完全平方數(shù) - E度教育論壇

1、第9講 完全平方數(shù)第一部分 基本知識點(diǎn)這是重中之重一個自然數(shù)平方后所得到的數(shù)叫完全平方數(shù)，也叫平方數(shù)。0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，都是完全平方數(shù)，同學(xué)們要數(shù)記前20個完全平方數(shù)。觀察這些完全平方數(shù)，可以得到完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)： 性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9。 推論：個位數(shù)是2，3，7，8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；性質(zhì)2：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)。性質(zhì)3：完全平方數(shù)除以3余0或1；完全平方數(shù)除以4余

2、0或1；。 性質(zhì)4：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，則是位數(shù)字是奇數(shù)。性質(zhì)5：完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，每個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)都是偶數(shù)。性質(zhì)6：一個正整數(shù)如果是完全平方數(shù)，那么它有奇數(shù)個約數(shù)(包括1和它本身)。 一個正整數(shù)如果它有奇數(shù)個約數(shù)(包括1和它本身)，那么它是完全平方數(shù)。 約數(shù)個數(shù)為3的自然數(shù)一定是某個質(zhì)數(shù)的平方。性質(zhì)7：平方差公式A2B2（AB）（AB），其中AB與AB的奇偶性相同。第二部分 學(xué) 案 學(xué)案1 完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9，可是個位數(shù)字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方數(shù)，那么我們定義：個位數(shù)字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方數(shù)的自然數(shù)為“

3、偽平方數(shù)”，那么在兩位數(shù)中，偶數(shù)與偽平方數(shù)那個多？分析： 兩位數(shù)從10到99共90個，其中偶數(shù)90÷245（個）。 兩位數(shù)中個位數(shù)字是“0、1、4、5、6、9”的有6×954（個），其中完全平方數(shù)有16、25、36、49、64、81這6個，偽平方數(shù)有54648個。 兩位數(shù)中偶數(shù)45個，偽平方數(shù)48個，偽平方數(shù)比偶數(shù)多。學(xué)案2 將16分解成若干個質(zhì)數(shù)（可以相同）相加的形式，如果這些質(zhì)數(shù)的乘積正好是平方數(shù)，那么這個平方數(shù)可能是幾？分析： 要使這些質(zhì)數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么質(zhì)數(shù)必須成對出現(xiàn)，我們把16分成88的兩組，每組用相同的方式分解成一些質(zhì)數(shù)相加的形式即可。 8222223

4、335 16（2222）（2222）（233）（233）（35）（35） （2×2×2×2）×（2×2×2×2）162256 （2×3×3）×（2×3×3）182324 （3×5）×（3×5）152225 答：這個平方數(shù)可能是256、324、225學(xué)案3 一個房間里有100盞燈，用自然數(shù)1、2、3、4、100編號，每盞燈各有一個開關(guān)，開始時，所有的燈都不亮。有100個人輪流進(jìn)入房間，第一個人進(jìn)入房間后，將編號為1的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離去。

5、第二個人進(jìn)入房間后，將編號為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離去；如此下去，直到第100個人進(jìn)入房間，將編號為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離去。問：第100個人離開房間后，房間里那些燈還亮著？分析：對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，開關(guān)被按奇數(shù)次時燈是亮著的，開關(guān)被按偶數(shù)次時燈是滅著的。“一盞燈的開關(guān)被按的次數(shù)，恰等于這盞燈編號的約數(shù)個數(shù)”。求哪些燈還亮著，就是求哪些燈編號的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個。顯然，完全平方數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)，所以用完全平方數(shù)編號的燈是亮著的。 在1100這100個數(shù)中，完全平方數(shù)有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以當(dāng)?shù)?00個人離開房間后，房間里

6、還亮著的燈的編號是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。學(xué)案4 兩個完全平方數(shù)的差為51，且這兩個完全平方數(shù)之間沒有其他完全平方數(shù)，求這兩個數(shù)。分析： 設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別為A2、B2 ，且AB1。 A2B251（AB）（AB）51 得到 AB 51 AB 1 解得A26；B25 A2 262676 ；B2252625第三部分 課后訓(xùn)練，鞏固知識點(diǎn)1、1×22×33×44×55×66×77×88×99×1010×1111×12的結(jié)果是不是完全平方數(shù)？為什么？分析：

