b的坐標(biāo)： (1)b=-a； (2)b=-2a； (3)b=a； (4)b是a的相反向量； (5)b是a的單位化 解 (1)b=-a=(-)´(-4), (-)´1)=(2,-) (2)b=-

31、2a=(-2)´(-4),(-2)´1)=(8,-2) (3)b=a=(´(-4), ´1)=(-4,) (4)a=-b=(4,-1) (5)說明：所謂一個(gè)向量a的單位化，是指把向量的長度化為1個(gè)單位，而指向不變，因此向量a的單位化向量是 因?yàn)?|a|=，所以 b=a=(,) 課內(nèi)練習(xí)61. 檢驗(yàn)下列各組向量是否平行，若平行，它們的指向是否相同？它們的長 度有何關(guān)系？ (1)a(-1,-3), b(-2,6)；(2)c(0.011,-3), d(0.022,-6)；(3)m(-1.5,0), n(-100,0)； (4)s(ln4,ln2), t(-ln

32、16,-ln4)；(5)u(tan15°,cot110°), v(-cot75°,tan340°)2. 已知a=(-2,-1)，在下列條件下，求b的坐標(biāo)： (1)b=-3a； (2)b=2a； (3)b=-a； (4)|b|是|a|的兩倍而指向相反； (5)b是a的單位化 (6)已知始、終點(diǎn)坐標(biāo)的向量的坐標(biāo) 已知始、終點(diǎn)的向量a的含義是：如果把a(bǔ)的始點(diǎn)移到點(diǎn)A，則它的終點(diǎn)為點(diǎn)B；或者說向量a就是向量我們的問題是，若A的坐標(biāo)(x1,y1)、B的坐標(biāo)(x2,y2)是已知的，那么a的坐標(biāo)是多少？OxyABx2y2y1x1圖7-11 如圖7-11，在點(diǎn)A處建立一

33、個(gè)假想坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)就是點(diǎn)B在假想坐標(biāo)系中的坐標(biāo)所以 =(x2-x1,y2-y1) (7-1-4)即已知起、終點(diǎn)坐標(biāo)的向量的坐標(biāo)，是終點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)地減去起點(diǎn)坐標(biāo) 因?yàn)閨=AB，所以據(jù)向量長度公式(7-1-1)，順便還能得到平面上兩點(diǎn)間距離公式：若已知A(x1,y1),B(x2,y2)，則 AB= (7-1-5) 例7 已知向量的始點(diǎn)A、終點(diǎn)B的坐標(biāo)如下，求的坐標(biāo)，并求AB： (1)A(3,1), B(2,-1)； (2)A(0,4), B(3,-2) 解 (1)=(2-3,-1-1)=(-1,-2)； AB= (2)=(3-0, -2-4)=(3,-6)； AB= 例8 (1)已知向量a的坐標(biāo)

34、為(0,-4)，若把其始點(diǎn)移到點(diǎn)A(4,4)處，其終點(diǎn)B在哪里？ (2)已知向量b的坐標(biāo)為(-7,2)，若把其終點(diǎn)移到點(diǎn)A(-6,-1)處，其始點(diǎn)B在哪里？ 解 (1)設(shè)終點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y)，則 x-4=0, y-4=-4，得x=4, y=0所以把a(bǔ)的始點(diǎn)移到點(diǎn)A處時(shí)，終點(diǎn)在點(diǎn)B(4,0)處 (2)設(shè)始點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y)，則 -6-x=-7, -1-y=2，得x=1, y=-3所以把b的終點(diǎn)移到點(diǎn)A處時(shí)，始點(diǎn)在點(diǎn)B(1,-3)處 課內(nèi)練習(xí)71. 已知向量的始點(diǎn)A、終點(diǎn)B的坐標(biāo)如下，求的坐標(biāo)，并求 AB： (1)A(8,6),B(2,1)； (2)A(-2,4),B(-2,-2)2. (

35、1)已知向量a的坐標(biāo)為(1, 4)，若把其始點(diǎn)移到點(diǎn)A(-1,-3)處，其終點(diǎn)B 在哪里？ (2)已知向量b的長度為4，與x軸正向的夾角為120°若把其終點(diǎn)移到 點(diǎn)A(-6,-1)處，其始點(diǎn)B在哪里？ (7)向量的簡單應(yīng)用 中點(diǎn)公式圖7-12xyAB·C·O· 在平面幾何中，你會(huì)用圓規(guī)直尺，得出一條線段的中點(diǎn)現(xiàn)予以數(shù)字處理，若已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1), B(x2,y2)，線段中點(diǎn)C的坐標(biāo)(x,y)是多少呢(見圖7-12)？ 以向量處理這個(gè)問題再簡單不過了視線段AB為向量，線段AC也視為向量，則這兩個(gè)向量平行且指向相同，而的長是的一半，所以=

