可靠性數(shù)學基礎

1、可靠性數(shù)學基礎知識重慶大學 周家啟1 集合與事件概率是事件的一定屬性，事件可以通過集合(簡稱“集”)來描述。因之在研究概率之前，討論一下集合的基本概念。1.1 集合的定義和符號具有某種規(guī)定性質的事物的總體稱為集(合)。組成集合的這些事物的每一個體稱為集的元素或成員。只有有限個元素的集稱為有限集，具有無限個元素的集稱為無限集。例如，“A城中18歲及以上的全體公民”是一個有限集，“所有正整數(shù)的全體”則是一個無限集。集合常用大寫字母表示，元素常用小寫字母表示，如果某一個體x是集A的元素，則記為讀作“x屬于A”。而則表示x不屬于A。如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每個元素都是B的元素，集B的

2、每個元素也都是A的元素，則說A等于B，記為A=B。有限集A中元素的數(shù)目叫A的基數(shù)，記為|A|。一個集S可以用列舉出它的全部元素的方式來表示，例如與括號中元素的排列次序無關。一個集P也可以按照它的元素某種特定的屬性來表示，例如括號中垂直線左右的記號代表集的典型元素。于是前面列出的集S也可寫成或 有兩個集A和B，如果B的每個元素都是A的元素，則說B是A的子集，記為 或 有時讀成A包含B。一個集A也總是它本身的一個子集，。集A中任何一個不等于A的子集B稱為A的真子集，記為 或 如果 且， 則A=B。1.2 集合的基本組合規(guī)則通過集的運算可以將某些集合組合形成新的集合，一般有如下一些運算規(guī)則。如果A和

3、B是兩個集，則它們的并定義為它們的交定義為例1 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，則=1、2、3、5、7；=2、3如果集A和集B沒有公共元素，則稱它們?yōu)椴幌嘟坏募?。這兩個不相交集之交得到一個不包含任何元素的集。稱其為空集，以表示。因之，而且也是任意一個集N的子集。集的并和交的運算服從以下規(guī)則1. 冪等律，2. 交換律，3. 結合律，4. 分配律，集A和集B的差AB定義為如果B是A的一個子集，則有時稱AB為B在A中的補集。例2 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，則ST = 5、7；TS = 11.3 集的集合的概念在可靠性評估技術中常會碰到集中的元素本身也是一個集的情況。以下用所謂的

4、冪集來說明這個概念。定義任意集A的冪集(A)為A的全部子集的集合，即例3 令A=x, y, z，則對于集的集合，其并和交的定義是：令為任意集的集合，則并而交如果是有限個集的集合，例如，則常可寫出或或例4 令=A、B、C，其中A=2，3，5，7，B=1，3，5，C=1，2，3，則=1、2、3、5、7，還可以由其它的方式構成集的集合。如果集A的每一個元素至少屬于集中的一個成員，即，則稱集A的非空子集的集合為A的覆蓋。如果A的一個覆蓋還具有如下性質：的全部成員都是兩兩互不相交的，則稱是A的一個劃分。例5 如果S=a、b、c、d、e，則可以有如下覆蓋a、b，b、c、d，b、c、e；a、b，c、d、e；

5、a、b、c、d、e并且上面第二及第三個覆蓋又是A的兩個劃分。1.4 事件及其集合表達1.4.1 樣本空間人類的生產和科研活動、或觀察到的自然現(xiàn)象，都存在著相互聯(lián)系與制約的因素，有其一定的內在必然發(fā)展規(guī)律，但它們同時又受著各種各樣外在偶然因素的影響，呈現(xiàn)出現(xiàn)象發(fā)生的“隨機性”。概率論和統(tǒng)計學就發(fā)端于對這些“隨機”現(xiàn)象的研究。隨機現(xiàn)象的基本特征是，這些現(xiàn)象在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，需要通過對現(xiàn)象的統(tǒng)計實驗來研究其發(fā)生的規(guī)律。統(tǒng)計方法往往是在一定條件下進行試驗或現(xiàn)場觀測，將其結果記錄下來，作為研究和推斷的依據(jù)。按原始形式收集的觀察記數(shù)或試驗的測量記錄，一般稱為原始數(shù)據(jù)。在統(tǒng)計學中常用“實驗

