六年級奧數(shù)一至十講(教師版)

1、小學六年級奧數(shù)教案01比擬分數(shù)的大小同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比擬數(shù)的大小問題。比擬整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比擬簡單，而比擬分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比擬大；分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個分數(shù)比擬小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比擬大小。由于要比擬的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子。當兩個分數(shù)的分母的最

2、小公倍數(shù)比擬大，而分子的最小公倍數(shù)比擬小時，可以把它們化成同分子的分數(shù)，再比擬大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母，那么這里講的方法可以稱為“通分子。2.化為小數(shù)。這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比擬大小時是否簡便，就要看具體情況了。3.先約分，后比擬。有時分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比擬大小。5.假設兩個真分數(shù)的分母與分子的差相等、那么分母子大的分數(shù)較大；假設兩個假分數(shù)的分子與分母的差相等，那么分母子小的分數(shù)較大。也就是說，6.借助第三個數(shù)進行比擬。有以下幾種情況：1對于分數(shù)m和n，假設mk，kn，那么mn。2對于分數(shù)m和n，假設

3、m-kn-k，那么mn。前一個差比擬小，所以mn。3對于分數(shù)m和n，假設k-mk-n，那么mn。注意，2與3的差異在于，2中借助的數(shù)k小于原來的兩個分數(shù)m和n；3中借助的數(shù)k大于原來的兩個分數(shù)m和n。4把兩個分數(shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分數(shù)。新分數(shù)一定介于兩個分數(shù)之間，即比其中一個分數(shù)大，比另一個分數(shù)小。利用這一點，當兩個分數(shù)不容易比擬大小，新分數(shù)與其中一個分數(shù)容易比擬大小時，就可以借助于這個新分數(shù)。比擬分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，分母小的分數(shù)大這一根本方法。練習11.比擬以下各組分數(shù)的大小：答

4、案與提示練習1 小學六年級奧數(shù)教案02巧求分數(shù)我們經(jīng)常會遇到一些分數(shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個新分數(shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分數(shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：假設把這個分數(shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分數(shù)，再求倒數(shù)即可。個分數(shù)。分析與解：因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。 ，這個分數(shù)是多少？分析與解：如果把這個分數(shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋哼@個分數(shù)是多少？于是與

5、例3類似，可以求出在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，約分前分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。 求這個自然數(shù)。同一個自然數(shù)，得到的新分數(shù)如果不約分，那么差還是45，新分數(shù)約分后變例7 一個分數(shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分數(shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分數(shù)的分子、分母同時除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2倍，為保持分數(shù)的大小不變，分母也應增加相同的

6、倍數(shù)，所以分母應加8×2=16。在例8中，分母應加的數(shù)是在例9中，分子應加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類分數(shù)問題的公式：分子應加減的數(shù)=分母所加減的數(shù)×原分數(shù)；分母應加減的數(shù)=分子所加減的數(shù)÷原分數(shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的，我們用設未知數(shù)列方程的方法解答。2x+2×3=x+5×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習2是多少？ 答案與提示練習25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。6.13。解：67-22÷16-7=

7、5，7×5-22=13。解：設分子為x，根據(jù)分母可列方程小學六年級奧數(shù)教案03分數(shù)運算技巧對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四那么運算法那么外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數(shù)運算中的“湊整法相同，在分數(shù)運算中，充分利用四那么運算法那么和運算律如交換律、結(jié)合律、分配律，使局部的和、差、積、商成為整數(shù)、整十數(shù)從而使運算得到簡化。2.約分法3.裂項法假設能將每個分數(shù)都分解成兩個分數(shù)之差，并且使中間的分數(shù)相互抵消，那么能大大簡化運算。例7 在自然數(shù)1100中找出10個不同的數(shù)，使這10個數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比擬復雜，要求

8、10個分子為1，而分母不同的就非常簡單了。括號。此題要求的是10個數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分數(shù)相加。分母為n的分數(shù)之和為原式中分母為220的分數(shù)之和依次為 練習38.在自然數(shù)160中找出8個不同的數(shù)，使這8個數(shù)的倒數(shù)之和等于1。 答案與提示 練習31.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人一般地，分子

9、與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+106=5671個，5671+9=5680個。 小學六年級奧數(shù)教案05工程問題一顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需

10、要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天，或“工作量/時等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1 單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效例2 某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？這樣一來，問題就簡單多

11、了。答：甲隊干了12天。例3 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是

12、空池，翻開放水管1時后又翻開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？例6 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇

13、。練習51.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？那么完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天?，F(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，

14、單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示 練習52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開7.280千米。小學六年級奧數(shù)教案06工程問題二上一講我們講述的是工作效率的較簡單的工程問題。在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用根本的分析方法，問題也不難解決。 例1 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成

15、。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：此題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天等量替換題中“甲工作5天這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24天甲、乙合做這一工程，需用的時間為例2 一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨例3 單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可