36、 =(x2-x1,y2-y1)，=(x-x1,y-y1)=(x2-x1,y2-y1)，解出 x=(x1+x2), y=(y1+y2) (7-1-6)這就是以(x1,y1),(x2,y2)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式圖7-13xyAB·C·O·12018045°30° 例9 在某中心城市鄰近有兩個(gè)通訊中繼站，一個(gè)在東偏北30°的120km處，另一個(gè)在北偏西45°的180km處現(xiàn)欲在這兩個(gè)中繼站的中點(diǎn)加建一個(gè)中繼站，請確定加建站的位置 解 如圖7-13，設(shè)原兩個(gè)中繼站為A,B，則加建站C是AB的中點(diǎn)以中心城市為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸

37、正向，建立坐標(biāo)系 A坐標(biāo)為(x1,y1)，則 x1=120cos30°=60, y1=120sin30°=60；B的坐標(biāo)為(x2,y2)，則 x2=180cos135°=-90, y2=180sin135°=90；C坐標(biāo)為(x,y)，則由(7-1-6) x=(x1+x2)=15(2-3)»-11.68， y=(y1+y2)=15(2+3)»93.64 OC=(km) 設(shè)OC與x軸正向夾角為a，則a=180°+arctan»97°7¢ 所以加建的中繼站應(yīng)位于北偏西7°7¢的94

38、.36km處 例10 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-2,1),(-1,3),(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo) 分析 如圖7-14，因平行四邊形的兩條對角線互相平分，所以可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，先求出對角線AC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)公式求得D的坐標(biāo)圖7-14xyAB·DO···CM· 解 如圖7-14，設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)，因 A(-2,1), C(3,4)，所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ()=(,)；因B(-1,3)，所以 =, =，解之得 x=2, y=2所以D的坐標(biāo)為(2,2) 課內(nèi)練習(xí)81. 已知線段AB端點(diǎn)的坐標(biāo)如下，求其中點(diǎn)

39、坐標(biāo)： (1)A(3, 4), B(-3, 2)；(2)A(-7, -1), B(3, -6)2. 已知平行四邊形ABCD三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(-3,0),B(2,-2),C(5,2)求頂點(diǎn)D第3題附圖ENDBC60°A··· 的坐標(biāo)3. 國道經(jīng)過A村正東9km處的B村和北偏 西60°處的C村，C村距A村為11km 現(xiàn)在A村準(zhǔn)備修一條便道連通國道，連接 點(diǎn)D距B,C村等距請問D的位置？便 道要多長？4. 已知AB上的點(diǎn)C分AC:CB=1:2，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2)，求C的坐標(biāo) (x,y) 平移變換公式圖7-15xy·O&#

40、183;P0a1aa2P 在幾何中，圖形平移問題是經(jīng)常遇到的例如第五章的定位作圖法，實(shí)際上就是一個(gè)圖形平移問題，當(dāng)時(shí)為了避免重復(fù)作圖，介紹了定位法定位法能解決從函數(shù)y=f(x)的圖象得到y(tǒng)-b=f(x-a)的圖象的問題，但卻掩蓋了這兩個(gè)圖象之間的平移關(guān)系現(xiàn)在如果換一個(gè)角度提問題：y=f(x)的圖象F0，在x方向平移a個(gè)單位、y方向平移b個(gè)單位后，得到圖象F，那么新圖象F的方程是怎樣的？以你在定位作圖法所積累的經(jīng)驗(yàn)，也許能寫出方程y-b=f(x-a)，但究竟是什么道理呢？ 要解決這個(gè)問題，實(shí)際上只要解決下面的問題：若已知一個(gè)點(diǎn)P0(x0,y0),把它在x,y方向分別移動(dòng)a1,a2個(gè)單位，到達(dá)P(

41、x,y) (見圖7-15)，(x,y)與(x0,y0) 之間有怎樣的關(guān)系？若記a=(a1,a2)，那么也可以說，P0移動(dòng)向量a到達(dá)P后，平移前后的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？ =(x-x0, y-y0)因?yàn)?a，故 x-x0=a1, y-y0=a2，所以 x=x0+a1, y=y0+a2 (7-1-7) 在坐標(biāo)平面內(nèi)，把一個(gè)點(diǎn)P0移動(dòng)向量a后到達(dá)點(diǎn)P，是一個(gè)變換，稱為點(diǎn)的平移變換(7-1-7)是平移變換的坐標(biāo)變換公式 按(7-1-7)處理前面提出的問題，就十分明確了：原圖象F0的方程是y=f(x)，經(jīng)平移向量a(a,b)后，F(xiàn)0上每一點(diǎn)P0(x0,y0)變換到P(x,y)，據(jù)(7-1-7)應(yīng)有 x0=x

