數(shù)值計算 1-2課程介紹+緒論

1、 信息與計算科學(xué)系信息與計算科學(xué)系 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計算機的廣泛應(yīng)用，科學(xué)隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計算機的廣泛應(yīng)用，科學(xué)計算已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實驗的第三種科計算已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實驗的第三種科學(xué)手段。學(xué)手段。 數(shù)值計算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者、計算機工作者、數(shù)值計算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者、計算機工作者、工程技術(shù)人員必須掌握的知識和工具。而工程技術(shù)人員必須掌握的知識和工具。而計算方計算方法法是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)相結(jié)合的一門學(xué)科。是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)相結(jié)合的一門學(xué)科。學(xué)習(xí)必要性 1956年在華羅庚教授主持下，首先設(shè)立計算數(shù)學(xué)年在華羅庚教授主持下，首先設(shè)立計算數(shù)學(xué)研究組。伴隨著我國獨立研制成功

2、的研究組。伴隨著我國獨立研制成功的103計算機、計算機、104計算機、計算機、119計算機、計算機、109乙機和乙機和109丙機相繼投入運行，丙機相繼投入運行，及國民經(jīng)濟和國防建設(shè)對于科學(xué)和工程計算的強烈需及國民經(jīng)濟和國防建設(shè)對于科學(xué)和工程計算的強烈需求，這支隊伍發(fā)展壯大極為迅速，求，這支隊伍發(fā)展壯大極為迅速， 高級研究人員中有高級研究人員中有馮康、徐鐘濟教授。馮康、徐鐘濟教授?！拔母镂母铩笔?，仍在周總理的支十年，仍在周總理的支持下，不斷發(fā)展。持下，不斷發(fā)展。 二十世紀(jì)五、六十年代是我國計算技術(shù)、計算數(shù)二十世紀(jì)五、六十年代是我國計算技術(shù)、計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算蓬勃發(fā)展的年代。研究領(lǐng)域幾乎覆學(xué)

3、與科學(xué)工程計算蓬勃發(fā)展的年代。研究領(lǐng)域幾乎覆蓋了計算數(shù)學(xué)的所有分支。蓋了計算數(shù)學(xué)的所有分支。 計算數(shù)學(xué)在中國的發(fā)展 面向結(jié)構(gòu)工程和固體力學(xué)計算的邊值問題數(shù)值方法；面向結(jié)構(gòu)工程和固體力學(xué)計算的邊值問題數(shù)值方法； 面向流體力學(xué)計算的初值與初邊值問題數(shù)值方法面向流體力學(xué)計算的初值與初邊值問題數(shù)值方法 ； 面向復(fù)雜系統(tǒng)控制的常微分方程數(shù)值解法；面向復(fù)雜系統(tǒng)控制的常微分方程數(shù)值解法； 面向交通運輸?shù)鹊淖顑?yōu)化計算，面向交通運輸?shù)鹊淖顑?yōu)化計算， 面向經(jīng)濟、人口和社會面向經(jīng)濟、人口和社會 發(fā)展的概率統(tǒng)計計算發(fā)展的概率統(tǒng)計計算 ； 面向計算機圖形與顯示技術(shù)的計算幾何學(xué)等。面向計算機圖形與顯示技術(shù)的計算幾何學(xué)等。

4、數(shù)值逼近，有限元法，邊界元法，并行計算，多重網(wǎng)格數(shù)值逼近，有限元法，邊界元法，并行計算，多重網(wǎng)格計算，最優(yōu)化計算方法，計算幾何等。計算，最優(yōu)化計算方法，計算幾何等。研究內(nèi)容與方向雅可比雅可比笛卡兒笛卡兒馮馮 康康歐拉歐拉 03 世紀(jì)世紀(jì)泰勒泰勒 拉格朗日拉格朗日柯西柯西牛頓牛頓萊布尼茲萊布尼茲 伯努利伯努利高斯高斯狄利克雷狄利克雷維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯 劉徽劉徽16 世紀(jì)世紀(jì)17 世紀(jì)世紀(jì)18 世紀(jì)世紀(jì)19 世紀(jì)世紀(jì)20 世紀(jì)世紀(jì)華羅庚華羅庚數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家劉徽劉徽( (約約225 295225 295年年) )劉徽是我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家劉徽是我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的他撰寫

