六年級(jí)奧數(shù)一至十講(教師版)

1、小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案01比擬分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比擬數(shù)的大小問(wèn)題。比擬整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比擬簡(jiǎn)單，而比擬分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比擬大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比擬小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比擬大小。由于要比擬的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子。當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最

2、小公倍數(shù)比擬大，而分子的最小公倍數(shù)比擬小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比擬大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母，那么這里講的方法可以稱為“通分子。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比擬大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比擬。有時(shí)分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比擬大小。5.假設(shè)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、那么分母子大的分?jǐn)?shù)較大；假設(shè)兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，那么分母子小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比擬。有以下幾種情況：1對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)mk，kn，那么mn。2對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)

3、m-kn-k，那么mn。前一個(gè)差比擬小，所以mn。3對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)k-mk-n，那么mn。注意，2與3的差異在于，2中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；3中借助的數(shù)k大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n。4把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)不容易比擬大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)分?jǐn)?shù)容易比擬大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比擬分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大這一根本方法。練習(xí)11.比擬以下各組分?jǐn)?shù)的大小：答

4、案與提示練習(xí)1 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案02巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時(shí)加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：假設(shè)把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析與解：如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問(wèn)題就變?yōu)椋哼@個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？于是與

5、例3類似，可以求出在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，那么會(huì)怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，約分前分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。 求這個(gè)自然數(shù)。同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2倍，為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的

6、倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8×2=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類分?jǐn)?shù)問(wèn)題的公式：分子應(yīng)加減的數(shù)=分母所加減的數(shù)×原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加減的數(shù)=分子所加減的數(shù)÷原分?jǐn)?shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說(shuō)是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。2x+2×3=x+5×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí)2是多少？ 答案與提示練習(xí)25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。6.13。解：67-22÷16-7=

7、5，7×5-22=13。解：設(shè)分子為x，根據(jù)分母可列方程小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案03分?jǐn)?shù)運(yùn)算技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四那么運(yùn)算法那么外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問(wèn)題。1.湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四那么運(yùn)算法那么和運(yùn)算律如交換律、結(jié)合律、分配律，使局部的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。2.約分法3.裂項(xiàng)法假設(shè)能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，那么能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例7 在自然數(shù)1100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比擬復(fù)雜，要求

8、10個(gè)分子為1，而分母不同的就非常簡(jiǎn)單了。括號(hào)。此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個(gè)數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為220的分?jǐn)?shù)之和依次為 練習(xí)38.在自然數(shù)160中找出8個(gè)不同的數(shù)，使這8個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。 答案與提示 練習(xí)31.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個(gè)，等于3的有2個(gè)，等于4的有3個(gè)人一般地，分子

9、與分母之和等于n的有(n-1)個(gè)。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+106=5671個(gè)，5671+9=5680個(gè)。 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案05工程問(wèn)題一顧名思義，工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需

10、要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天，或“工作量/時(shí)等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1 單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多

11、了。答：甲隊(duì)干了12天。例3 單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例4 一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開(kāi)始是

12、空池，翻開(kāi)放水管1時(shí)后又翻開(kāi)排水管，那么再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？例6 甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇

13、。練習(xí)51.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)與乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？那么完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹(shù)共有多少棵？5.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天。現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這段公路長(zhǎng)多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開(kāi)甲管需18時(shí)注滿，

14、單開(kāi)乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開(kāi)多長(zhǎng)時(shí)間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時(shí)，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示 練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時(shí)。提示：甲管12時(shí)都開(kāi)著，乙管開(kāi)7.280千米。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案06工程問(wèn)題二上一講我們講述的是工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。在較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用根本的分析方法，問(wèn)題也不難解決。 例1 一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成

15、。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：此題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天等量替換題中“甲工作5天這一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24天甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒(méi)有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天的過(guò)程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨(dú)例3 單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可