42、-a, y0=y-b，因?yàn)?x0,y0)滿足y0=f(x0)，因此F上每一點(diǎn)(x,y)應(yīng)滿足y-b=f(x-a)這正是你所預(yù)期的結(jié)論 例11 把已知函數(shù)y=x2+6x+11的圖象F0平移向量a=(3,-2)，得到圖象F求F的方程 解 設(shè)P(x, y)為圖象F上任意一點(diǎn)，它是由F0上點(diǎn)P0(x0,y0)經(jīng)平移后得到據(jù)平移坐標(biāo)變換公式(7-1-7) x=x0+3, y=y0-2， 即 x0=x-3, y0=y+2因?yàn)镻0在F0上，所以P0的坐標(biāo)滿足y=x2+6x+11，因此(x,y)滿足 (y+2)=(x-3)2+6(x-3)+11，即 y=x2所以F的方程為y=x2 課內(nèi)練習(xí)91. 已知點(diǎn)A平移

43、向量a后成為點(diǎn)A1請應(yīng)用平移坐標(biāo)變換公式，求下列有 關(guān)坐標(biāo)： (1)a=(-1,2), A1(4,-3)，求A；(2)A(-2,0), a=(3,-2)，求A1； (3)A(1,-3), A1(1,3)，求a2. 把函數(shù)y=sin(2x+)+1的圖象F0，平移向量a(-,-2)后成為圖象F，求 F的方程 3. 直線方程 有了向量的那么多的準(zhǔn)備，可以解決直線問題了 (1) 點(diǎn)向式直線方程圖7-16xy·OA·Pxyml 在上部分開始你已經(jīng)知道，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向向量，就能確定一條直線；你也知道了，所謂給定一個(gè)向量就是給出它的坐標(biāo)現(xiàn)設(shè)給定點(diǎn)A(x0,y0)和方向向量m(a,b)那

44、么我們討論的由A和m所確定的直線l可以在圖上畫出來(見圖7-16)，但在數(shù)學(xué)上將表示為怎樣的形式呢？ 直線方程的點(diǎn)向式 在l上任取一點(diǎn)P(x,y)，向量 =(x-x0, y-yo)；據(jù)方向向量的定義，|m；反之，若|m，則PÎl，即 PÎl Û |m；又據(jù)向量平行的充要條件， PÎl Û |m Û (1)把最后那個(gè)比式寫成 F(x,y)=0，那么就有結(jié)論 PÎl Û F(x,y)=0你回憶一下第五章關(guān)于曲線方程的內(nèi)容所謂曲線l的方程是F(x,y)=0的意思是：點(diǎn)P(x,y)Îl，則(x,y)應(yīng)滿足F(x,

45、y)=0；反之，若(x,y)滿足方程F(x,y)=0，則P(x,y)Îl.直線不過是曲線的特例，因此(1)就是直線l的方程由此得結(jié)論：過點(diǎn)A(x0,y0)、以m(a,b)為方向向量的直線方程是 (7-1-8)稱(7-1-8)為直線方程的點(diǎn)向式 例12 求下列直線l的方程： (1)過點(diǎn)B(0,-1)且以m(2,3)為方向向量； (2)過點(diǎn)A(3,-1)且平行于向量a(-1,-2)； (3)過點(diǎn)C(-1,0)且平行于點(diǎn)A(-1,-3), B(3,-2)的連線； (4)過(-1, 2)且平行于第,象限的分角線 解 (1)據(jù)直線方程的點(diǎn)向式(7-1-8)，l的方程為 ，即3x-2y-2=0

46、(2)據(jù)題意，a是方向向量應(yīng)用(7-1-8)，得l的方程為 ，即2x-y-7=0 (3)l的方向向量可取為，=(3-(-1),-2-(-3)=(4,1)，由(7-1-8)得l的方程為 ，即x-4y+1=0 (4)第,象限分角線的方向向量可取為m(1,1), l平行于,象限的分角線，因此m也是l的方向向量所以l的方程為 ，即 x - y +3=0 課內(nèi)練習(xí)101. 求下列直線l的方程： (1)過點(diǎn)C(-2,-1)且以n(-3,-1)為方向向量； (2)過點(diǎn)B(-13,10)且平行于向量p(7,-1)； (3)過點(diǎn)P(2,2)且平行于連接Q(2,-2),R(1,-3)的直線圖7-17(1)xy&#

