倒立擺系統(tǒng)--實驗設(shè)計報告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)學(xué)生實驗報告課程名稱課程名稱: : 倒立擺系統(tǒng)課程設(shè)計倒立擺系統(tǒng)課程設(shè)計 組號：組號： 7 7 姓名：姓名： 學(xué)號：學(xué)號： 郵箱：郵箱： 20102010 年年 1111 月月 1111 1 1 日日精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)目錄精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成圖圖 1 倒立擺系統(tǒng)的組成框圖倒立擺系統(tǒng)的組成框圖如圖 1 所示為倒立擺的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡，擺

2、桿的位置、速度信號由光電碼盤 2 反饋回控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等） ，并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持?jǐn)[桿平衡。單級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立單級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立在忽略了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖 2 所示精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)圖圖 2 單級倒立擺模型示意圖單級倒立擺模型示意圖那我們在本實驗中定義如下變量：M 小車質(zhì)量 （本實驗系統(tǒng) 0.5 Kg）m 擺桿質(zhì)量 （本實驗系統(tǒng) 0.2 Kg）b 小車摩擦系數(shù) （本實

3、驗系統(tǒng) 0.1 N/m/sec）l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度（0.3 m）I 擺桿慣量 （0.006 kg*m*m）F 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）下面我們對這個系統(tǒng)作一下受力分析。下圖 3 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。NP注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。圖圖 3 倒立擺模型受力分析倒立擺模型受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到等式：應(yīng)用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動

4、力學(xué)方程過程如下：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：)sin(22lxdtdmN即 sincos2 mlmlxmN把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： （1）FmlmlxbxmMsincos)(2 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：cossin)cos(222 mlmlmgPldtdmmgP即：力矩平衡方程如下： INlPlcossin注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式sinsin,coscos,前面有負號。合并這

5、兩個方程，約去和，由得到第二個運動方程：PN231mlI （2）cossin234xmlmglml 設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角） ，假設(shè)與 1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進行近似處理：，。用來1cossin0)(2dtdu代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下：F （3）umlxbxmMxgl )(34精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)對方程組(3)進行拉普拉斯變換，得到 （4）)()()()()()()()(342222sUssmlssbXssXmMssXsgssl注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。由于輸出為角度，求解方程組（4）的第一個

6、方程，可以得到)(34)(2ssglsX把上式代入方程組（4）的第二個方程，得到)()()()()()()(22222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM整理后得到傳遞函數(shù)：sqbmglsqmglmMsqbmlssqmlsUs2323442)()()(其中 )()(22mlmlImMq狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為DuCXyBuAXX方程組（3）對解代數(shù)方程，得到解如下： , x精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)ulmMlmMmMgxlmMbumMmMmgxmMbxxx)4(3)4()(3)4(3)4(4)4(3)4(4 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：ulm

7、MmMxxlmMmMglmMbmMmgmMbxx)4(30)4(400)4()(3)4(3010000)4(3)4(400010 uxxxy0001000001系統(tǒng)系統(tǒng) MatlabMatlab 仿真和開環(huán)響應(yīng)仿真和開環(huán)響應(yīng)實際系統(tǒng)參數(shù)如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的 Matlab 仿真。M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*mF 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直方向的夾角T 采樣頻率0.005 秒注意：在進行實

8、際系統(tǒng)的 Matlab 仿真時，請將采樣頻率改為實際系統(tǒng)的采樣頻率。傳遞函數(shù)：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)在 Matlab 中，拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計算并輸入分子和分母矩陣來實現(xiàn)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的 m-文件內(nèi)容如下：M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I= 0.0034;g = 9.8;l = 0.25; q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; %simplifies inputnum = m*l/q 0den = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/qt = 0 : 0.01 : 5;i

9、mpulse ( num , den , t )axis ( 0 1.1 0 70 )執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項式的 Matlab 表示：num = 2.3566 0den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094可以得到系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)的曲線如下：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)00.20.40.60.81010203040506070Impulse ResponseTime (sec)Amplitude 圖圖 4 4 系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)曲線系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)曲線狀態(tài)空間法：狀態(tài)空間法可以進行單輸入多輸出系統(tǒng)設(shè)計，(從實驗二開始，我們