5、的重重 差差對對九章算術(shù)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評中的方法和公式作了全面的評 注注, 指出并糾正了其中的錯誤指出并糾正了其中的錯誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻理論上作出了杰出的貢獻 .他的他的 “ 割圓術(shù)割圓術(shù) ” 求圓周率求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要的重要極限思想極限思想 . 的方法的方法 :高斯高斯(1777 1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和

6、物理學(xué)家德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 , 在數(shù)論、在數(shù)論、 級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻性的貢獻, 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、 曲面論和位勢論等曲面論和位勢論等. 他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎, 原則原則: 代數(shù)、非歐幾何、代數(shù)、非歐幾何、 微分幾何、微分幾何、 超幾何超幾何 在

7、對天文學(xué)、大在對天文學(xué)、大恪守這樣的恪守這樣的 “問題在思想上沒有弄通之前決不動筆問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”. 華羅庚華羅庚(1910 1985)我國在國際上享有盛譽的數(shù)學(xué)家我國在國際上享有盛譽的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程程,都作出了卓越的貢獻都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇篇.偏微分方偏微分方多復(fù)變函數(shù)論多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué)矩陣幾何學(xué), 典型群典型群,他對青年學(xué)生的成長非常關(guān)心他對青年學(xué)生的成長非常關(guān)心, 他提出治學(xué)之道是他提出治學(xué)之道是 “ 寬

8、寬, 專專, 漫漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬即基礎(chǔ)要寬, 專業(yè)要專專業(yè)要專, 要使自己的專業(yè)要使自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域知識漫到其它領(lǐng)域. 1984年來中國礦業(yè)大學(xué)視察時給年來中國礦業(yè)大學(xué)視察時給給師生題詞給師生題詞: “ 學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) ”. 馮馮 康康 國際上享有盛名的計算數(shù)學(xué)家國際上享有盛名的計算數(shù)學(xué)家. 1944年畢業(yè)于中央大學(xué)電機工程系。年畢業(yè)于中央大學(xué)電機工程系。曾任中科院計算中心主任、名譽主任。曾任中科院計算中心主任、名譽主任。還擔(dān)任國內(nèi)和國際上許多大學(xué)，研究所還擔(dān)任國內(nèi)和國際上許多大學(xué)，研究所的兼職教授、名譽教授等職。的兼職教授、名譽教授等職。1980年

9、當(dāng)年當(dāng)選為中科院院士。選為中科院院士。 馮康馮康先生在上世紀(jì)五六十年代中國與世界數(shù)學(xué)界先生在上世紀(jì)五六十年代中國與世界數(shù)學(xué)界隔絕的情況下，獨立創(chuàng)造了求解微分方程的隔絕的情況下，獨立創(chuàng)造了求解微分方程的有限元有限元方法方法，并先于西方建立了嚴(yán)密的理論體系，是國際，并先于西方建立了嚴(yán)密的理論體系，是國際公認(rèn)的當(dāng)代計算數(shù)學(xué)的一項重大成就公認(rèn)的當(dāng)代計算數(shù)學(xué)的一項重大成就 。并于上世紀(jì)。并于上世紀(jì)八九十年代開創(chuàng)了八九十年代開創(chuàng)了辛幾何算法辛幾何算法。計算方法教學(xué)大綱 課程編號：課程編號： 學(xué)時：學(xué)時：40/60 學(xué)分：學(xué)分：3課程性質(zhì)：課程性質(zhì)：必修必修適用專業(yè)：適用專業(yè)：數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)類專業(yè) 課程別名

10、：課程別名：數(shù)值分析數(shù)值分析計算方法性質(zhì)、任務(wù)性質(zhì)性質(zhì)“計算方法計算方法”研究用計算機解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及研究用計算機解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及理論，是與計算機使用密切結(jié)合的實用性強的數(shù)學(xué)課程。理論，是與計算機使用密切結(jié)合的實用性強的數(shù)學(xué)課程。 任務(wù)任務(wù)熟練掌握常用的數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析；熟練掌握常用的數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析； 提高算法設(shè)計和理論分析能力；提高算法設(shè)計和理論分析能力； 對所學(xué)數(shù)值計算方法能編程在計算機上算出結(jié)果。對所學(xué)數(shù)值計算方法能編程在計算機上算出結(jié)果。計算方法課時安排授課內(nèi)容授課內(nèi)容講課講課習(xí)題習(xí)題試驗試驗課外課外一般概念一般概念4026Mathematic

