數(shù)字信號處理 (2)

1、第一章第一章 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng) 離散時間信號 采樣 離散信號的傅氏變換與Z變換 離散時間系統(tǒng) 系統(tǒng)函數(shù)1.1 離散時間信號離散時間信號（）單位脈沖序列0, 00, 1)(nnn（）單位階躍序列（）單位階躍序列0, 00, 1)(nnnu（）矩形序列（）矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n（）實指數(shù)序列（）實指數(shù)序列)()(nuanxn（）正弦序列（）正弦序列x(n) = sin（n0）sin(n0)-1(5)正弦型序列正弦型序列 )cos()(0nAnx為相位為數(shù)字頻率，為幅度，00)cos()(AnAnxn（6）復指數(shù)序列）復指數(shù)序列0()

2、00( )(cossin)jnnx nAeAenjn 當0時x(n)的實部和虛部分別是余弦和正弦序列。 序列的運算序列的運算 1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)注：以上均為序列對應(yīng)點相加、相乘注：以上均為序列對應(yīng)點相加、相乘3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(絕對可和序列xBnx )( 有界序列 )()()(mnmxnxm6、序列的單位脈沖序列表示 5、實序列的偶部和奇部 )()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo1.2 采樣采樣對

3、信號進行時間上的離散化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。研究內(nèi)容： 信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化） 信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號） 由離散信號恢復連續(xù)信號的條件采樣的這些性質(zhì)對離散信號和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過程。1.1.采樣過程采樣過程 采樣器一般由電子開關(guān)組成，開關(guān)每隔秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實現(xiàn)一次采樣。 連續(xù)時間信號的采樣采樣器)(txa)(txpP(t)TTfs1如開關(guān)每次閉合秒，則采樣器的輸出是一串重復周期為T，寬度為的脈沖，(如圖)脈沖的幅度是這段時間內(nèi)信號的幅度(如圖)，這一采樣過程可看作是一個

4、脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為的矩形脈沖，以P(t)表示,調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t),則采樣輸出為 一般很小, 越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時間點上的瞬時值。 )()()(tptxtxap2. 理想采樣理想采樣 開關(guān)閉合時間0時，為理想采樣。 特點：采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些沖激函數(shù)準確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準確地等于輸入信號在采樣瞬間的幅度。即：理想采樣可看作是對沖激脈沖載波的調(diào)幅過程。我們用M(t)表示這個沖激載波， nnTttM)()(則有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()( 實際情況下，0達不到

5、，但(35)max。同時，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分量進入。3）歸一化數(shù)字角頻率=T=/fs s=sT=2表表一一些些典典型型的的數(shù)數(shù)字字信信號號處處理理系系統(tǒng)統(tǒng)應(yīng)用系統(tǒng)上限頻率maxf采樣頻率sf地質(zhì)勘探500Hz1-2 kHz生物醫(yī)學1kHz-kHz機械振動kHz4-10 kHz語音kHz8-16 kHz音樂kHz40-96 kHz視頻MHz8-10 MHz4采樣的恢復（恢復模擬信號）采樣的恢復（恢復模擬信號）如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折迭頻率 則理想采樣的頻譜就

6、不會產(chǎn)生混疊，因此有 =0部分）進行變換的z變換，其定義為單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。0)()(nnznxzX三、三、 z變換的收斂域變換的收斂域 一般，序列的Z變換 并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和絕對值可和，因此z平面的收斂域應(yīng)滿足 因為對于實數(shù)序列， 因此，|z| 值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這個范圍一般表示為nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()( Rx

7、-|z|Rx+ 這就是收斂域，一個以Rx-和Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為Rx-等于0，Rx+為無窮大，這時圓環(huán)變成圓或空心圓。 z變換的收斂域 jImzRx+Rx-Rez0這里主要討論以下四種序列：a 有限長序列有限長序列序列 (序列x(n)只在有限長度n1n2 內(nèi)有值，其余為零)其Z變換X（z）是有限項的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項有界，有限項和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n，n1nn2。 顯然 |z| 在整個開域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除 0 及 n

8、nnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX 兩個點（對應(yīng)n0不收斂）以外的整個 z 平面： 0|z|如果對n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件|z|-n（n1nn2），收斂域可進一步擴大為包括0點或點的半開域： 0|00021nznz 例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域為整個閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級數(shù)求和 nnzznzX11)()(0nNnNnnNzzzzznRzX10)1(2111)()(|0,11)(1zzzzXNb 右邊序列右邊序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nRx- 為收斂半

9、徑Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1 0的右邊序列，因果序列只在n0有值，nn2時，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx-如Rx+Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂. Z變換小結(jié) Z變換收斂域的特點：1）收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內(nèi)收縮到原點，有時可向外擴展到，只有x（n）=（n）的收斂域是整個z平面。2）在收斂域內(nèi)沒有極點，X（z）在收斂域內(nèi)每一點上都是解析函數(shù)。 Z變換表示法：級數(shù)形式解析表達式（注意:只表示收斂域上的函數(shù)，要同時注明收斂域） 已知函數(shù)

10、X(z)及其收斂域，反過來求序列x(n)的變換稱為逆z變換，常用Z-1x(z)表示。若 則逆z變換為： 逆z變換是一個對X(z)zn-1進行的圍線積分，積分路徑C是一條在X（z）收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）以內(nèi)反時針方向繞原點一周的單圍線。xxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc四、逆四、逆z變換變換圍線積分路徑證： 設(shè)積分路徑C在半徑為R的圓上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，則 mcmncnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(2111(1)11Re2210,002kkj kjcckjkzdzRejdjjk

11、Redknmk這個公式稱為柯西積分定理。因此 或 mcmnnxdzzjmx)(21)(1)(),()()(211xxcnRRcnxdzzzXj直接計算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求z反變換，求解逆z變換的常用方法有：l 冪級數(shù)l 留數(shù)定律法l 部分分式法常用序列z變換（可直接使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNN五、五、z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理中常常要用到 、 六、DTFT與z變換 njnjenxeX)()(njnezjenxzXeXj)()()( )( )nnX zx n z七、七、Parseval定理定理z變換的

12、重要性質(zhì)之一變換的重要性質(zhì)之一 若有兩序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z|Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1則 其中，C 所在收斂域為 X(v) 和 Y*(1/V*) 兩者收斂區(qū)域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -ncdvvvYvXjnynx1*)/1 (*)(21)(*)(證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復共軛和復卷積特性(p21表1.3，第7和第10)：則 由于假設(shè)條件中已規(guī)定收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1 (又因 因此 證畢1(1)( ) *( )( ) *( )nznnWx n yn zx n yn111( ) *( )( ) *2cnx n ynX v Yv dvvj如果 X（v）、Y（v）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時 ,Parsev