6、”一詞來統(tǒng)稱產生原始數(shù)據(jù)的過程。拋擲硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的現(xiàn)象，是最常用的統(tǒng)計實驗例子。氣象觀測、水文觀測、電站運行記錄、產品質量檢驗記錄等，也都是生產和科研工作中的統(tǒng)計實驗方法。通常將一個給定條件的統(tǒng)計實驗中所有可能結果的總和稱為“樣本空間”，或者用集合的術語描述為：一個項統(tǒng)計記錄的全部可能結果的集合稱為樣本空間，并常用S表示。例6 將一枚硬幣拋擲兩次，可能出現(xiàn)的全部結果是，正，正，正，反，反，正，反，反，則樣本空間S = 正，正，正，反，反，正，反，反例7 在足夠長的統(tǒng)計時期內，“一年出現(xiàn)1次故障”的全部可能結果，即其樣本空間S = 0，1，2，3，1.4.2 事件事件總是與某些實驗的

7、結果相關聯(lián)，理論研究中一般作出以下假設：(1) 在相同條件下重復進行；(2) 實驗的結果可能不只一個；(3) 不可能預先判定每一次實驗將出現(xiàn)的結果。工程研究中的事件一般都可以用集合來描述為：樣本空間中的一個子集稱為事件。例8 設某種電子元件使用壽命的樣本空間為，式中t為該元件的壽命，則是該元件壽命等于或小于5年的事件。為研究和敘述問題方便，還常常定義以下事件：如果一個事件只包含樣本空間集合中的一個元素，則稱這個事件為基本事件，或簡單事件；如果一個事件在某個實驗中一定會發(fā)生，則稱這個事件為必然事件；如果一個事件在某個實驗中一定不會發(fā)生，則稱這個事件為不可能事件；如果一個事件在某個實驗中可能發(fā)生也

8、可能不發(fā)生，則稱這個事件為隨機事件。概率論就是研究隨機事件規(guī)律的一門數(shù)學分支。例9 在對電網的事故統(tǒng)計中，如果說，“某一條供電線路一年內可能發(fā)生故障的所有次數(shù)”，則這是一個必然事件；如果說，“某一條供電線路一年內發(fā)生 2 次故障”，則這是一個不可能事件；如果說，“某一條供電線路一年內發(fā)生 1 次故障”，則這是一個隨機事件。為了能更易于理解所要討論的問題，可利用圖形來對概念進行描述。通常所用的是一種所謂的凡恩圖。凡恩圖通常畫成一個矩形來表示全部樣本空間S，如圖1所示。面積S包含了要討論的整個空間，其中可能存在著兩個或兩個以上的事件。圖1是只包含兩個事件A和B的特殊情況。如果事件A被完全包含在事件

9、B中（可用符號AB表示），則事件A由屬于事件B，且只由屬于事件B的元素構成，如圖1a所示。一般的關系則是部分重合(圖1b)或者完全不重合(圖1c)。圖1 凡恩圖事件既然可以用集合來描述，則前述其集合的基本組合規(guī)則完全適用于事件的運算。2 概率基本概念2.1 定義概率是一種科學的“機會測度”，它從定量的角度定義了事件發(fā)生的可能性。這種測度在不可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之間的范圍內取值。2.1.1 概率的古典定義如果某一試驗的全部可能結果為n個，且每個結果都具有等可能性和互不相容性，而其中對應于A的結果是m個，則事件A發(fā)生的概率為 (1)例10 有50件產品，合格品數(shù)是48件，令從這批

10、產品中“任取一件是合格品”為事件A，則在這批產品中任取一件是合格品的概率為P(A)=48/50=96%此外，由于必然事件包括了所有基本事件，設其用U表示，則可用概率的觀點作如下解釋：而不可能事件不包含任何基本事件，設其用V表示，也可用概率的觀點作如下解釋：隨機事件A所含基本事件數(shù)m必然滿足不等式0mn，所以0P(A)12.1.2 概率的統(tǒng)計定義由概率的古典定義可見，它要求事件數(shù)是有限的，且要求事件的發(fā)生是等可能的。但許多實際問題不具備這種性質。例如英文書籍中26個字母出現(xiàn)的可能性就很不相同，字母“e”就比字母“z”出現(xiàn)的可能性大得多。又如某流域的年降雨量可以取某一區(qū)間的任意實數(shù)值，這就不能滿足