11、a/Matlab0024插值與擬合插值與擬合100412數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分40410線性方程組直接與迭代解線性方程組直接與迭代解6028非線性方程的解法非線性方程的解法6026常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法2226合計合計3421854計算方法考核方式期末考試期末考試 70上機試驗上機試驗 10平時成績平時成績 20計算方法參考教材使用教材使用教材實用數(shù)值分析教程實用數(shù)值分析教程冶金工業(yè)出版社出版冶金工業(yè)出版社出版 劉春鳳、何亞麗主編劉春鳳、何亞麗主編 參考教材參考教材應(yīng)用數(shù)值分析應(yīng)用數(shù)值分析 冶金工業(yè)出版社出版冶金工業(yè)出版社出版 劉春鳳、米翠蘭主編劉春鳳、米翠蘭主編

12、數(shù)值分析數(shù)值分析清華大學(xué)出版社出版清華大學(xué)出版社出版 李慶楊主編李慶楊主編計算方法計算方法課的要求課的要求1. 按時上課，不遲到；按時上課，不遲到；2. 每次都認(rèn)真完成并按時上交作業(yè)；每次都認(rèn)真完成并按時上交作業(yè)；3. 每個同學(xué)盡量做好筆記；每個同學(xué)盡量做好筆記；4. 有問題及時提問，做到聽得懂、會做題。有問題及時提問，做到聽得懂、會做題。辦公室：科技摟辦公室：科技摟804。學(xué)習(xí)計算方法的要求學(xué)習(xí)計算方法的要求計算方法計算方法課作業(yè)要求課作業(yè)要求 每章上交一次作業(yè)，下章第一次課上交；每章上交一次作業(yè)，下章第一次課上交； 要求必須在課前提交，課代表記錄情況。要求必須在課前提交，課代表記錄情況。

13、實驗作業(yè)要求以電子文檔形式上交。實驗作業(yè)要求以電子文檔形式上交。2. 通過郵箱將常見錯誤和標(biāo)準(zhǔn)答案下發(fā)，通過郵箱將常見錯誤和標(biāo)準(zhǔn)答案下發(fā)， 要求必須定期去查看相關(guān)作業(yè)。要求必須定期去查看相關(guān)作業(yè)。3. 郵箱：郵箱： 密密 碼：碼：jisuan學(xué)習(xí)計算方法的作業(yè)要求學(xué)習(xí)計算方法的作業(yè)要求第一章第一章 緒論緒論緒 論 數(shù)值分析的研究對象數(shù)值分析的研究對象 誤差的來源與分類誤差的來源與分類相對、絕對誤差，有效數(shù)字相對、絕對誤差，有效數(shù)字誤差的傳播誤差的傳播避免誤差的準(zhǔn)則避免誤差的準(zhǔn)則研究求數(shù)學(xué)問題近似解的方法和過程研究求數(shù)學(xué)問題近似解的方法和過程實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法的理論程序設(shè)計上機計算求出

14、結(jié)果一 數(shù)值分析的研究對象計算數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究例子研究例子: :求解線性方程組求解線性方程組 604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx 78. 020. 025. 033. 01 . 125. 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321xxxxxxxxx如把方程組的系數(shù)舍如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字入成兩位有效數(shù)字它的解為它的解為x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.其準(zhǔn)確解為：其準(zhǔn)確解為：x1=x2=x3=1一 數(shù)值分析的研究對象數(shù)值分析基本內(nèi)容Mathematica程

15、序初步程序初步插值與擬合插值與擬合數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分線性方程組的直接解法與迭代解線性方程組的直接解法與迭代解非線性方程的解法非線性方程的解法常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法二、數(shù)值分析的主要內(nèi)容二、數(shù)值分析的主要內(nèi)容矩陣特征值的計算矩陣特征值的計算時間復(fù)雜性好時間復(fù)雜性好_指節(jié)省時間；指節(jié)省時間；空間復(fù)雜性好空間復(fù)雜性好_指節(jié)省存儲空間。指節(jié)省存儲空間。想想的精確度的精確度; ;收斂且穩(wěn)定收斂且穩(wěn)定; ;誤差可以分析或估計誤差可以分析或估計. .數(shù)值分析的主要特點三、數(shù)值分析的主要特點三、數(shù)值分析的主要特點為數(shù)學(xué)問題提供計算機上切實可行的算法為數(shù)學(xué)問題提供計算機上切實可行

