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1、完全平方公式的幾何背景專題訓(xùn)練試題精選一選擇題(共6小題)1(2010丹東)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為(m+n)的正方形,小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀,由圖和圖能驗(yàn)證的式子是()A(m+n)2(mn)2=4mnB(m+n)2(m2+n2)=2mnC(mn)2+2mn=m2+n2D(m+n)(mn)=m2n22利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式例如,根據(jù)圖甲,我們可以得到兩數(shù)和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是()A(a+b)(ab)=a2b2B(ab)2=a22ab+b2Ca(a+b)=a2+abDa(ab)=a2ab3如圖,你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公

2、式是()Aa2b2=(a+b)(ab)B(a+b)2=a2+2ab+b2C(ab)2=a22ab+b2Da(a+b)=a2+ab4如圖(1),是一個(gè)長(zhǎng)為2a寬為2b(ab)的矩形,用剪刀沿矩形的兩條對(duì)角軸剪開,把它分成四個(gè)全等的小矩形,然后按圖(2)拼成一個(gè)新的正方形,則中間空白部分的面積是()AabB(a+b)2C(ab)2Da2b25如圖的圖形面積由以下哪個(gè)公式表示()Aa2b2=a(ab)+b(ab)B(ab)2=a22ab+b2C(a+b)2=a2+2ab+b2Da2b2=(a+b)(ab)6如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2mx+16是一個(gè)完全平方式,那么m的值是()A8或8B8C8D無(wú)法確

3、定二填空題(共7小題)7(2014玄武區(qū)二模)如圖,在一個(gè)矩形中,有兩個(gè)面積分別為a2、b2(a0,b0)的正方形這個(gè)矩形的面積為_(用含a、b的代數(shù)式表示)8如圖,邊長(zhǎng)為(m+2)的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙),若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為2,則另一邊長(zhǎng)是_(用含m的代數(shù)式表示)9有兩個(gè)正方形A,B,現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲,將A,B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12,則正方形A,B的面積之和為_10如圖1和圖2,有多個(gè)長(zhǎng)方形和正方形的卡片,圖1是選取了2塊不同的卡片,拼成的一個(gè)圖形,借助圖中陰影部分面積的不同

4、表示可以用來(lái)驗(yàn)證等式a(a+b)=a2+ab成立根據(jù)圖2,利用面積的不同表示方法,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式_11如圖,正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為a米,中央有一個(gè)正方形的水池,水池四周有一條寬度為的環(huán)形小路,那么水池的面積用含a、b的代數(shù)式可表示為_平方米12如圖,請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式(a+b)2、(ab)2、ab之間的等量關(guān)系是_13如圖,長(zhǎng)為a,寬為b的四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形,且大正方形的面積為64,中間小正方形的面積為16,則a=_,b=_三解答題(共10小題)14閱讀學(xué)習(xí):數(shù)學(xué)中有很多等式可以用圖形的面積來(lái)表示如圖1,它表示(m+2n)(m+n)=m2+3mn+2n2,(1)觀察圖2,請(qǐng)你寫出(a+

5、b)2,(ab)2,ab之間的關(guān)系_(2)小明用8個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形,(長(zhǎng)為a,寬為b),拼成了如圖甲乙兩種圖案,圖案甲是一個(gè)正方形,圖案甲中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形;圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形a24ab+4b2=_ ab=_15【學(xué)習(xí)回顧】我們已經(jīng)知道,根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說(shuō)明完全平方公式,說(shuō)明如下:如圖1,正方形ABCD的面積=正方形EBNH的面積+(長(zhǎng)方形AEHM的面積+長(zhǎng)方形HNCF的面積)+正方形MHFD的面積即:(a+b)2=a2+2ab+b2【思考問(wèn)題】還有一些等式也可以用上述方式加以說(shuō)明,請(qǐng)你嘗試完成如圖2,長(zhǎng)方形ABNM的面積=長(zhǎng)方形EBCF的面積+長(zhǎng)方形AEFD的面積長(zhǎng)方形

6、HNCF的面積_的面積,即:(2ab)(a+b)=_【嘗試實(shí)踐】計(jì)算(2a+b)(a+b)=_仿照上述方法,畫圖并說(shuō)明16閱讀下列文字,我們知道對(duì)于一個(gè)圖形,通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積,可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式,例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2請(qǐng)解答下列問(wèn)題:(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式_;(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;(3)圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片若干個(gè)長(zhǎng)為a和寬為b的長(zhǎng)方形紙片,利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形,使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式:2a