11、有限結果的要求。但是這些事件仍有其本身的規(guī)律性。只要進行大量重復的試驗，就會發(fā)現(xiàn)許多隨機事件是隨著試驗次數(shù)的不斷增加而趨近于某一穩(wěn)定值。由此可引入概率的統(tǒng)計定義。設n次重復試驗中，事件A出現(xiàn)f次，則稱f為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱為事件A出現(xiàn)的頻率：定義：當試驗次數(shù)n足夠大時，事件A出現(xiàn)的頻率漸趨于一個穩(wěn)定值P(A)，則稱這一穩(wěn)定值P(A)為事件A發(fā)生的統(tǒng)計概率，記為 (2)2.2 概率的基本運算規(guī)則依據(jù)前一節(jié)有關事件和概率的基本概念，本節(jié)按性質分類對事件及其概率運算的基本規(guī)則加以概述。2.2.1 事件分類1. 獨立事件如果某一事件的發(fā)生不影響另一事件發(fā)生的概率，則這兩個事件稱為獨立事件，例如拋一枚

12、硬幣和擲一枚骰子是獨立事件，因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)并不影響拋硬幣的結果。實際工程中，只要相關程度不大時，都假設是獨立事件，例如一個發(fā)電廠中不同的主設備的故障事件。但如果已知具有一定的相關性時，則必須在評估中將相關性考慮進去。事件獨立性的假設可能導致可靠性的偏高估計。2. 互斥事件如果兩個事件不可能同時發(fā)生，則稱它們是互斥事件，或稱不相交事件。前一節(jié)的圖1c就表示這種情況。當然，在A和B事件以外也可能發(fā)生其它事件，因為A和B并沒有充滿整個樣本空間。例如一個設備的成功運行和事故退出工作這兩種狀態(tài)就不可能同時存在，因而是互斥事件。當然，該設備還可能處于非故障停運的第三種狀態(tài)。3. 對立事件如果一個事件只

13、存在兩種可能結果，其中一種結果不發(fā)生，另一種結果就必然發(fā)生，則稱它們是對立事件,或稱互補事件，如圖2所示。如果這兩種結果A和B的概率分別是P(A)和P(B)，則根據(jù)定義有A 或 (3)圖2 對立事件例11 設“一臺發(fā)電機投入運行”為事件A，“該發(fā)電機停運”為事件，則事件A和事件B是對立事件，且顯然，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件并不一定是對立事件。4. 條件事件條件事件是一些在另一個或另幾個事件發(fā)生的條件下發(fā)生的事件。如果研究事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，則將其記為P(A|B)，讀為“給定B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率”。根據(jù)式(1)和圖3可以得到 圖3 事件的交或 (4)2.2.2 事件

14、的交兩個事件A和B同時發(fā)生，在數(shù)學上稱之為兩個事件的交，由圖3中陰影面積表示，并記為或。1. 獨立事件由于獨立事件中每一事件發(fā)生的概率并不受另一事件發(fā)生概率的影響，對于兩個獨立事件的情形則有因此根據(jù)式(4)，兩者都發(fā)生的概率是 (5)對于多個獨立事件，則可推廣給出 (6)例12 有兩個元件A和B，元件A正常工作的概率是0.9，元件B正常工作的概率是0.95。設兩個元件是否正常工作互不影響，因此兩個元件同時正常工作的概率是2. 相關事件這時，一個事件發(fā)生的概率要受另一個事件發(fā)生概率的影響。由式(4)有 (7)例13 某工廠的產品中有4%的次品，在100件合格品中一等品占75%，求任取一件產品是一

15、等品的概率。解 以A表示一等品，B表示合格品，C表示次品。則而 因此 2.2.3 事件的并兩個事件A和B中至少一件發(fā)生，數(shù)學上稱為事件的并，由圖4中的陰影面積表示，記為。 BA圖4 事件的并1. 事件獨立而不互斥這種事件的概率計算如下： (8)上式可推廣到對于n個隨機事件的情形： (9)例14 某一系統(tǒng)由三個單元組成，每一單元的工作概率分別為1/3、1/2、1/2，任一單元工作，系統(tǒng)即能成功。求該系統(tǒng)成功工作的概率。解：設A、B、C分別為三個單元成功工作的三個事件。根據(jù)題意，可假設這三個事件是獨立的，但不互斥，因此所求概率應為2. 事件互斥如果事件A和B互斥，則根據(jù)定義，它們同時發(fā)生的概率必然