16、提前2天完成，乙那么要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問(wèn)：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過(guò)3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說(shuō)明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的，乙需要10+5=15天。甲、乙合作需要例4 放滿一個(gè)水池的水，假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)1，2，3號(hào)閥門，那么20分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)2，3，4號(hào)閥門，那么21分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)1，3，4號(hào)閥門，那么28分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開(kāi)1，2，4號(hào)閥門，那么30分鐘可以完成。問(wèn)：如果同時(shí)翻開(kāi)1，2，3，4號(hào)閥門，那么多少

17、分鐘可以完成？分析與解：同時(shí)翻開(kāi)1，2，3號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開(kāi)2，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開(kāi)1，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開(kāi)1，2，4號(hào)閥門1分鐘，這時(shí)，1，2，3，4號(hào)閥門各翻開(kāi)了3分鐘，放水量等于一例5 某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。假設(shè)

18、按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無(wú)論誰(shuí)先誰(shuí)后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面假設(shè)干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同見(jiàn)以下圖虛線左邊，相差的就是最后一輪見(jiàn)以下圖虛線右邊。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個(gè)？需的時(shí)間相等。問(wèn)：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？獨(dú)修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲

19、、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)翻開(kāi)，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問(wèn)：甲管在何時(shí)被關(guān)閉？6.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需9時(shí)，乙需12時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙、的順序輪流工作，每次1時(shí)，那么完成這項(xiàng)工作需要多長(zhǎng)時(shí)間？7.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問(wèn)：甲單獨(dú)干需要幾天？答案與提示練習(xí)61.360個(gè)。2.甲18天，乙12天。3.7.2時(shí)。解：由下頁(yè)圖知，王干2時(shí)等于李干3時(shí)，所以單獨(dú)干李需12+6&#

20、247;2×3=21時(shí)，王需21÷3×2=14時(shí)。所求為5.上午9時(shí)。6.10時(shí)15分。7.8.5天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不管甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同見(jiàn)左以下圖。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時(shí)，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說(shuō)明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案07巧用單位“1在工程問(wèn)題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1的問(wèn)題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1，能使

21、解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。分析：因?yàn)榈谝惶臁⒌诙於际桥c全書比擬，所以應(yīng)以全書的頁(yè)數(shù)為單位答：這本故事書共有240頁(yè)。分析與解：此題條件中單位“1的量在變化，依次是“全書的頁(yè)數(shù)、“第一天看后余下的頁(yè)數(shù)、“第二天看后余下的頁(yè)數(shù)，出現(xiàn)了3個(gè)不同的單位“1。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1，轉(zhuǎn)化分率。但在此題中，不統(tǒng)一單位“1反而更方便。我們先把全書看成“1，看成“1，就可以求出第三天看后余下的局部占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，這給計(jì)算帶來(lái)很多不便，需要統(tǒng)一單位“1。統(tǒng)一單位“1的一個(gè)竅門就是抓“不變量為單位“1。此題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生

22、了變化，而其它書的本數(shù)沒(méi)有變，可以以 圖書室原來(lái)共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1。例5 公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過(guò)了5分鐘，小轎車追上了客車，再過(guò)多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等，設(shè)這段距離為單位“1。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36人

23、。練習(xí)7樹(shù)上原有多少個(gè)桃？剩下的局部收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？ 7.六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，一班的女生占本答案與提示練習(xí)71.35個(gè)。2.60個(gè)。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。  小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5÷6可記作56。比值。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例式。如，37=921。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否那么不能組成比例。在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等

24、于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果ab=cd，那么a×d=b×c。兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc。連比中的“不能用“÷代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如， 甲乙=56，乙丙=43， 因?yàn)?，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1 3(x-1)=79，求x。解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年級(jí)一班的男、女生比例為32，又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。

25、求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40人，由男、女生人數(shù)之比為32知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20人，男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 2420=65。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成假設(shè)干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量

26、是2700千克，各分量的比是1212，總份數(shù)是1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180千克，然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。例4 師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學(xué)生？ 按比例分配得到例6 某高速公路