7、2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)17如圖1,將一個(gè)長(zhǎng)為4a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線均勻分成4個(gè)小長(zhǎng)方形,然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形(1)圖2的空白部分的邊長(zhǎng)是多少?(用含ab的式子表示)(2)若2a+b=7,且ab=3,求圖2中的空白正方形的面積(3)觀察圖2,用等式表示出(2ab)2,ab和(2a+b)2的數(shù)量關(guān)系18動(dòng)手操作:如圖是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中的虛線剪開分成四個(gè)大小相等的長(zhǎng)方形,然后按照?qǐng)D所示拼成一個(gè)正方形提出問(wèn)題:(1)觀察圖,請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積;(2)請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式(a+b)2,(ab)2,ab之間的一個(gè)等量關(guān)系問(wèn)題解決

8、:根據(jù)上述(2)中得到的等量關(guān)系,解決下列問(wèn)題:已知:x+y=6,xy=3求:(xy)2的值19圖是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線剪開,可分成四塊小長(zhǎng)方形(1)將圖中所得的四塊長(zhǎng)為a,寬為b的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形(如圖)請(qǐng)利用圖中陰影部分面積的不同表示方法,直接寫出代數(shù)式(a+b)2、(ab)2、ab之間的等量關(guān)系是_;(2)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:已知m+n=8,mn=7,則mn=_;(3)將如圖所得的四塊長(zhǎng)為a,寬為b的小長(zhǎng)方形不重疊地放在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部(如圖),未被覆蓋的部分(兩個(gè)長(zhǎng)方形)用陰影表示若左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為4,且小長(zhǎng)方形的

9、周長(zhǎng)為8,則每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為_20把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形,再通過(guò)圖形面積的計(jì)算,常??梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶?,或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積(1)如圖1,是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形,試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論,請(qǐng)寫出來(lái)(2)如圖2,是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起,B、C、G三點(diǎn)在同一直線上,連接BD和BF,若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎?21閱讀材料并填空:我們知道,完全平方式可以用平面幾何圖形的面積來(lái)表示,實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式樣也可以用這種形式表示,如:(2a+b)

10、(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖(1),或圖(2)等圖形的面積表示請(qǐng)你寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式_請(qǐng)你寫出圖(4)所表示的代數(shù)恒等式_22圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2x、寬為2y的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀剪成四個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形,然后按圖2所示拼成一個(gè)正方形(1)你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于_ (2)試用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積方法1:_;方法2:_(3)根據(jù)圖2你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎?代數(shù)式:(x+y)2,(xy)2,4xy_(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:若x+y=4,xy=3,則(xy)2=_23已知圖甲是一個(gè)長(zhǎng)為2m,寬為2n

11、的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀均勻分成四小塊長(zhǎng)方形,然后按圖乙的形狀拼成一個(gè)正方形(1)你認(rèn)為圖乙中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少?_(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖乙中陰影部分的面積方法一:_;方法二:_(3)觀察圖乙,你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎?(m+n)2;(mn)2; mm(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:若a+b=8,ab=5,求(ab)2的值完全平方公式的幾何背景專題訓(xùn)練試題精選參考答案與試題解析一選擇題(共6小題)1(2010丹東)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為(m+n)的正方形,小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀,由圖和圖能驗(yàn)證的式子是()A(m+n)2(mn)2=4mnB(m+

12、n)2(m2+n2)=2mnC(mn)2+2mn=m2+n2D(m+n)(mn)=m2n2考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計(jì)算題;壓軸題分析:根據(jù)圖示可知,陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為m+n的正方形減去中間白色的正方形的面積m2+n2,即為對(duì)角線分別是2m,2n的菱形的面積據(jù)此即可解答解答:解:(m+n)2(m2+n2)=2mn故選B點(diǎn)評(píng):本題是利用幾何圖形的面積來(lái)驗(yàn)證(m+n)2(m2+n2)=2mn,解題關(guān)鍵是利用圖形的面積之間的相等關(guān)系列等式2利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式例如,根據(jù)圖甲,我們可以得到兩數(shù)和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2你根據(jù)圖乙能得