47、183;OAmlx0y0 (4)過點(diǎn)(a,-2a)且平行于第,象限的分角線 在(7-1-8)中，我們默認(rèn)a¹0,b¹0，若a,b中有一個(gè)為0，(7-1-8)的分母將出現(xiàn)0，顯然已經(jīng)不合法了，這時(shí)的直線方程應(yīng)該是怎樣的呢？ 當(dāng)a=0，即l的方向向量為m(0,b), b¹0，這表示m是平行于y軸的，因此l是過點(diǎn)A(x0,y0)且圖7-17(2)xy·OAmlx0y0平行于y軸的直線(或與y軸重合)點(diǎn)P(x,y)ÎlÛx=x0，即l的方程是x=x0(見圖7-17(1) 同理，過A(x0,y0)、以m(a,0),a¹0為方向向量的直

48、線l是平行于x軸(或與x軸重合)的，它的方程是y=y0(見圖8-17(2) 例13 求下列直線l的方程： (1)過點(diǎn)A(3,-2)且平行于x軸； (2)過點(diǎn)B(-2,-3)且平行于y軸； (3)x軸所在的直線； (4)過點(diǎn)C(1,-3),B(100,-3)； (5)過點(diǎn)A(a,b),B(a,c)，其中b¹c 解 (1)平行于x軸的直線的方程為y=y0，因?yàn)閘過A(3,-2)，所以y0=-2故l的方程為y=-2 (2) 平行于y軸的直線的方程為x=x0，因?yàn)閘過B(-2,-3)，所以x0=-2故l的方程為x=-2 (3)x軸所在的直線，就是過原點(diǎn)O(0,0)、與x軸重合的直線，因此方程

49、是y=0 (4)l過C,B，因此可以取為方向向量 =(1-100,-3-(-3)=(-99,0)，所以l是平行于x軸的直線；又因?yàn)檫^B(100,-3)，所以l的方程是y=-3 (5)可取向量為l的方向向量，=(a-a,c-b)=(0,c-b)，所以l平行于y軸(或與y軸重合)；又因?yàn)閘過A(a,b)，所以l的方程為x=a 課內(nèi)練習(xí)111. 求下列直線l的方程： (1)過點(diǎn)A(-4,-1)且平行于x軸； (2)過點(diǎn)B(-a,-9), (aÎR)且平行于y軸； (3)y軸所在的直線； (4)過點(diǎn)C(1,-3),B(1,3)； (5)過點(diǎn)A(a,b),B(c,b)，其中a¹c 點(diǎn)

50、向式直線方程的應(yīng)用 已知一個(gè)點(diǎn)和方向向量，并非是確定一條直線的唯一方式，我們還可以有其它確定直線的方式，但在很多情況下，還是可以歸結(jié)為已知一個(gè)點(diǎn)和方向向量的方式例如兩點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2)可以確定一條直線AB，你只要認(rèn)為AB是過點(diǎn)A(或B)、以m=(或)為方向向量，立即就可以用上面的方法得出它的方程 例14 求下列直線方程 (1) l1：過點(diǎn)A(3,3),B(2,1)； (2) l2：過點(diǎn)C(0,1),D(2,0)； (3) l3：過原點(diǎn)O及D(3,-5)； (4) l4：在x,y軸上的截距為-8, 5；并求l1上對應(yīng)于橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP，對應(yīng)于縱坐標(biāo)為-3的點(diǎn)Q的橫

51、坐標(biāo)xQ 解 (1)=(2-3,1-3)=(-1,-2)，據(jù)(7-1-8)，l的方程為 ，即2x-y-3=0； 以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)4代入，得8-yP-3=0，解得yP=5，即P的坐標(biāo)為(4,5)；以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)-3代入得2xQ+3-3=0, 解得xQ=0,即Q的坐標(biāo)為(0,-3) (2)=(2-0,0-1)=(2,-1)，據(jù)(7-1-8)，l的方程為 ，即x+2y-2=0 (3)=(3,-5)，據(jù)(7-1-8)，l的方程為 ，即5x+3y=0 (4)所謂x軸上的截距，是指直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而y軸上的截距，則是指直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此題意表示l過點(diǎn)A(-8,0), B(0, 5)=(0-

52、(-8), 5-0)=(8, 5)，據(jù)(7-1-8)，l的方程為 ，即5x-8y+40=0 圖7-18xy·OAl·DCB· 例15 已知DABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,1),B(-2, 4), C(0,5)，求BC邊、BC邊上中線所在直線的方程 解 作出DABC的草圖(見圖7-18) =(2, 1)，據(jù)(7-1-8)，BC邊所在直線方程為 ，即 x-2y+10=0； 設(shè)BC邊上的中點(diǎn)為D據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式(7-1-6)，D坐標(biāo)為()=(-1,)中線為線段AD =(3, -)，AD所在直線方程為，所以中線所在直線方程為 x+3y-10=0，即7x+6y-20=0 課內(nèi)練習(xí)121. 求下列直線的方程 (1) l1：過點(diǎn)P(-3,3),Q(-2,1)； (2) l2