27、收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是56，小客車與小轎車之比是411，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過(guò)的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過(guò)的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將56中的6與411中的4統(tǒng)一成4，6=12，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由56=1012和411=1233，得到大客車小客車小轎車=101233。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33-30×10=30元，所以這天通過(guò)的車輛共有210&#

28、247;30=7組。這天通過(guò)大客車=10×7=70輛，小客車=12×7=84輛，小轎車=33×7=231輛。練習(xí)81.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是53，周長(zhǎng)是96米，求這塊地的面積。2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是43，寬與高的比是54，體積是450分米3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是35；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是911。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路

29、全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是123，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是345。他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是32，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是1087。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？答案與提示練習(xí)81.540米2。2.長(zhǎng)100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長(zhǎng)寬高=201512，450000÷(20×15×12)=125=53。長(zhǎng)=20×5=100厘米，寬=15×5

30、=75厘米，高=12×5=60厘米。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程36+50=86元。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲乙丙=252024，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50只，乙=2×20=40只，丙=2×24=48只。6.12時(shí)。7.5：9 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案09百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。 1分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。2表示一個(gè)數(shù)比擬數(shù)是另一個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的比。所

31、以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“來(lái)表示，叫做百分號(hào)。在第二種定義中，出現(xiàn)了比擬數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率百分?jǐn)?shù)，這三者的關(guān)系如下：比擬數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率百分?jǐn)?shù)，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比擬數(shù)，比擬數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比擬數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車間的男工占全廠男工的25。問(wèn)：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80，所以男工占全廠人數(shù)的1-80=20。又因?yàn)椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20×25=5。例

32、2 學(xué)校去年春季植樹(shù)500棵，成活率為85，去年秋季植樹(shù)的成活率為90。去年春季比秋季多死了20棵樹(shù)，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？分析與解：去年春季種的樹(shù)活了500×85=425棵，死了500-425=75棵。去年秋季種的樹(shù)，死了75-20=55棵，活了 55÷1-90×90=495棵。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920棵。例3 一次考試共有5道試題。做對(duì)第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85，95，90，75，80。如果做對(duì)三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是局部量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)

33、總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯(cuò)第1題的有100×1-85=15人；同理可得，做錯(cuò)第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。總共做錯(cuò)15+5+10+25+20=75題。一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由75÷3=25人，推知至多有25人不及格，也就是說(shuō)至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25，五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10，六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多10。如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，那么三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，那么四年級(jí)是三年級(jí)的125，五年級(jí)是三年級(jí)的125×1-10，

34、六年級(jí)是三年級(jí)的125×1-10×1+10。因?yàn)榱昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程： x×125×1-10×1+10=x+38， x×125×90×110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年級(jí)有160名學(xué)生。四年級(jí)有學(xué)生 160×125=200名。五年級(jí)有學(xué)生200×1-10180名。六年級(jí)有學(xué)生 160+38=198名。160+200+180+198=738名。答：三至六年級(jí)共有學(xué)

35、生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問(wèn)題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)，糖水甜的程度是由糖溶質(zhì)與糖水溶液=糖+水二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下根本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量溶例5

36、 有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再參加多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7的糖水中，有糖溶質(zhì)600×7=42克。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此時(shí)溶質(zhì)有42+x克，溶液有600+x克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再參加20克糖。例6 倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90的一種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80。現(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水和“果兩局部。一開(kāi)始，果重100×1-90=10千克。一星期后含水量變?yōu)?0，“果與“水的比值為因?yàn)椤肮冀K是10千克，可求出此時(shí)“水的重量為所以總重量是10+40=50千克。

37、練習(xí)91.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長(zhǎng)的20。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25，二車間人數(shù)比一車間少20，三車間人數(shù)比二車間多30。三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80，第三塊地的面積比第二塊多20，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90，86，92，94。問(wèn)：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30的酒精溶液假設(shè)干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24的溶液，如果再參加同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23