13、到的數(shù)學(xué)公式是()A(a+b)(ab)=a2b2B(ab)2=a22ab+b2Ca(a+b)=a2+abDa(ab)=a2ab考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)圖形,左上角正方形的面積等于大正方形的面積減去兩個(gè)矩形的面積,然后加上多減去的右下角的小正方形的面積解答:解:大正方形的面積=(ab)2,還可以表示為a22ab+b2,(ab)2=a22ab+b2故選B點(diǎn)評(píng):正確列出正方形面積的兩種表示是得出公式的關(guān)鍵,也考查了對(duì)完全平方公式的理解能力3如圖,你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是()Aa2b2=(a+b)(ab)B(a+b)2=a2+2ab+b2C(ab)2=a22ab+b

14、2Da(a+b)=a2+ab考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)圖形得出陰影部分的面積是(ab)2和b2,剩余的矩形面積是(ab)b和(ab)b,即大陰影部分的面積是(ab)2,即可得出選項(xiàng)解答:解:從圖中可知:陰影部分的面積是(ab)2和b2,剩余的矩形面積是(ab)b和(ab)b,即大陰影部分的面積是(ab)2,(ab)2=a22ab+b2,故選C點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的閱讀能力和轉(zhuǎn)化能力,題目比較好,有一定的難度4如圖(1),是一個(gè)長(zhǎng)為2a寬為2b(ab)的矩形,用剪刀沿矩形的兩條對(duì)角軸剪開,把它分成四個(gè)全等的小矩形,然后按圖(2)拼成一個(gè)新的正

15、方形,則中間空白部分的面積是()AabB(a+b)2C(ab)2Da2b2考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:先求出正方形的邊長(zhǎng),繼而得出面積,然后根據(jù)空白部分的面積=正方形的面積矩形的面積即可得出答案解答:解:由題意可得,正方形的邊長(zhǎng)為(a+b),故正方形的面積為(a+b)2,又原矩形的面積為4ab,中間空的部分的面積=(a+b)24ab=(ab)2故選C點(diǎn)評(píng):此題考查了完全平方公式的幾何背景,求出正方形的邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵,難度一般5如圖的圖形面積由以下哪個(gè)公式表示()Aa2b2=a(ab)+b(ab)B(ab)2=a22ab+b2C(a+b)2=a2+2ab+b2Da2b2

16、=(a+b)(ab)考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:通過(guò)圖中幾個(gè)圖形的面積的關(guān)系來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)解答:解:根據(jù)圖形可得出:大正方形面積為:(a+b)2,大正方形面積=4個(gè)小圖形的面積和=a2+b2+ab+ab,可以得到公式:(a+b)2=a2+2ab+b2故選:C點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程,運(yùn)用圖形的面積表示是解題的關(guān)鍵6如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2mx+16是一個(gè)完全平方式,那么m的值是()A8或8B8C8D無(wú)法確定考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù),再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)列式求解即可解答:解:x2mx+16是一個(gè)完全平方式,mx=

17、77;2×4x,解得m=±8故選A點(diǎn)評(píng):本題是完全平方公式的考查,兩數(shù)的平方和,再加上或減去它們積的2倍,就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式注意積的2倍的符號(hào),避免漏解二填空題(共7小題)7(2014玄武區(qū)二模)如圖,在一個(gè)矩形中,有兩個(gè)面積分別為a2、b2(a0,b0)的正方形這個(gè)矩形的面積為(a+b)2(用含a、b的代數(shù)式表示)考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:求出大正方形的邊長(zhǎng)為a+b,再利用正方形的面積公式求解解答:解;兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,正方形的邊長(zhǎng)為:a+b它的面積為:(a+b)2故答案為:(a+b)2點(diǎn)評(píng):本題主要考查完全平方公式的幾何表示,運(yùn)用不同

18、方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵8如圖,邊長(zhǎng)為(m+2)的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙),若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為2,則另一邊長(zhǎng)是2m+2(用含m的代數(shù)式表示)考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:幾何圖形問(wèn)題分析:由于邊長(zhǎng)為(m+2)的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙),那么根據(jù)正方形的面積公式,可以求出剩余部分的面積,而矩形一邊長(zhǎng)為2,利用矩形的面積公式即可求出另一邊長(zhǎng)解答:解:依題意得剩余部分為(m+2)2m2=m2+4m+4m2=4m+4,而拼成的矩形一邊長(zhǎng)為2,另一邊長(zhǎng)是(4m+4)