16、為零，由式(8)可得 (10)2.2.4 全概率公式2.2.1節(jié)中條件概率的概念，可以推廣到事件A的發(fā)生與若干互斥事件相關的情形。由式(7)可相應于每一個事件導出如下算式： (11)則如圖5的情形有 (12)式(12)常被稱為全概率公式。圖5 條件概率例15 已知1000個電子元件中有從0到5個次品的情形是等可能的，如果除次品而外的元件都是正品,求從1000個電子元件中任取100個都是正品的概率。解 設事件(i=0，1，2，3，4，5)表示1000個元件中有i個次品,事件A表示取出100個都是正品。則根據(jù)題意有根據(jù)條件概率的定義和組合公式有于是按全概率公式得到所求結果為可靠性在工程應用研究中的

17、目的，往往是要評估系統(tǒng)失效（或運行）的概率，如果能夠知道系統(tǒng)狀態(tài)（失效或運行）與系統(tǒng)中某個元件X正常與故障兩個互斥事件的相關信息，則可按全概率公式寫出下式：P(系統(tǒng)失效)=P(給定X正常的條件下系統(tǒng)失效）P(X）+P(給定X故障的條件下系統(tǒng)失效)P() =P(系統(tǒng)失效X）P(X）+P(系統(tǒng)失效)P() (13)式中，X代表元件X正常運行，代表元件X故障。2.3 概率分布的概念2.3.1 隨機變量實際工程中往往需要通過試驗或現(xiàn)場的運行記錄來收集可靠性評估要求的足夠數(shù)據(jù)。這樣的數(shù)據(jù)不可能得到單一的準確值，常常得到的是可能的取值范圍。這些數(shù)值或者說發(fā)生的這些事件是帶偶然性的。因此測試事件的參數(shù)是一些

18、隨時間或空間變化的變量，將其稱為隨機變量，并可以用概率分布來描述這種隨機變量。為了分析問題的方便，通常根據(jù)這些參數(shù)取離散值或是取連續(xù)的實數(shù)值而區(qū)分為離散或連續(xù)隨機變量。為使概念清晰，可以了解一下它們的定義：其函數(shù)值由樣本空間中每一個元素所確定的函數(shù)稱為隨機變量。要注意的是，隨機變量本身就是一個函數(shù)，其取值是隨機的，因之可用概率來量化描述其函數(shù)值。如果樣本空間只包含有限個可能的數(shù)或一個可數(shù)無窮數(shù)列，則這個樣本空間稱為離散樣本空間；由這個樣本空間定義的隨機變量稱為離散隨機變量。例如，一條架空線路一年內可能發(fā)生的故障次數(shù)記為L ，其取值范圍理論上是 L = 0，1，2，3 ，這是一個可數(shù)無窮數(shù)列，因

19、之L是一個離散隨機變量。如果樣本空間包含無限個可能的實數(shù)，則這個樣本空間稱為連續(xù)樣本空間；由這個樣本空間定義的隨機變量稱為連續(xù)隨機變量。例如，一臺變壓器的有效壽命T的取值范圍理論上是S = 0 T R ,其中R是一個足夠大的實數(shù)；因之T是一個連續(xù)隨機變量。在工程問題中，計數(shù)數(shù)據(jù)通常是離散隨機變量，測量數(shù)據(jù)通常是連續(xù)隨機變量。2.3.2 隨機變量的概率分布及其主要數(shù)字特征如前述，隨機變量的函數(shù)值是不確定的，要由一定的取值范圍來描述，通常即用概率方法來研究這種函數(shù)取值范圍的分布規(guī)律，這就是常說的概率分布。于是，可以用概率分布來研究工程中通過試驗或通過觀察收集的數(shù)據(jù)，根據(jù)可靠性評估的要求來研究對它們