16、提前2天完成，乙那么要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15天。甲、乙合作需要例4 放滿一個水池的水，假設同時翻開1，2，3號閥門，那么20分鐘可以完成；假設同時翻開2，3，4號閥門，那么21分鐘可以完成；假設同時翻開1，3，4號閥門，那么28分鐘可以完成；假設同時翻開1，2，4號閥門，那么30分鐘可以完成。問：如果同時翻開1，2，3，4號閥門，那么多少

17、分鐘可以完成？分析與解：同時翻開1，2，3號閥門1分鐘，再同時翻開2，3，4號閥門1分鐘，再同時翻開1，3，4號閥門1分鐘，再同時翻開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各翻開了3分鐘，放水量等于一例5 某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。假設

18、按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面假設干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同見以下圖虛線左邊，相差的就是最后一輪見以下圖虛線右邊。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習61.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個？需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅再做9時也可完成。現(xiàn)在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？獨修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲

19、、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時翻開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？答案與提示練習61.360個。2.甲18天，乙12天。3.7.2時。解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6&#

20、247;2×3=21時，王需21÷3×2=14時。所求為5.上午9時。6.10時15分。7.8.5天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不管甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同見左以下圖。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。 小學六年級奧數(shù)教案07巧用單位“1在工程問題中，我們往往設工作總量為單位“1。在許多分數(shù)應用題中，都會遇到單位“1的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1，能使

21、解答的思路更清晰，方法更簡捷。分析：因為第一天、第二天都是與全書比擬，所以應以全書的頁數(shù)為單位答：這本故事書共有240頁。分析與解：此題條件中單位“1的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)、“第一天看后余下的頁數(shù)、“第二天看后余下的頁數(shù)，出現(xiàn)了3個不同的單位“1。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1，轉(zhuǎn)化分率。但在此題中，不統(tǒng)一單位“1反而更方便。我們先把全書看成“1，看成“1，就可以求出第三天看后余下的局部占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個分率，這給計算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“1。統(tǒng)一單位“1的一個竅門就是抓“不變量為單位“1。此題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生

22、了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以 圖書室原來共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1。例5 公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等，設這段距離為單位“1。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36人

23、。練習7樹上原有多少個桃？剩下的局部收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？ 7.六年級兩個班共有學生94人，其中女生有39人，一班的女生占本答案與提示練習71.35個。2.60個。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。  小學六年級奧數(shù)教案08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比。例如，5÷6可記作56。比值。表示兩個比相等的式子叫做比例式。如，37=921。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否那么不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等

24、于兩個內(nèi)項的積。即：如果ab=cd，那么a×d=b×c。兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc。連比中的“不能用“÷代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關(guān)鍵是使第一個比的后項等于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數(shù)。例如， 甲乙=56，乙丙=43， 因為6，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1 3(x-1)=79，求x。解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年級一班的男、女生比例為32，又來了4名女生后，全班共有44人。

25、求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來共有學生44-4=40人，由男、女生人數(shù)之比為32知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20人，男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 2420=65。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成假設干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)，各項與總份數(shù)之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量

26、是2700千克，各分量的比是1212，總份數(shù)是1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180千克，然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。例4 師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學生？ 按比例分配得到例6 某高速公路

27、收費站對于過往車輛收費標準是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費站的大客車和小客車數(shù)量之比是56，小客車與小轎車之比是411，收取小轎車的通行費比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將56中的6與411中的4統(tǒng)一成4，6=12，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由56=1012和411=1233，得到大客車小客車小轎車=101233。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因為每組中收取小轎車的通行費比大客車多10×33-30×10=30元，所以這天通過的車輛共有210&#

28、247;30=7組。這天通過大客車=10×7=70輛，小客車=12×7=84輛，小轎車=33×7=231輛。練習81.一塊長方形的地，長和寬的比是53，周長是96米，求這塊地的面積。2.一個長方體，長與寬的比是43，寬與高的比是54，體積是450分米3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強的錢數(shù)之比是35；如果小強買了這把小刀，那么小明與小強的錢數(shù)之比是911。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路

29、全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是123，某人走各段路程所用的時間之比是345。他走平路的速度是5千米/時，他走完全程用多少時間？7.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是32，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是1087。如果甲組中男、女會員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會員的人數(shù)之比是多少？答案與提示練習81.540米2。2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長寬高=201512，450000÷(20×15×12)=125=53。長=20×5=100厘米，寬=15×5

30、=75厘米，高=12×5=60厘米。3.86元。解：設小明有x元錢。根據(jù)小強的錢數(shù)可列方程36+50=86元。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲乙丙=252024，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50只，乙=2×20=40只，丙=2×24=48只。6.12時。7.5：9 小學六年級奧數(shù)教案09百分數(shù)百分數(shù)有兩種不同的定義。 1分母是100的分數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于形式，把百分數(shù)作為分數(shù)的一種特殊形式。2表示一個數(shù)比擬數(shù)是另一個數(shù)標準數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數(shù)的比。所