16、的算法. .所提出的算法必須具有：可靠的理論分析所提出的算法必須具有：可靠的理論分析; ;理理 計算復(fù)雜性好計算復(fù)雜性好 通過數(shù)值實驗證明算法行之有效通過數(shù)值實驗證明算法行之有效. .數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析( (高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)) )高等代數(shù)高等代數(shù)( (線性代數(shù)線性代數(shù)) )微分方程微分方程數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)數(shù)值分析的準(zhǔn)備知識四、學(xué)習(xí)數(shù)值分析的準(zhǔn)備知識四、學(xué)習(xí)數(shù)值分析的準(zhǔn)備知識誤誤 差差 的的 來來 源源第第 1 1 節(jié)節(jié)誤差的來源誤差的分類(1)模型誤差模型誤差_數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差.(2)觀測誤差觀測誤差_由觀測、觀察產(chǎn)生的誤差由觀測、觀察產(chǎn)生的誤

17、差.(3)截斷誤差截斷誤差_由簡化問題（計算公式）所引起的解由簡化問題（計算公式）所引起的解的的誤差誤差( (也稱方法誤差也稱方法誤差).). )(110907256423020126211111098765432xoxxxxxxxxxxx )1ln()1()(xxxf 將函數(shù)將函數(shù) 展成的冪級數(shù)展成的冪級數(shù).再如：函數(shù)再如：函數(shù)f(x)用泰勒多項式近似代替用泰勒多項式近似代替nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 3.149323846(4) 舍入誤差舍入誤差_數(shù)字計算過程中產(chǎn)生的誤差數(shù)字計算過程中產(chǎn)生的誤差則數(shù)值方法的截斷誤差是則數(shù)值方法的截斷誤差是之間

18、與在xxnfxPxfxRnnnn0)!1()()()()(1)1(誤差的分類 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字第第2節(jié)節(jié))(_*絕絕對對誤誤差差限限誤誤差差限限 xxe精確值精確值_x)(_*絕絕對對誤誤差差誤誤差差xxe *xxorxxx,_. 1*近似值近似值定義定義x誤差的一般描述一、誤差的一般描述一、誤差的一般描述 另外，另外， 經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)，其誤差必定不超經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)，其誤差必定不超如：用毫米刻度的米尺測量一長度如：用毫米刻度的米尺測量一長度x，讀出的數(shù)為，讀出的數(shù)為5 .1235 .1225 . 0* xxx22105 . 00016. 014. 3105 . 014.

19、 3: 因因為為，則則誤誤差差限限為為的的近近似似值值為為取取如如123mm，它是，它是x的近似值，它的誤差限是的近似值，它的誤差限是0.5mm,即即過被保留的最后數(shù)位上的半個單位，即最后數(shù)位上的過被保留的最后數(shù)位上的半個單位，即最后數(shù)位上的半個單位為其誤差限。半個單位為其誤差限。誤差的一般描述)(_*理理論論式式的的相相對對誤誤差差xxxxxeer 絕對誤差限和相對誤差限均無窮多絕對誤差限和相對誤差限均無窮多, ,自然越小越好自然越小越好. .誤差估計的任務(wù)就是提供好的誤差限誤差估計的任務(wù)就是提供好的誤差限, ,對于任何一個近對于任何一個近似值似值, ,如果得到一個好的誤差限如果得到一個好的

20、誤差限, ,那么就可以肯定這些數(shù)那么就可以肯定這些數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確可靠的據(jù)是準(zhǔn)確可靠的! !)(_*應(yīng)應(yīng)用用式式的的相相對對誤誤差差xxxxxeer 的相對誤差限的相對誤差限*_ xxxxxeerr 相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異. .誤差的一般描述如果如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 稱近似數(shù)稱近似數(shù)x準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字; ;定義定義: :小數(shù)點后第小數(shù)點后第k位位, 從這小數(shù)點后第從這小數(shù)點后第k位數(shù)字直到最位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字左邊