19、÷2=2m+2故答案為:2m+2點(diǎn)評(píng):本題主要考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,解題關(guān)鍵是熟悉除法法則9有兩個(gè)正方形A,B,現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲,將A,B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12,則正方形A,B的面積之和為13考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為a,正方形B的邊長(zhǎng)為b,由圖形得出關(guān)系式求解即可解答:解:設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為a,正方形B的邊長(zhǎng)為b,由圖甲得a2b22(ab)=1即a2+b22ab=1,由圖乙得(a+b)2a2b2=12,2ab=12,所以a2+b2=13,故答案為:13點(diǎn)評(píng):本題主要考查了完全平方公式

20、的幾何背景,解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出數(shù)量關(guān)系10如圖1和圖2,有多個(gè)長(zhǎng)方形和正方形的卡片,圖1是選取了2塊不同的卡片,拼成的一個(gè)圖形,借助圖中陰影部分面積的不同表示可以用來(lái)驗(yàn)證等式a(a+b)=a2+ab成立根據(jù)圖2,利用面積的不同表示方法,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計(jì)算題分析:表示陰影部分的面積有兩種方法:大長(zhǎng)方形的面積=(a+b)(a+2b),3個(gè)正方形的面積加上3個(gè)矩形的面積a2+ab+ab+ab+b2+b2,推出即可解答:解:由圖2可知:陰影部分的面積是:(a+b)(a+2b),a2+ab+ab+ab+

21、b2+b2=a2+2b2+3ab,(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab,故答案為:(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的幾何背景的應(yīng)用,關(guān)鍵是檢查學(xué)生能否正確表示圖形中陰影部分的面積,題目具有一定的代表性,考查了學(xué)生的理解能力、觀察圖形的能力等11如圖,正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為a米,中央有一個(gè)正方形的水池,水池四周有一條寬度為的環(huán)形小路,那么水池的面積用含a、b的代數(shù)式可表示為a24ab+4b2或(a2b)2平方米考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:幾何圖形問(wèn)題分析:根據(jù)圖示計(jì)算出中央正方形的水池的邊長(zhǎng),然后根據(jù)正方形的面積公式來(lái)計(jì)算水池的面積

22、解答:解:水池的邊長(zhǎng)是:a2b,所以,正方形水池的面積是(a2b)(a2b)=a24ab+4b2或(a2b)(a2b)=(a2b)2故答案是:a24ab+4b2或(a2b)2點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)完全平方公式幾何意義的理解解題時(shí),主要圍繞圖形面積展開分析12如圖,請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式(a+b)2、(ab)2、ab之間的等量關(guān)系是a+b)2=(ab)2+4ab考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:通過(guò)觀察圖形知:(a+b)2,(ab)2,ab分別表示的是大正方形、空白部分的正方形及小長(zhǎng)方形的面積解答:解:由圖可以看出,大正方形面積=陰影部分的正方形的面積+四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積,即:(a+b)2=(

23、ab)2+4ab,故答案為:(a+b)2=(ab)2+4ab點(diǎn)評(píng):此題考查了學(xué)生觀察、分析圖形解答問(wèn)題的綜合能力,關(guān)鍵是通過(guò)觀察圖形找出各圖形之間的關(guān)系13如圖,長(zhǎng)為a,寬為b的四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形,且大正方形的面積為64,中間小正方形的面積為16,則a=6,b=2考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:先求出大正方形的邊長(zhǎng)為:a+b,小正方形的邊長(zhǎng)為:ab,再列出方程組求解解答:解:大正方形的邊長(zhǎng)為:a+b,小正方形的邊長(zhǎng)為:ab即:解得故答案為:6,2點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是求出大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)列出方程組三解答題(共10小題)14閱讀學(xué)習(xí):數(shù)學(xué)中有很多等式可以用圖形

24、的面積來(lái)表示如圖1,它表示(m+2n)(m+n)=m2+3mn+2n2,(1)觀察圖2,請(qǐng)你寫出(a+b)2,(ab)2,ab之間的關(guān)系(a+b)2(ab)2=4ab(2)小明用8個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形,(長(zhǎng)為a,寬為b),拼成了如圖甲乙兩種圖案,圖案甲是一個(gè)正方形,圖案甲中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形;圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形a24ab+4b2=4 ab=60考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:數(shù)形結(jié)合分析:根據(jù)圖形的面積公式來(lái)進(jìn)行分析即可得到解答:解:(1)(a+b)2(ab)2=4ab;(2)4 ab=60點(diǎn)評(píng):該題目考查了利用圖形的面積來(lái)得到數(shù)學(xué)公式,關(guān)鍵是靈活進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)合來(lái)分析15【