31、以百分數(shù)又叫百分比或百分率。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而采用符號“來表示，叫做百分號。在第二種定義中，出現(xiàn)了比擬數(shù)、標準數(shù)、分率百分數(shù)，這三者的關(guān)系如下：比擬數(shù)÷標準數(shù)=分率百分數(shù)，標準數(shù)×分率=比擬數(shù)，比擬數(shù)÷分率=標準數(shù)。根據(jù)比擬數(shù)、標準數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分數(shù)有關(guān)的應用題。例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車間的男工占全廠男工的25。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因為“女工占全廠人數(shù)的80，所以男工占全廠人數(shù)的1-80=20。又因為“一車間的男工占全廠男工的25，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20×25=5。例

32、2 學校去年春季植樹500棵，成活率為85，去年秋季植樹的成活率為90。去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500×85=425棵，死了500-425=75棵。去年秋季種的樹，死了75-20=55棵，活了 55÷1-90×90=495棵。所以，去年學校共種活425+495=920棵。例3 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85，95，90，75，80。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因為百分數(shù)的含義是局部量占總量的百分之幾，所以不妨設

33、總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯第1題的有100×1-85=15人；同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。總共做錯15+5+10+25+20=75題。一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25人，推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育紅小學四年級學生比三年級學生多25，五年級學生比四年級學生少10，六年級學生比五年級學生多10。如果六年級學生比三年級學生多38人，那么三至六年級共有多少名學生？分析：以三年級學生人數(shù)為標準量，那么四年級是三年級的125，五年級是三年級的125×1-10，

34、六年級是三年級的125×1-10×1+10。因為六年級比三年級多38人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程。解：設三年級有x名學生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程： x×125×1-10×1+10=x+38， x×125×90×110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年級有160名學生。四年級有學生 160×125=200名。五年級有學生200×1-10180名。六年級有學生 160+38=198名。160+200+180+198=738名。答：三至六年級共有學

35、生738名。在百分數(shù)應用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖溶質(zhì)與糖水溶液=糖+水二者重量的比值決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下根本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分數(shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量溶例5

36、 有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再參加多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7的糖水中，有糖溶質(zhì)600×7=42克。設再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此時溶質(zhì)有42+x克，溶液有600+x克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再參加20克糖。例6 倉庫運來含水量為90的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80。現(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水和“果兩局部。一開始，果重100×1-90=10千克。一星期后含水量變?yōu)?0，“果與“水的比值為因為“果始終是10千克，可求出此時“水的重量為所以總重量是10+40=50千克。

37、練習91.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20。照此計算，完成任務還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25，二車間人數(shù)比一車間少20，三車間人數(shù)比二車間多30。三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80，第三塊地的面積比第二塊多20，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個季度的全勤率分別為90，86，92，94。問：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30的酒精溶液假設干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24的溶液，如果再參加同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23

38、的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，經(jīng)過一段時間的風干，含水量降為10，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示練習91.20天。解：5÷20-5=20天。2.600人。解：156÷(1-20) × (1+30)÷25=600人。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷1+80+80×(1+20)=25公頃，第二塊地為25×80=20公頃，第三塊地為69-25=24公頃。4.62。解；設全廠有100人，那么四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38人次。當四個季度沒有全勤

39、的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62人全勤，即全年全勤率至少為62。5.20。解：設酒精含量為30的酒精溶液有100克，那么溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24的酒精溶液需加水30÷24-100=25克。假設再參加25克水，那么酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：設需要18的溶液x克，那么需要23的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18+(1000-x)×23=1000×20。解得x=600。7.95。解：設原有100噸煤，那么有水份14.5噸。又設風干掉水

40、份x噸，那么由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95噸，是原來的95。小學六年級奧數(shù)教案10商業(yè)中的數(shù)學市場經(jīng)濟中有許多數(shù)學問題。同學們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的本錢、利潤等聽起來有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學數(shù)學知識在商業(yè)中的應用。利潤=售出價-本錢，例如，一件商品進貨價是80元，售出價是100元，那么這件商品的利潤是100-80=20元，利潤率是在這里我們用“進貨價代替了“本錢，實際上本錢除了進貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12

41、個的錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？解：設進貨價是每個x元。由“售出價=進貨價+利潤，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程x+7×13=x+11×12， 13x+91=12+132 x=41。答：進貨價是每個41元。例2 租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原方案要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原方案多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？分析與解：原方案租倉庫3個月，現(xiàn)只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應比原方案多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1

42、000元，說明降價損失是7000-1000=6000元。因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2元。例3 張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。商店經(jīng)理算了一下，假設減價5，那么由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的本錢是多少元？分析與解：設這種商品的本錢是x元。減價5就是每件減100×5=5元，張先生可多買4×5=20件。由獲得利潤的情況，可列方程100-x×80 +100=100-5-x×80 + 20， 8000-80x+100=9500-100x， 20x=1400， x=70，這種商品的本錢是70元。由例2、例3看出，商品降價后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時反而比原來多。例4 某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.50元。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10，商店要想實現(xiàn)25的利潤率，零售價應是每千克多少元？分析與解：此題的本錢包括收購價、運費、損耗。每千克的收購價加運費是1.20+1.50×400÷1000=1.80元。因為有10的損耗，所以每千克的本錢為1.80