21、非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字. .有效數(shù)字越多有效數(shù)字越多,誤差越小誤差越小,計算結(jié)果越精確計算結(jié)果越精確.有效數(shù)字二、有效數(shù)字二、有效數(shù)字 x3=1.7320是其近似值是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字問它們分別有幾位有效數(shù)字?到到小小數(shù)數(shù)點點后后兩兩位位。有有三三位位有有效效數(shù)數(shù)字字，準(zhǔn)準(zhǔn)確確故故1221105010205080002050807313xxx,.|.|* .,105 . 010.508. 0.0000508. 0|7320. 13|3343*有有四四位位有有效效數(shù)數(shù)字字故故xxx .,105 . 010.491. 0.0000491. 0|7321. 13|244

22、2*有有五五位位有有效效數(shù)數(shù)字字故故xxx 7320508. 13* x設(shè)設(shè)例例 1.1x1=1.73, x2=1.7321,有效數(shù)字解解 按定義，上述各數(shù)具有按定義，上述各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)位有效數(shù)字的近似數(shù)分別是：分別是： 187.93，0.037856，8.0000，2.7183。注意：注意： 8.000033 的的5位有效數(shù)字近似數(shù)是位有效數(shù)字近似數(shù)是8.0000而不是而不是8，因為，因為8只有只有1位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效位有效數(shù)字的近似數(shù)：數(shù)字的近似數(shù)： 187.9325，0.03785551，8.0000

23、33，2.7182818.例例1.2有效數(shù)字?722,141. 3,142. 3:321數(shù)數(shù)字字近近似似值值各各具具有有幾幾位位有有效效的的分分別別作作為為問問 xxx解解:.41位位有有效效數(shù)數(shù)字字具具有有x.32位位有有效效數(shù)數(shù)字字具具有有x0005. 01021.00004. 031 x 005. 01021.59000. 022 x 005. 01021.26001. 023 x .33位位有有效效數(shù)數(shù)字字具具有有x 3.149323846例例 1.3有效數(shù)字注注意意(1)有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān);(2)有效數(shù)位越多有效數(shù)位越多,相對誤差越小相對

24、誤差越小.有效數(shù)字第 3 節(jié)數(shù)值計算中的誤差傳播)( )( *xfyxfy 設(shè)設(shè)dyyxfxfyyye )()()(*)(ln)()(*ydydyyyeyer 例例1.5.ln,21的的相相對對誤誤差差求求xyxyn )()(ln)(ln)(1xnexndxdyernr xxexxdxdyerrln)(ln)(ln)ln(ln)(2 基本運算中的誤差估計 一、基本運算中的誤差估計一、基本運算中的誤差估計多元函數(shù)有類似的結(jié)果多元函數(shù)有類似的結(jié)果 nkkkknnnxxxxxfxxfxxf1*11*1)(),(),(),( nkkkxexfydye1*)()()(故故絕絕對對誤誤差差為為 nkkrn

25、kknknkkrxexxfxxfxxfxexffdyyeye1111)(),(),()()(ln)()(*相對誤差為相對誤差為基本運算中的誤差估計:*2*1*2*1）則則（及及）（，其其絕絕對對誤誤差差限限分分別別為為與與若若兩兩個個近近似似數(shù)數(shù)xxxx ）（）（）（）（）（*1221122121xxxxxexxexxxe ./*）（）（）（）（0222122121 xxxexxexxxe）（）（）（）（）（*212121xxxexexxe ）（）（）（）（）（*/122221221221211xxxxxxxexxexxxe 基本運算中的誤差估計:,*2*1*2*1則則）（）及及（為為，其其相

26、相對對誤誤差差限限分分別別與與若若兩兩個個近近似似數(shù)數(shù)xxxxrr *2*1*2*2*1*1*2*1)()(xxxxxxxxrrr ）（)(),(max:*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr ）（同號時同號時與與特別地特別地）（）（）（*2*1*2*1xxxxrrr ）（）（）（*/2121xxxxrrr 基本運算中的誤差估計數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題第 4 節(jié) 1. 要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值;2。避免兩個相近的數(shù)相減。避免兩個相近的數(shù)相減;3. 要防止大數(shù)要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)小數(shù);2。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的計算方法。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的計算方法;