10、將嘗試同時對擺桿角度和小車位置進行控制)。為了更具挑戰(zhàn)性，給小車一個階躍輸入信號，設(shè)計指標(biāo)如下：小車位置 x 和擺桿角度 的穩(wěn)定時間小于 5 秒；位置 x 的上升時間小于 0.5 秒；擺桿角度的超調(diào)量小于 20 度（0.35 弧度） 。下面，我們用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣，并仿真系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應(yīng)。在這里同樣給出了一個 m-文件，執(zhí)行這個文件，Matlab 將會給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A，B，C 和 D 矩陣，并可以繪出在給定輸入為一個 0.2 m 的階躍信號時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I= 0.0034;g = 9.8;l =

11、0.25; p = I*(M+m)+M*m*l2; %denominator for the A and B matriciesA = 0 1 0 0;精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0B = 0; (I+m*l2)/p; 0; m*l/pC = 1 0 0 0; 0 0 1 0D = 0; 0T=0:0.005:10;U=0.2*ones(size(T);Y,X=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y)axis(0 2.5 0 100

12、)執(zhí)行該 m 文件，可以求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間 A、B、C、D 矩陣,得到開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的曲線。A = 0 1.0000 0 0 0 -0.0883 0.6293 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2357 27.8285 0B = 0 0.8832 0 2.3566C = 1 0 0 0 0 0 1 0D = 0精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)0100.511.522.50102030405060708090100圖圖 5 5 倒立擺狀態(tài)空間開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線倒立擺狀態(tài)空間開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖中，實線是擺桿角度響應(yīng)曲線，虛線是小車位置響應(yīng)曲線。穩(wěn)定性與可控性分析穩(wěn)定性與可控

13、性分析我們先看一看系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將數(shù)據(jù)代入狀態(tài)方程中，利用 matlab 程序可以求出系統(tǒng)的零極點。源代碼如下：M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I= 0.0034;l = 0.25; a b c d=wer_ss(M,m,b,l);%自己編寫的函數(shù)，建立模型之用，具體程序見下面sysc=ss(a,b,c,d); sysd=c2d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);z p gain=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z = -0.9999 -0.9999 1.0275 1.0000 + 0.0000i 0.9733 1.000

14、0 - 0.0000ip =精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 1.0000 0.9996 1.0285 0.9723gain = 1.0e-004 * 0.1113 0.3338wer_ss 源程序：function a b c d=wer_ss(M,m,b,l)a=0 1 0 0;0 -4*b/(4*M+m) 3*m*9.8/(4*M+m) 0;0 0 0 1;0 -3*b/(4*M+m)*l) 3*9.8*(M+m)/(4*M+m)*l) 0;b=0;4/(4*M+m);0;3/(4*M+m)*l);c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0;0由得到的 p（極點）可知，有的極點

15、在單位圓外，所以可知原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同樣，我們可以利用 matlab 來得到系統(tǒng)的能控性，源代碼如下：ud=ctrb(da,db);rank(ud)ans = 4由得到的 rank（ud）的值可知，原系統(tǒng)的能控性矩陣為 4，所以我們可知原系統(tǒng)是能控的?？刂破髟O(shè)計控制器設(shè)計 基于狀態(tài)反饋的控制算法設(shè)計與仿真基于狀態(tài)反饋的控制算法設(shè)計與仿真 LQR由理論分析知，可以設(shè)計基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。設(shè)狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)律的形式為)()(kxKkur通過使性能指標(biāo)函數(shù))()()()()()(21)()(2110kukRkukXkQkXNPXNXJrTNkrTT為最小，根據(jù)在附錄 1 中我們所