20、進行處理和估計的方法。下面將結合具體例子分別敘述離散和連續(xù)隨機變量概率分布及其數(shù)字特征的概念。1. 離散隨機變量例16 設有三臺型號相同的水泵作灌溉之用，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)推斷，每臺水泵三年內不發(fā)生故障的概率是p = 0.8 ，研究這三臺水泵三年后還能正常運轉臺數(shù)的概率分布。解 設隨機變量X表示三年后還能正常運轉的水泵的臺數(shù)，并令（X = 0），（X = 1），（X = 2），（X = 3）分別代表三年后沒有水泵能正常運轉，以及1臺泵、2臺泵和3臺泵能正常運轉的事件。根據(jù)題意可假設這些事件是相互獨立的，則按前兩節(jié)的基本規(guī)則可知，三臺水泵組合可能出現(xiàn)的全部狀態(tài)為以下8種結果：SSS, SSF, SFF

21、, FFF, FSS, FFS, SFS, FSF其中，S和F分別表示三年后水泵正常運轉和失效的基本事件。于是事件（X = 0）由FFF構成；事件（X = 1）由SFF，F(xiàn)FS，F(xiàn)SF構成；事件（X = 2）由SSF，F(xiàn)SS，SFS構成；事件(X = 3)由SSS構成。從而有以下概率P(X = 0) = = 0.008P(X = 1) = 30.8 = 0.096P(X = 2) = 30.2 = 0.384P(X = 3) = = 0.512以上四個等式就構成離散隨機變量概率分布的一種表列形式，通常將其稱作概率密度函數(shù)PDF(probability density function)，也可將

22、它表示成如圖6a的直觀形式。由這個例子可以注意到：對應于離散隨機變量X的每一個取值，都有一個確定的函數(shù)（概率）值。另一種表達這些數(shù)據(jù)的方法是累積概率分布函數(shù)，常將其簡稱為累積分布函數(shù)DF(cumulative distribution function)。它的構成方式是從隨機變量的最小值開始，按隨機變量遞增的順序對各相應的概率值累加，直至每個變量的概率均被計入，得到如圖圖6b的函數(shù)。(a) 概率密度函數(shù)(b) 累積分布函數(shù)圖6離散隨機變量于是可以定義相應的離散變量CDF為 (14)由此可見，離散隨機變量累積分布函數(shù)CDF的終值必為1。即 (15)式中，為隨機變量X的第i個取值；S為樣本空間。如

23、果一個隨機變量的分布函數(shù)及有關參數(shù)完全確定，則其概率特征可以得到完全描述。但在實際問題中可能并不知道分布函數(shù)，因而常常需要找出對它的近似描述。這時可以用某幾個主要的或者說關鍵的數(shù)值來近似刻畫隨機變量及其分布的宏觀特性，并將它們稱為隨機變量的數(shù)字特征。即使是在分布函數(shù)已知的情況下，這些隨機變量的數(shù)字特征也很有用，因為它們可以給出應用中隨機變量有關的重要信息，而且還可用于表達概率分布的解析函數(shù)式。這些特征量中最常用的有均值和方差。由于一個隨機變量有許多取值，就很自然地要找一個有代表性的中心值，例如平均值。又因為隨機變量的不同取值有不同的概率，顯然用概率來加權的平均值就更有意義，數(shù)學上將這種加權平均

24、值稱為數(shù)學期望，實用中常簡稱為均值，用E (X)表示，并定義為 (16)為了進一步刻畫分布的特征，還引用一個對均值離散程度的量度，稱其為隨機變量的方差，用V(X)表示，并定義為 (17a)或 (17b)在實用中，從量綱處理的角度來看，使用方差的平方根更為方便，因之引用隨機變量方差的平方根，稱為標準差，用表示，并定義為 (18)例17 按例16中的已知條件，計算三年后尚能正常運轉的水泵的平均臺數(shù)。解 由已知條件并應用式(16)可得三年后尚能正常運轉的水泵平均臺數(shù)為E(X) = 0(0.008)+1(0.096)+2(0.384)+3(0.512) = 2.40由這個結果可以注意到，一個離散隨機變