7、不是！ 我們把每一項(xiàng)的個位數(shù)字相加：2620026200222，相加和的個位數(shù)字是2。完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9，個位是2的自然數(shù)不可能是完全平方數(shù)。2、1×23×45×67×89×10的結(jié)果是不是完全平方數(shù)？為什么？分析：不是！ 我們首先考慮和的個位數(shù)字，2206010，個位數(shù)字是0，有可能是完全平方數(shù)；另一方面，我們看總和除以4的余數(shù)：202026，6除以4余2，也就是說總和除以4余2，而完全平方數(shù)除以4的余數(shù)只能是0或1，余2的必然不是完全平方數(shù)。分析：1×23×45×67×8

8、9×10最后的結(jié)果是190，190介于132169和142196之間，而132169和142196是兩個相鄰的完全平方數(shù)，因此190不是完全平方數(shù)。3、240乘以一個非零自然數(shù)，或者除以一個非零自然數(shù)b，結(jié)果都是一個完全平方數(shù)，那么的最小值是 。b的最小值是 。分析：24024×3×5， 240×結(jié)果是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)必須成對出現(xiàn)，所以最小值是3×515。 240÷b結(jié)果是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)必須成對出現(xiàn)，所以b最小值是3×515。4、400以內(nèi)，有奇數(shù)個因數(shù)（約數(shù)）的自然數(shù)有哪些？這些自然數(shù)中因數(shù)（

9、約數(shù)）最多的有多少個因數(shù)？分析：一個正整數(shù)如果是完全平方數(shù)，那么它有奇數(shù)個約數(shù)(包括1和它本身)。 一個正整數(shù)如果它有奇數(shù)個約數(shù)(包括1和它本身)，那么它是完全平方數(shù)。 400以內(nèi)有奇數(shù)個因數(shù)（約數(shù)）的自然數(shù)有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，共20個，其中約數(shù)最多的是形如（2b）2形式的自然數(shù)，有122144，182324，202400，它們各有15個約數(shù)。5、是否存在一個自然數(shù)，使得13，13都是完全平方數(shù)？分析：假設(shè)存在一個自然數(shù)，使得13，13都是完全平方數(shù)。并且設(shè)13A2，13B2

10、。 A2B2（13）（13）26（AB）（AB）262×13AB與AB的奇偶性相同，AB與AB要么都是奇數(shù)，要么都是偶數(shù)，而它們的乘積26是偶數(shù)，說明AB與AB都是偶數(shù)，而兩個偶數(shù)的乘積必然是4的倍數(shù)，但是26除以4余2，自相矛盾，說明最開始的假設(shè)錯誤。因此得出結(jié)論，不存在這樣的自然數(shù)，使得13，13都是完全平方數(shù)。第四部分 補(bǔ)充題目，開闊視野1、一個整數(shù)，它的一半是一個完全平方數(shù)，且它的三分之一是一個完全立方數(shù)，則這個整數(shù)最小是多少？解： 設(shè)這個整數(shù)為6。 6÷23是完全平方數(shù)，可以表示為3A2 6÷32是完全立方數(shù)，可以表示為22×B3。 3A222

11、×B3 B是3的倍數(shù)，B至少是3。至少是22×B34×33108， 所求整數(shù)最小是66×108648。648÷2324182 ， 648÷321663 答：所求的整數(shù)最小是648。2、從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？解： 完全平方數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后質(zhì)因數(shù)必成對出現(xiàn)。 722×22×322×62 乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)必是某個平方數(shù)的2倍。 2×3121922 1922符合要求，且19222008 2×3222048 2048符合要求，但204820

12、08 符合要求的數(shù)共有31個：分別是2×12、2×22、2×32、2×42、2×312。3、一個數(shù)減去100后是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？解： 設(shè)這個數(shù)為，這個數(shù)減去63后的差為A2，這個數(shù)減去100的差為B2。根據(jù)題意 63A2 100B2 A2 B2（AB）（AB） （63）（100）631001006337 （AB）（AB）37×1 AB37 AB1 解得：A19 B18 100B2 100B2100182424 答：這個數(shù)是424。4、已知3528a恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是 。解：平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后質(zhì)因數(shù)必成對出現(xiàn)。 3528ab2 3528a 23×32×72 a2×422 a b