16、介紹的求得GkPHHKPHRKTTrr) 1() 1(1其中 P 由下列黎卡提方程獲得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)GkPHHkPHRHkPGGkPGQkPTTrTTr) 1() 1() 1() 1()(1其中，分別用來對狀態(tài)向量 x(k)，控制向量 u(k)引起的性能度量的相對重要性rQrR進行加權(quán)。在實際運算中我們運用 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱中的“dlqr”函數(shù)直接進行運算。利用 dlqr 函數(shù)，我們需要提供兩個權(quán)值矩陣：Q、R。通常我們?nèi)?R=1，而對于 Q 我們只能通過不斷的湊取來得到。源代碼如下： R=1; Q=10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0

17、0 0 0Q = 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T=0.005; syse k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T);%wer_lqr 是自己定義的函數(shù)，具體見下面程序 x0=0.05;0;0.0175;0; t=0:0.005:10; y x1=initial(syse,x0,t);plot(t,y(:,1),red,t,y(:,2),blue)wer_lqr 源程序：function sysresult k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T);%sysresult k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T)

18、;k S e=dlqr(da,db,Q,R);G=da-db*k;sysresult=ss(G,db,dc,dd,T);我們已開始的 Q 為：Q1=10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0；結(jié)果得到的圖為圖 6；Q2 取為：Q=100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0;結(jié)果得到的圖為圖 7；通過比較，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) Q11、Q33 比值一定時，取大的值時系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)加大；反之則響應(yīng)變慢但是超調(diào)減小。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)012345678910-0.0100.010.020.030.040.05位 位 位 位位

19、 位圖圖 6 Q1 響應(yīng)圖響應(yīng)圖012345678910-0.0100.010.020.030.040.05位 位 位 位位 位圖圖 7 Q2 響應(yīng)圖響應(yīng)圖在左右權(quán)衡之間，我們最終選取了：Q=300 0 0 0;0 0 0 0;0 0 30 0;0 0 0 0此時的響應(yīng)曲線如圖 8，而 k 值為：k =精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) -16.6147 -12.4226 56.5909 10.2444012345678910-0.0100.010.020.030.040.05位 位 位 位位 位圖圖 8 最優(yōu)的響應(yīng)曲線最優(yōu)的響應(yīng)曲線此時的單位階躍響應(yīng)曲線為圖 9：0123456789

20、10-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.02位 位位 位 位 位圖圖 9 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線從仿真效果來看，零狀態(tài)響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)都符合要求。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 極點配置法極點配置法采用極點配置法設(shè)計多輸出的倒立擺系統(tǒng)的控制方案?？梢杂猛耆珷顟B(tài)反饋來解決，控制擺桿和小車的位置。 圖 10 是控制系統(tǒng)的示意圖。圖圖 10 控制系統(tǒng)框圖控制系統(tǒng)框圖 假定所有的狀態(tài)變量都可以測量和反饋，可以證明：若所研究的系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，那么，利用狀態(tài)反饋的方法，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣，就可以把閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任何

21、期望的位置。 設(shè)開環(huán)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為： x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)其中，假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的x(k) 為在第 k 次采樣時刻的狀態(tài)矢量（n 維矢量）u(k) 為在第 k 次采樣時刻的控制信號（標(biāo)量）G = nn 矩陣H = n1 矩陣設(shè)極點配置的控制律形式為)()(kxKkup式中是狀態(tài)反饋增益矩陣（矩陣） ，于是該系統(tǒng)就成為一個閉環(huán)控制系統(tǒng)。其pKn1閉環(huán)狀態(tài)方程為 )()() 1(kxHKGkxp注意，的特征值就是所要求的閉環(huán)極點。 pHKG n,21我們希望利用狀態(tài)反饋把閉環(huán)極點布置在，)()(kxKkup1z2z。即要求特征方程為：nz)()(21npzz

22、zHKGzI 012211 nnnnnazazazaz根據(jù) Cayley_hamiton 定理, 經(jīng)過推導(dǎo) (此略) 可以得到 )(100011GHGGHHKnp其中IaGaGaGaGGnnnnn12211)(精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)上式給出所要求的狀態(tài)反饋增益矩陣。矩陣的這種特殊表達式就是常說的阿克pKpK曼公式。狀態(tài)反饋增益矩陣按這樣的方法確定，即可使誤差（由擾動所引起的）以足夠快的速度降到零。注意，對于一個給定的系統(tǒng)，矩陣并不是唯一的，而是取決于所期望的閉pK環(huán)極點位置（它決定響應(yīng)速度）的選擇。選擇期望的閉環(huán)極點或期望的特征方程是在誤差矢量響應(yīng)的快速性與對擾動和測量噪聲