38、的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來(lái)的百分之幾？答案與提示練習(xí)91.20天。解：5÷20-5=20天。2.600人。解：156÷(1-20) × (1+30)÷25=600人。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷1+80+80×(1+20)=25公頃，第二塊地為25×80=20公頃，第三塊地為69-25=24公頃。4.62。解；設(shè)全廠有100人，那么四個(gè)季度沒(méi)有全勤的共有10+14+8+6=38人次。當(dāng)四個(gè)季度沒(méi)有全勤

39、的人互不相同時(shí)，全年沒(méi)有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62人全勤，即全年全勤率至少為62。5.20。解：設(shè)酒精含量為30的酒精溶液有100克，那么溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24的酒精溶液需加水30÷24-100=25克。假設(shè)再參加25克水，那么酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18的溶液x克，那么需要23的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18+(1000-x)×23=1000×20。解得x=600。7.95。解：設(shè)原有100噸煤，那么有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水

40、份x噸，那么由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95噸，是原來(lái)的95。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案10商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價(jià)，但是這個(gè)價(jià)格是怎樣定的？這就涉及到商品的本錢、利潤(rùn)等聽(tīng)起來(lái)有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤(rùn)=售出價(jià)-本錢，例如，一件商品進(jìn)貨價(jià)是80元，售出價(jià)是100元，那么這件商品的利潤(rùn)是100-80=20元，利潤(rùn)率是在這里我們用“進(jìn)貨價(jià)代替了“本錢，實(shí)際上本錢除了進(jìn)貨價(jià)，還包括運(yùn)輸費(fèi)、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)、損耗等，為簡(jiǎn)便，有時(shí)就忽略不計(jì)了。例1某商品按每個(gè)7元的利潤(rùn)賣出13個(gè)的錢，與按每個(gè)11元的利潤(rùn)賣出12

41、個(gè)的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)x元。由“售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)+利潤(rùn)，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程x+7×13=x+11×12， 13x+91=12+132 x=41。答：進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)41元。例2 租用倉(cāng)庫(kù)堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原方案要銷售3個(gè)月，由于降低了價(jià)格，結(jié)果2個(gè)月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉(cāng)庫(kù)的租金，所以結(jié)算下來(lái)，反而比原方案多賺了1000元。問(wèn)：每千克貨物的價(jià)格降低了多少元？分析與解：原方案租倉(cāng)庫(kù)3個(gè)月，現(xiàn)只租用了2個(gè)月，節(jié)約了1個(gè)月的租金7000元。如果不降低價(jià)格，那么應(yīng)比原方案多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1

42、000元，說(shuō)明降價(jià)損失是7000-1000=6000元。因?yàn)楣灿?噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2元。例3 張先生向商店訂購(gòu)了每件定價(jià)100元的某種商品80件。張先生對(duì)商店經(jīng)理說(shuō)：“如果你肯減價(jià)，那么每減價(jià)1元，我就多訂購(gòu)4件。商店經(jīng)理算了一下，假設(shè)減價(jià)5，那么由于張先生多訂購(gòu)，獲得的利潤(rùn)反而比原來(lái)多100元。問(wèn)：這種商品的本錢是多少元？分析與解：設(shè)這種商品的本錢是x元。減價(jià)5就是每件減100×5=5元，張先生可多買4×5=20件。由獲得利潤(rùn)的情況，可列方程100-x×80 +100=100-5-x×80 + 20， 8000-80x+100=9500-100x， 20x=1400， x=70，這種商品的本錢是70元。由例2、例3看出，商品降價(jià)后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤(rùn)有時(shí)反而比原來(lái)多。例4 某商店到蘋果產(chǎn)地去收購(gòu)蘋果，收購(gòu)價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷售過(guò)程中的損耗是10，商店要想實(shí)現(xiàn)25的利潤(rùn)率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？分析與解：此題的本錢包括收購(gòu)價(jià)、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購(gòu)價(jià)加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.50×400÷1000=1.80元。因?yàn)橛?0的損耗，所以每千克的本錢為1.80