25、學(xué)習(xí)回顧】我們已經(jīng)知道,根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說(shuō)明完全平方公式,說(shuō)明如下:如圖1,正方形ABCD的面積=正方形EBNH的面積+(長(zhǎng)方形AEHM的面積+長(zhǎng)方形HNCF的面積)+正方形MHFD的面積即:(a+b)2=a2+2ab+b2【思考問(wèn)題】還有一些等式也可以用上述方式加以說(shuō)明,請(qǐng)你嘗試完成如圖2,長(zhǎng)方形ABNM的面積=長(zhǎng)方形EBCF的面積+長(zhǎng)方形AEFD的面積長(zhǎng)方形HNCF的面積正方形MHFD的面積,即:(2ab)(a+b)=2a2abb2【嘗試實(shí)踐】計(jì)算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2仿照上述方法,畫圖并說(shuō)明考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)利用長(zhǎng)方形A

26、BNM的面積=長(zhǎng)方形EBCF的面積+長(zhǎng)方形AEFD的面積長(zhǎng)方形HNCF的面積正方形MHFD的面積計(jì)算(2)利用長(zhǎng)方形ABCD的面積=正方形GBHF的面積+正方形FHQN的面積+長(zhǎng)方形AGFE的面積+長(zhǎng)方形EFNM的面積+長(zhǎng)方形NQCO的面積+正方形MNOD的面積計(jì)算解答:解:(1)長(zhǎng)方形ABNM的面積=長(zhǎng)方形EBCF的面積+長(zhǎng)方形AEFD的面積長(zhǎng)方形HNCF的面積正方形MHFD的面積,即:(2ab)(a+b)=2a2abb2故答案為:正方形MHFD,2a2abb2(2)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2如圖,故答案為:2a2abb2點(diǎn)評(píng):本題主要考查了完全平方公式的幾何背景,解題的關(guān)

27、鍵是通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)公式做出幾何解釋16閱讀下列文字,我們知道對(duì)于一個(gè)圖形,通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積,可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式,例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2請(qǐng)解答下列問(wèn)題:(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;(3)圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片若干個(gè)長(zhǎng)為a和寬為b的長(zhǎng)方形紙片,利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形,使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式:2a2+5ab+2

28、b2=(2a+b)(a+2b)考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬,再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊,再表示出每一小部分的矩形的面積,然后根據(jù)面積相等即可寫出等式(2)根據(jù)利用(1)中所得到的結(jié)論,將a+b+c=11,ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出(3)找規(guī)律,根據(jù)公式畫出圖形,拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使它滿足所給的條件解答:解:(1)根據(jù)題意,大矩形的面積為:(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)2,各小矩形部分的面積之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2,等式為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(2)a

29、2+b2+c2 =(a+b+c)22ab2ac2bc=1122×38=45(3)如圖所示點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的幾何背景,根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積,然后再根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等即可解答17如圖1,將一個(gè)長(zhǎng)為4a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線均勻分成4個(gè)小長(zhǎng)方形,然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形(1)圖2的空白部分的邊長(zhǎng)是多少?(用含ab的式子表示)(2)若2a+b=7,且ab=3,求圖2中的空白正方形的面積(3)觀察圖2,用等式表示出(2ab)2,ab和(2a+b)2的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)觀察由已知圖形,得到四個(gè)小

30、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2a,寬為b,那么圖2中的空白部分的正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去小長(zhǎng)方形的寬(2)通過(guò)觀察圖形,大正方形的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的和圖2中空白部分的正方形的面積為大正方形的面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積(3)通過(guò)觀察圖形知:(2a+b)2 (2ab)2 8ab分別表示的是大正方形、空白部分的正方形及小長(zhǎng)方形的面積解答:解:(1)圖2的空白部分的邊長(zhǎng)是2ab(2)由圖212可知,小正方形的面積=大正方形的面積4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積,大正方形的邊長(zhǎng)=2a+b=7,大正方形的面積=(2a+b)2=49,又4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和=大長(zhǎng)方形的面積=4a×2b=8ab=8×3=2