25、量的期望值有可能不再是該隨機變量的可能取值。這時可從工程角度判斷認為三年后尚能正常運轉的水泵平均臺數(shù)約為2臺。應用式(17)和式(18)還可計算出相應的方差和標準差：V(X) = 12(0.096)+22(0.38)+32(0.512)- (40)2 = 0.48= 0.69也就是說三年后尚能正常運轉的水泵臺數(shù)對2.4臺的平均數(shù)可能相差 ±0.69 臺，或者說對均值有±0.69/2.40 = ±29% 的偏差。2. 連續(xù)隨機變量對于連續(xù)隨機變量而言，只有當落在某一個取值的區(qū)間時，其概率才有意義。于是對X的某個特定值X = x ，就只能定義一個概率密度。因此通常用一

26、個所謂的概率密度函數(shù)PDF(probability density function)來描述連續(xù)隨機變量的概率分布，常用表示，并可得X落在區(qū)間（a，b）中的概率為 (19)且 與離散情形類似，可以定義連續(xù)隨機變量的累積概率分布函數(shù)CDF(cumulative distribution function)，也簡稱為累積分布函數(shù)，并用表示為 (20)且 由此可得 (21)應當注意，不是概率，而為隨機變量X 的值落入區(qū)間的概率。連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)的形狀分別示于圖7a和7b中。 (a) 概率累積分布函數(shù) (b) 概率密度函數(shù)圖7連續(xù)隨機變量與離散情形類似，可定義連續(xù)隨機變量均值和

27、方差的如下表達式：均值 (22)方差V(X) = = (23)式中E()稱為X的均方差。同樣可得標準差為 (24)例18 計算具有以下概率密度函數(shù)的隨機變量X的均值和方差：解 均值均方差方差V(X)同樣還可計算出標準差= 0.23572.3.3 常用分布函數(shù)應用舉例可靠性問題的提出，來自于對產品壽命的關注。任何產品從開始使用到第一次發(fā)生故障，時間究竟有多長，不可能確切知道。顯然，產品的正常使用壽命不是一個確定的時間，而是一個隨機變量。同樣，如果產品是可修復的，則其故障修復后再次使用，到下一次故障的時間仍然是一個隨機變量。因此，可以用概率分布來模擬可靠性相關的問題。由此可見，對產品“壽命”的概率

28、模擬也就可以用“失效時間”來表征。對不可修產品，就是指失效前時間；對可修產品，最關心的是其相鄰兩次故障之間的持續(xù)可用時間，可稱之為“無故障可用時間”。下面，先介紹一般可靠性函數(shù)，然后簡述二項分布、泊松分布、正態(tài)分布以及指數(shù)分布的應用。1. 一般可靠性函數(shù)(1) 解析表達式可靠度定義：在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間區(qū)間內無故障持續(xù)完成規(guī)定功能的概率，常用R(t)表示。工程計算中常常使用不能完成規(guī)定功能的概率Q(t)，或稱不可靠度，并有 (25)或Q(t) (26)根據(jù)概率基本概念，有故障密度函數(shù) (27)定義故障率函數(shù)為 (28)上式等號兩邊積分得 (29)當l為常數(shù)時,上式簡化為 (30)將這種特

29、殊情形稱為指數(shù)分布，這是使用得非常廣泛的一種分布。此外，還可推導出隨機變量t的均值m的函數(shù)式為 (31)在工程應用中常將m用一個專門術語MTTF(mean time to failure)表示，稱為平均失效前時間，它就是不可修復元件的平均壽命。(2) 可靠性函數(shù)的形狀許多實際元件的故障率特性如圖8所示，由于它的形狀而常常稱其為浴盆曲線。通常將其分為三個區(qū)間，第I個區(qū)間常稱初期損壞期或調試階段。它可能由于大批量產品中的次品，或設備制造過程中的偶然缺陷或設備在初期運行的不穩(wěn)定等因素造成，這時故障率是一個隨時間下降的曲線。第個區(qū)間常稱正常使用或有效壽命期，故障率為常數(shù)，這時故障的發(fā)生純屬偶然，是唯一