27、2。簡化計算步驟和公式，設(shè)法減少運算次數(shù)。簡化計算步驟和公式，設(shè)法減少運算次數(shù)。避免誤差危害的若干原則 避免誤差危害的若干原則避免誤差危害的若干原則解：解：ndxxdxxxxIInnnn可得算法：可得算法： )20, 2 , 1(511823. 05ln6ln10nInIInn建立積分建立積分20, 1 , 0510 ndxxxInn的遞推關(guān)系式，并研究它的誤差傳遞。的遞推關(guān)系式，并研究它的誤差傳遞。例例1.6一、使用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式一、使用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式避免誤差危害的若干原則這個算法不具有穩(wěn)定性，因為這個算法不具有穩(wěn)定性，因為1823. 00 I的舍入誤差傳播

28、到的舍入誤差傳播到 時，該誤差放大時，該誤差放大5倍，傳到倍，傳到1I20I時，該誤差將是時，該誤差將是 倍，當(dāng)倍，當(dāng)n較大時，誤差將較大時，誤差將205淹沒真值，這種遞推公式不宜采用。淹沒真值，這種遞推公式不宜采用。5561 , 0nnnxxxxx 時時，所以有估計式所以有估計式)1(51)1(61 nInn避免誤差危害的若干原則于是于是2151216120 I粗略地取粗略地取0087301587. 021051126120 I可得另一算法：可得另一算法： )1 ,19,20)(1(510087301587. 0120nInIInn這個算法是穩(wěn)定的，因為由這個算法是穩(wěn)定的，因為由 引起的誤差

29、在引起的誤差在以后的計算過程中將逐漸減小。以后的計算過程中將逐漸減小。20I避免誤差危害的若干原則二、防止相近的兩數(shù)相減（損失過多的有效數(shù)字）二、防止相近的兩數(shù)相減（損失過多的有效數(shù)字）避免誤差危害的若干原則很接近時，應(yīng)用很接近時，應(yīng)用和和如果如果21xx.lglglg2121xxxx 應(yīng)應(yīng)用用很很大大時時當(dāng)當(dāng),x,111 xxxx一一般般情情況況，時時當(dāng)當(dāng))()(*xfxf 可可用用泰泰勒勒展展開開 )(2)( )( )()(*xxxfxxxfxfxf取右端的有限項近似代替左端。取右端的有限項近似代替左端。 當(dāng)兩個絕對值相差很大的數(shù)進行加法或減法運當(dāng)兩個絕對值相差很大的數(shù)進行加法或減法運算時

30、算時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)吃掉吃掉從從而引起計算結(jié)果不可靠而引起計算結(jié)果不可靠.三、防止大數(shù)吃小數(shù)三、防止大數(shù)吃小數(shù)避免誤差危害的若干原則在在4位有效數(shù)字的限制下，計算：位有效數(shù)字的限制下，計算： 100012000kkA 1000214010,.,. ii其中其中解解10002110001.20002000 kkA從左到右從左到右,逐項相加逐項相加.2000200010001 kkA 如果先計算如果先計算 10001kk , 再加再加240010004 . 0200010001 . 020002100 A絕對值越小的數(shù)越先被相加很可能會優(yōu)化求和的精

31、確度絕對值越小的數(shù)越先被相加很可能會優(yōu)化求和的精確度.大大數(shù)數(shù)吃吃小小數(shù)數(shù)例例例例1.10避免誤差危害的若干原則 分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤,因而產(chǎn)生大的因而產(chǎn)生大的誤差誤差, 此時可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做此時可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做.很很多多。時時，舍舍入入誤誤差差可可能能增增大大當(dāng)當(dāng)對對于于xyyx ,/四、防止接近零的數(shù)做除數(shù)四、防止接近零的數(shù)做除數(shù)避免誤差危害的若干原則 線性方程組線性方程組 22100001.02121xxxx，的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確解解為為11000000.500003199999x 999995. 01999991999982 x失真的原因：失