31、4,小正方形的面積=(2ab)2=4924=25(3)由圖2可以看出,大正方形面積=空白部分的正方形的面積+四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即:(2a+b)2(2ab)2=8ab點(diǎn)評(píng):此題考查了學(xué)生觀察、分析圖形解答問(wèn)題的綜合能力,以及對(duì)列代數(shù)式、代數(shù)式求值的理解與掌握關(guān)鍵是通過(guò)觀察圖形找出各圖形之間的關(guān)系18動(dòng)手操作:如圖是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中的虛線剪開分成四個(gè)大小相等的長(zhǎng)方形,然后按照?qǐng)D所示拼成一個(gè)正方形提出問(wèn)題:(1)觀察圖,請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積;(2)請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式(a+b)2,(ab)2,ab之間的一個(gè)等量關(guān)系問(wèn)題解決:根據(jù)上述(2)中得到的等量關(guān)系,解決下列問(wèn)

32、題:已知:x+y=6,xy=3求:(xy)2的值考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:幾何圖形問(wèn)題分析:(1)第一種方法為:大正方形面積4個(gè)小長(zhǎng)方形面積,第二種表示方法為:陰影部分正方形的面積;(2)利用(a+b)24ab=(ab)2可求解解答:提出問(wèn)題:解:(1)(a+b)24ab或(ab)2(2)(m+n)24mn=(mn)2問(wèn)題解決:(3)(xy)2=(x+y)24xyx+y=6,xy=3(xy)2=369=25點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的幾何背景解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意,找到所求的量的等量關(guān)系本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題19圖是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛

33、線剪開,可分成四塊小長(zhǎng)方形(1)將圖中所得的四塊長(zhǎng)為a,寬為b的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形(如圖)請(qǐng)利用圖中陰影部分面積的不同表示方法,直接寫出代數(shù)式(a+b)2、(ab)2、ab之間的等量關(guān)系是(ab)2=(a+b)24ab;(2)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:已知m+n=8,mn=7,則mn=±6;(3)將如圖所得的四塊長(zhǎng)為a,寬為b的小長(zhǎng)方形不重疊地放在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部(如圖),未被覆蓋的部分(兩個(gè)長(zhǎng)方形)用陰影表示若左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為4,且小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為8,則每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為3考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)利用大正方

34、形的面積減4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于小正方形的面積求解;(2)利用公式(mn)2=(m+n)24mn求解即可;(3)由左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為4,得出8b+4a=4,由小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為8,得出2(a+b)=8,聯(lián)立得出a,b的值即可求出小長(zhǎng)方形的面積解答:解:(1)(ab)2=(a+b)24ab故答案為:(ab)2=(a+b)24ab(2)m+n=8,mn=7,(mn)2=(m+n)24mn=6428=36,mn=±6故答案為:±6(3)設(shè)長(zhǎng)方形BC為m,CD為n,右上角部分的陰影周長(zhǎng)為:2(na+ma) 左下角部分的陰影周長(zhǎng)為:2(m2b+n2b) 左下角與右上角

35、的陰影部分的周長(zhǎng)之差為4,8b+4a=4,又2(a+b)=8,解得a=3,b=1,每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為ab=3×1=3故答案為:3點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式的幾何背景,解題的關(guān)鍵是通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題20把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形,再通過(guò)圖形面積的計(jì)算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積(1)如圖1,是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形,試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論,請(qǐng)寫出來(lái)(2)如圖2,是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起,B、C、G三點(diǎn)在同一直線上,連接BD和BF,若兩正方形的邊長(zhǎng)

36、滿足a+b=10,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎?考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)此題根據(jù)面積的不同求解方法,可得到不同的表示方法一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積,種是大正方形的面積,可得等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,(2)利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積三角形BGF的面積三角形ABD的面積求解解答:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(2)a+b=10,ab=20,S陰影=a2+b2(a+b)ba2=a2+b2ab=(a+b)2ab=×102×20=5

37、030=20點(diǎn)評(píng):本題考查了完全平方公式幾何意義,解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合,會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積21閱讀材料并填空:我們知道,完全平方式可以用平面幾何圖形的面積來(lái)表示,實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式樣也可以用這種形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖(1),或圖(2)等圖形的面積表示請(qǐng)你寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式(x+y)2=x2+2xy+y2請(qǐng)你寫出圖(4)所表示的代數(shù)恒等式(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2考點(diǎn):完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式求出即可解答:解:圖(3)所表示的代數(shù)恒等式是(x+y)(x+y)=(x+y)2=x2+2xy+y2,圖(4)所表示的代數(shù)恒等式是(2a

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