23、敏感型之間的一個折衷方案。也就是說，如果我們使誤差響應(yīng)的速度提高，那么擾動和測量噪聲的有害影響往往也會增強。在確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣時，通常是通過比較按不同的期望閉環(huán)極點或期望特征方程得到pK的矩陣，并從中選出使整個系統(tǒng)達到的特性最好的那個矩陣。在實際設(shè)計時, 我們pKpK運用 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱中的“place”函數(shù)直接進行仿真和運算。先在連續(xù)域中進行計算，然后再轉(zhuǎn)到離散域。根據(jù)系統(tǒng)的性能要求，我們可取，這時完全滿足題中的性能要求。那么我們就可以進行離散域設(shè)計了：=0.707w3n z1=exp(-3*20.5)/2+(-3*20.5)*j/2)*0.005)z1 = 0.

24、9894 - 0.0105i z2=exp(-3*20.5)/2-(-3*20.5)*j/2)*0.005)z2 = 0.9894 + 0.0105i z3=exp(-10*0.005)z3 = 0.9512 z4=exp(-12*0.005)z4 = 0.9418 p=z1 z2 z3 z4;K=place(da,db,p)K = -38.6579 -25.5096 103.3247 17.9041 G=da-db*K; syse=ss(G,db,dc,dd,0.005); t=0:0.005:10; x0=0.05; 0; 0.0175; 0; y1,x=initial(syse,x0,t

25、); plot(t,y1(:,1),red,t,y1(:,2),blue)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)012345678910-0.0100.010.020.030.040.050.06位 位 位 位位 位圖圖 11 極點配置圖零輸入響應(yīng)極點配置圖零輸入響應(yīng)而它的單位階躍響應(yīng)是：u=ones(1,length(t); y,x=lsim(syse,u,t)012345678910-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015位 位位 位 位 位圖圖 12 極點配置單位階躍響應(yīng)極點配置單位階躍響應(yīng)從仿真效果來看，也是基本上達到了系統(tǒng)的

26、要求。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)PIDPID 控制算法控制算法目的：目的：設(shè)計 PID 控制器，使得當(dāng)在小車上施加 1N 的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：1、穩(wěn)定時間小于 5 秒2、穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.1 弧度分析：分析：系統(tǒng)輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如下：圖圖 13 PID 系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖圖中是控制器傳遞函數(shù)，是被控對象傳遞函數(shù)。)(sKD)(sG考慮到輸入，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成0)(sr圖圖 14 PID 系統(tǒng)反饋控制框圖系統(tǒng)反饋控制框圖該系統(tǒng)的輸出為)()()()()()()(

27、1)()()(1)()(sFnumnumPIDdendenPIDdenPIDnumsFdendenPIDnumnumPIDdennumsFsGsKDsGsy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)其中， 被控對象傳遞函數(shù)的分子項num被控對象傳遞函數(shù)的分母項denPID 控制器傳遞函數(shù)的分子項numPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分母項denPID被控對象的傳遞函數(shù)是dennumqbmglsqmglmMsqbmlssqmlsUs)()()(22343其中 )()(22mlmlImMqPID 控制器的傳遞函數(shù)為denPIDnumPIDsKsKsKsKKsKsKDIPDIPD2)(調(diào)節(jié) PID 控