32、真的原因： 除數(shù)的絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值。除數(shù)的絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值。 .2000. 0101000. 0102000. 010,1000. 0101000. 0101000. 010121112114xxxx如果把方程改寫成：如果把方程改寫成：,.).(減減第第二二方方程程）后后除除第第一一個個方方程程再再乘乘（若若用用200001010000104 )(1, 021嚴(yán)重失真！嚴(yán)重失真！得到：得到： xx例例1.11避免誤差危害的若干原則五、注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)五、注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)避免誤差危害的若干原則 求一個問題的數(shù)值解往往有多種算法，不同的求一個問題

33、的數(shù)值解往往有多種算法，不同的算法需要不同的計算量，而計算量的大小會影響誤算法需要不同的計算量，而計算量的大小會影響誤差的積累。差的積累。 .,的的原原則則這這是是數(shù)數(shù)值值計計算算必必須須遵遵從從舍舍入入誤誤差差還還能能減減少少算算時時間間不不但但可可節(jié)節(jié)省省計計算算機機的的計計如如果果能能減減少少運運算算次次數(shù)數(shù)同同樣樣一一個個計計算算問問題題若直接計算，再逐項相加共需要做若直接計算，再逐項相加共需要做4+3+2+1=10次次乘法和乘法和4次加法次加法.分析分析若用著名的秦九韶算法：若用著名的秦九韶算法：5)4)3)2()(4 xxxxxP只要做只要做4次乘法和次乘法和4次加法。次加法。54

34、323)(2344xxxxxP例例1.12求下列多項式在求下列多項式在 的值的值2 x避免誤差危害的若干原則2)1(12)1( nnnn0111axaxaxaxPnnnnn )(,的的值值,再再逐逐項項相相加加若若直直接接計計算算kkxa一共需做一共需做次乘法和次乘法和 n 次加法。次加法。計算多項式計算多項式推而廣之推而廣之避免誤差危害的若干原則若用秦九韶算法：若用秦九韶算法：只要做只要做n次乘法和次乘法和n次加法。次加法。利用等價變換使下列表達式計算比較精確利用等價變換使下列表達式計算比較精確.; 111211)1( xxxx; 111)2( xxxxx例例1.13避免誤差危害的若干原則)

35、1)(21(211211)1(2xxxxxx xxxxxxxxx11211)2( ; 11)3(12 xxxtdt; 1)1ln()4(2 xxxxxtdtxxarctan)1arctan(1)3(12 xxxxxxxx)1(11arctan)1(1)1(arctanarctan)1arctan(arctantan 2221(4) ln(1)lnln(1);1xxxxxx 避免誤差危害的若干原則避免誤差危害的若干原則; 11)5( xex0;cos1)6( xx0.sincos1)7( xxx;! 41! 31! 211)5(432xxxxex ;2sin2cos1)6(2xx .2tan2c

36、os2sin22sin2sincos1)7(2xxxxxx （1 1）誤差的種類及表示方法；）誤差的種類及表示方法；內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)（2 2）有效數(shù)字的定義及求解；）有效數(shù)字的定義及求解；（3 3）避免誤差的五個原則。）避免誤差的五個原則。 計算：計算：3)1212( 序序號號 算式算式 Math數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)10.32 0.330.340.36)12( 27099 6)121( 270991 5/72 0040960. 0)52(6 00523278. 0)125(6 00507614. 01971 12/172 00523278. 0)125(6 16666667. 061 005019

37、95. 0)2912(6 00504626. 0237812 1列表分析列表分析例例1.14避免誤差危害的若干原則 計算計算 ，取，取 ，利用下列等，利用下列等式計算，哪一個得到的結(jié)果最好？式計算，哪一個得到的結(jié)果最好？321()21f4 . 12 61( 21)3(32 2)9970 2答案：答案：思考與練習(xí)270991 270991 定義定義1:1: 有效數(shù)字有效數(shù)字- -如果如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 稱近似數(shù)稱近似數(shù)x準(zhǔn)確到小數(shù)點后第準(zhǔn)確到小數(shù)點后第k位位,從這小數(shù)點后第從這小數(shù)點后第k位數(shù)字直到位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字. 定義定義2:2: 設(shè)設(shè)x x的近似值的近似值 x x* * 為為: :mnaaaax10. 0321* 0,9,.,2 , 1 , 0,.,:121 aaaan其中其中即即的的半半個個單單位位的的絕絕