導數(shù)微分及其應(yīng)用

1、第二講 導數(shù)、微分及其應(yīng)用一、 導數(shù)、偏導數(shù)和微分的定義對于一元函數(shù) 對于多元函數(shù) 對于函數(shù)微分 注：注意左、右導數(shù)的定義和記號。二、 導數(shù)、偏導數(shù)和微分的計算：1）能熟練運用求導公式、運算法則計算導數(shù)、偏導數(shù)和微分；2）隱函數(shù)、參數(shù)方程的導數(shù)3）高階導數(shù)：特別要注意萊布尼茨公式的運用。例1：求函數(shù)在處的階導數(shù)。解：，所以有 （1）利用萊布尼茨公式對（1）兩邊求階導數(shù)得 當時， 由此可得 例2：求的階導數(shù)。解： 設(shè)其中，則有注：計算時注意一階微分不變性的應(yīng)用。4）方向?qū)?shù)與梯度三、 導數(shù)、偏導數(shù)及微分的應(yīng)用1）達布定理：設(shè)在上可導，若則對介于的一切值，必有，使得。證明：在上可導，則在上一定有最

2、大值和最小值。 1、如果異號，無妨設(shè)， 由于，由極 限的保號性，當充分接近時有；當充分接近時有 ，這就說明不可能是在上的最大值， 所以一定存在，使得是在上的最大值，由費馬 定理可得。 2、對于一般的的情形，設(shè)是介于的值，考慮函 數(shù)，則有異號，由前 面的證明可得，存在有，即。2）羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理 其中，這里在與之間的某個值。3）一元函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值4）一元函數(shù)的凹凸性：在區(qū)間上凹：和，若，則；在區(qū)間上凸：和，若，則；性質(zhì)：1、如果在區(qū)間上是凹的，則和，若，一定有 ；2、如果在區(qū)間上是凸的，則和，若，一定有 證明：因為其中，所以用數(shù)學歸納法可證明以

3、上結(jié)論。例3：證明：若，則有 證明：考慮函數(shù)，因為 所以時，是凹函數(shù)。因此對于由性質(zhì)有 5）多元函數(shù)幾何應(yīng)用6）多元函數(shù)的極值：拉格朗日乘數(shù)法。例4：設(shè)在上連續(xù)，在上可導，。又在上連續(xù)，證明：至少存在一點使得。證明：因為在上連續(xù)，所以在上存在原函數(shù)，即有?？紤]函數(shù)，則有，由羅爾中值定理可得至少存在一點使得 因此至少存在一點使得。例5：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導， （1）如果，證明：至少存在一點，使得。 （2）如果，且對一切有，證明：至少存在一點 ，使得。證明：（1）如果函數(shù)在上是常數(shù)，則對于任意的都有。下面設(shè)不是常數(shù)，此種情形下存在使得，無妨設(shè)，取，因為，所以存在，當時有 因此我們有，由此我們可

4、得在上的最大值不在端點取得，由最大值和最小值定理和費馬定理至少存在一點使得 (2)因為，由夾逼準則得 考慮函數(shù)，則有在上連續(xù)，在上可導，并且，由（1）的結(jié)論可得至少存在一點，使得 。例6：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可微，是個正數(shù)，且，證明：存在使得 證明：利用介值定理，存在使得，無妨我們設(shè)，對函數(shù)分別在以為端點區(qū)間上運用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之間使得因此我們有 例7：設(shè)在上可導，證明：。證明：1）設(shè)在內(nèi)的最大值為，則有 這就得到在上有，特別是； 2）設(shè)在上有，設(shè)設(shè)在內(nèi)的 最大值為，則有 這就得到在上有， 由數(shù)學歸納法可得在上有。同理可得在上有 。例8：設(shè)在上有二階導數(shù)，證明：存在，使得 證明：設(shè)，將在點處展成三階泰勒公式當時，（1）當時，(2)得因為在可導，且在之間，由達布定理可得，存在使得，此時即有 例9：設(shè)在上二階可導，證明：對于，存在使得 證明：構(gòu)造函數(shù)，則有，利用羅爾中值定理，存在有，再利用一次羅爾中值定，存在使得，又因為由此可得 即有 例10：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可微，且。證明：（1）存在使得； （2）存在使得。證明：（1）考慮函數(shù)，因為，由零點定理，存在使得；（2）考慮函數(shù)，因為，由羅爾中值定理，存在使得，即有 。例11：設(shè)在上無窮次可微，并且滿足：存在，使得，；且，求證：在上。四、 練習題1）求函數(shù)的階導數(shù)。2）設(shè)在上有階導數(shù)，且