28、制器的各個參數(shù)，以得到滿意的控制效果。前面討論的輸出量只考慮了擺桿角度，那么，在我們施加擾動的過程中，小車位置如何變化？考慮小車位置，得到改進的系統(tǒng)框圖如下：圖圖 15 改進的改進的 PID 系統(tǒng)控制框圖系統(tǒng)控制框圖其中，是擺桿傳遞函數(shù)，是小車傳遞函數(shù)。)(1sG)(2sG由于輸入信號，所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成：0)(sr精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)圖圖 16 等價等價 PID 系統(tǒng)控制框圖系統(tǒng)控制框圖其中，反饋環(huán)代表我們前面設(shè)計的擺桿的控制器。注注：從此框圖我們可以看出此處只對擺桿角度進行了控制，并沒有對小車位置進行控制。小車位置輸出為：)()()()()()()()()()(1

29、)()()(1)()(212112112212sFdennumnumPIDdendendenPIDdendenPIDnumsFdendenPIDnumnumPIDdennumsFsGsKDsGsX其中，分別代表被控對象 1 和被控對象 2 傳遞函數(shù)的分子和1num1den2num2den分母。和代表 PID 控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。下面我們來求，numPIDdenPID)(2sG根據(jù)前面實驗二的推導(dǎo)，有)(34)(2ssglsX可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為qbmglsqmglmMsqbmlsqmglsqmlsUsXsG)()()()(2234322342其中 )()(22mlmlImMq可

30、以看出， =，小車的算式可以簡化成： 1den2denden精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè))()()()()(12sFnumnumPIDkdendenPIDdenPIDnumsXMatlab 仿真仿真實際系統(tǒng)參數(shù)如下：M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*mF 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直方向的夾角T 采樣頻率 0.005 秒注意：在進行實際系統(tǒng)的 Matlab 仿真時，請將采樣頻率改為實際系統(tǒng)的采樣頻率。1參照上例的處理方法，

31、把實際系統(tǒng)參數(shù)代入，進行 PID 控制仿真，并找到合適的參數(shù)；2將小車推到導(dǎo)軌正中間位置，并且使擺桿處于自由下垂的靜止?fàn)顟B(tài)；3給計算機和電控箱通電；4打開計算機，在 DOS 操作系統(tǒng)下，鍵入“Pend” 啟動程序，并按“s”使系統(tǒng)處于準(zhǔn)備狀態(tài)；5按 “”鍵起擺，等擺桿立起來并穩(wěn)定下來之后（此時為 LQR 控制） ，選擇”控制器”菜單中的“PID” ，輸入?yún)?shù)，觀察小車和擺桿的運動；（注意由于控制器只對擺桿進行了控制，所以在 PID 中輸入?yún)?shù)后小車可能向一個方向運動，此時需用手輕輕扶一下擺桿）6按“T”停止擺桿，當(dāng)擺桿處于自由下垂的靜止?fàn)顟B(tài)，并在”控制器”菜單中選擇“PID” ，并參照仿真結(jié)果

32、，輸入 PID 控制器參數(shù), 觀察小車和擺桿的運動；（通過調(diào)整參數(shù)可以控制擺桿擺起并能夠豎直向上，此時可能需用手輕輕扶一下擺桿，以避免小車“撞墻” ） 。7如果控制效果不理想，調(diào)整控制器參數(shù)，直到獲得較好的控制效果；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)8運動曲線文件保存在當(dāng)前路徑下，其中 pos_x.dat 為小車位置，pos_t.dat 為擺桿角度，con_u.dat 為控制量；9到 MatLab 中運行如下指令，MatLab 會將保存的曲線重新繪制出來。S=load(路徑文件名)plot(S)1擺桿角度控制首先，需要把輸出為擺桿角度時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用 Matlab 表示出來，建立一個

33、 m-文件，將下面幾行表示傳遞函數(shù)的語句拷貝進去，其中k代表比例系數(shù)PK：M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;q =(M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; %simplifies inputnum = m*l/q 0 0den = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0kd=1k=1ki=1numPID= kd k ki ;denPID= 1 0 ;numc= conv ( num, denPID )denc= polyadd ( conv(denPID, den

34、), conv( numPID, num ) ) t = 0 : 0.05 : 5;impulse ( numc , denc , t )其中函數(shù) polyadd 是求兩個多項式之和的函數(shù)，它不是 Matlab 工具，因此必須把它拷貝到 polyadd.m 文件中, 并把該文件的目錄用 addpath 命令加到路徑中。Polyadd 函數(shù)內(nèi)容如下：functionpoly=polyadd(poly1,poly2)if length(poly1)0 poly=zeros(1,mz),short+long;else poly=long+short;end在這里我們假定比例、積分和微分控制都是必需的

35、?，F(xiàn)在，就可以進行系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的 PID 控制仿真了。在前面的 m-文件中加入下面的語句就可以得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)仿真結(jié)果：運行結(jié)果及響應(yīng)曲線如下：num = 2.3566 0 0den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0kd = 1k = 1ki = 1numc = 2.3566 0 0 0denc = 1.0000 2.4449 -25.4720 0.0471 0 0精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 00.511.522.533.544.55012345678910 x 107Impulse Responsewith PID control:k=1

36、,kd=1,ki=1Time (sec)Amplitude圖圖 1717 初始初始 PIDPID 參數(shù)擺角狀態(tài)圖參數(shù)擺角狀態(tài)圖系統(tǒng)響應(yīng)是不穩(wěn)定的，不能滿足要求，需要調(diào)整參數(shù)，和，直到獲得滿PKDKIK意的控制結(jié)果。首先增加比例系數(shù)，觀察它對響應(yīng)的影響，取=100，kd=1.系統(tǒng)響PKPK應(yīng)如下：num = 2.3566 0 0den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0kd = 1k = 100ki = 1numc = 2.3566 0 0 0denc = 1.0000 2.4449 207.8268 0.0471 0 0精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專

37、業(yè)00.511.522.533.544.55-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15Impulse Responsewith PID control k=100,ki=1,kd=1Time (sec)Amplitude圖圖 18 調(diào)節(jié)調(diào)節(jié) PID 參數(shù)后擺角輸出圖參數(shù)后擺角輸出圖系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為 4 秒，滿足要求。由于此時穩(wěn)態(tài)誤差為 0，所以不需要改變積分環(huán)節(jié)（你可以改變積分系數(shù)，觀察系統(tǒng)響應(yīng)如何變化） ；系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量比較大，為了減小超調(diào)，增加微分系數(shù)，取=20，響應(yīng)結(jié)果和響應(yīng)曲線如下：DKDKnum = 2.3566 0 0den = 1.0000 0.0883 -2

38、7.8285 -2.3094 0kd = 20k = 100ki = 1numc = 2.3566 0 0 0精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)denc = 1.0000 47.2194 207.8268 0.0471 0 000.511.522.533.544.5500.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1Impulse Responsewith PID control k=100,ki=20,kd=1Time (sec)Amplitude圖圖 19 微調(diào)微調(diào) PID 參數(shù)后擺角狀態(tài)曲線參數(shù)后擺角狀態(tài)曲線系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為 1 秒，超調(diào)約為 0.0

39、4，響應(yīng)滿足指標(biāo)要求。2小車位置變化仿真仿真小車位置變化的 m-文件內(nèi)容如下：M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;q =(M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; %simplifies inputnum1 = m*l/q 0 0den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0num2 = -(I+m*l2)/q 0 m*g*l/qden2 = den1kd = 20k = 100ki = 1numPID = kd k ki;denPID = 1 0;精選優(yōu)質(zhì)文檔-

40、傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)numc = conv(num2,denPID)denc = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1)t=0:0.05:5;impulse(numc,denc,t)仿真結(jié)果如下：num1 = 2.3566 0 0den1 = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0num2 = -0.8832 0 23.0942den2 = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0kd = 20k = 100ki = 1numc = -0.8832 0 23.0942 0denc = 1.0000 47.2194 207.8268 0.0471 0 0精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 圖圖 20 小車位置曲線小車位置曲線實驗結(jié)果及與仿真結(jié)果的對比分析實驗結(jié)果及與仿真結(jié)果的對比分析我們組于 2010 年 10 月前往倒立擺實驗室做實驗，我們共做了 PID、LQR 和極點配置法，由于事先已經(jīng)將參數(shù)設(shè)計好并經(jīng)過精心的仿真修改，所以實驗耗時并不長，我