30、適用指數(shù)分布的區(qū)域。第個區(qū)間則代表衰耗或元件疲勞屈服的階段，這時故障率隨時間急劇上升。對于故障密度函數(shù)，也可區(qū)別出相應的三個區(qū)間如圖9所示。區(qū)域非常近似于負指數(shù)曲線，區(qū)域則有比指數(shù)曲線高得多的數(shù)值。區(qū)域可用正態(tài)分布，g分布或威布爾分布等來描述。圖8 典型電子元件的故障率曲線圖 圖9 故障密度函數(shù)可靠度函數(shù)及累積故障分布函數(shù)的一般形狀則分別如圖10和圖11所示。由圖8的曲線形狀看出，電子元件有一個較長的有效壽命期。電力系統(tǒng)中機械磨損較小的元件，其故障率曲線也可假設符合這一形狀。在工程應用中，常常假設大多數(shù)元件可以通過經常而細心的維護和預防性維修使其維持在經濟有效壽命期內,這樣一來，就可以利用指數(shù)

31、分布模擬元件和系統(tǒng)的可靠性，使問題的分析大大簡化。當然，這樣的假設將帶來偏樂觀的估計。尤其是當元件估計已臨近出廠規(guī)定的有效使用年限時，老化失效將可能起主導作用，常數(shù)故障率的假設將失效。 圖10 可靠度函數(shù) 圖11 累積故障分布函數(shù)2. 二項分布如果某個試驗只有成功和失敗兩種結果，且假設成功的概率是p，失敗的概率是q，則對于n次試驗有 (32)稱其為二項分布，并須滿足以下條件：(1) 有限的試驗次數(shù)(2) 每次試驗只能出現(xiàn)兩種結果之一(3) 所有試驗結果必須有相同的概率(4) 每次試驗必須是獨立的例19 有4個完全相同的元件組成并聯(lián)工作系統(tǒng)，如果元件的故障概率或者說不可靠度為F，其可靠度則為R=

32、1F，這個系統(tǒng)的概率分布為顯然第一項代表4個元件都工作的事件出現(xiàn)的概率，這也就是要求全部元件都必須工作的系統(tǒng)的可靠度；前兩項之和則可表示容許一個元件失效的系統(tǒng)的可靠度；余此類推，最后一項就是只須一個元件工作的系統(tǒng)的不可靠度。例20 用以下4個假想的發(fā)電系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，進行確定性準則和概率性準則的對比研究。設4個系統(tǒng)分別由以下發(fā)電機組構成：系統(tǒng)1 24×10兆瓦機組，每臺機組的FOP=0.01系統(tǒng)2 12×20兆瓦機組，每臺機組的FOP=0.01系統(tǒng)3 12×20兆瓦機組，每臺機組的FOP=0.03系統(tǒng)4 22×10兆瓦機組，每臺機組的FOP=0.01其中FO

33、P(Forced outage probability)代表機組的強迫停運概率。假設這4個系統(tǒng)的峰荷依次分別是200、200、200和183兆瓦。即每個系統(tǒng)都有20%的容量備用裕度，因之按照傳統(tǒng)的百分數(shù)備用確定性準則，這4個系統(tǒng)發(fā)電容量的的風險度是相同的，或者說它們的可靠性是一致的?，F(xiàn)在利用二項分布的假設，按照例2.16的思路，計算出這4個系統(tǒng)的概率風險度分別是：系統(tǒng)1 0.000004系統(tǒng)2 0.000206系統(tǒng)3 0.004847系統(tǒng)4 0.000063系統(tǒng)3的真實風險度是系統(tǒng)1的1000倍，可見“百分數(shù)備用”的確定性準則不能科學地評估系統(tǒng)的風險度。3. 泊松分布泊松分布描述給定時間或空間

34、內發(fā)生率為常數(shù)，一定次數(shù)單個事件發(fā)生的頻率，也就是說事件的發(fā)生必須是隨機的。它與二項分布的主要區(qū)別是只考慮事件的發(fā)生而不考慮事件的不發(fā)生。一定時期內的著雷數(shù)，一個系統(tǒng)的故障數(shù)等就是這種例子。(1) 分布函數(shù)如果利用泊松分布來模擬失效過程，這時常將其參數(shù)稱為故障率這樣一個工程上的術語。因此令dt是一個足夠小的時間單元，使得在這個時間單元內多于一次的故障概率可以忽略，則可得 (33)這個表達式計及了故障數(shù)，但并未計及元件故障后需要修復或更換的時間。(2) 均值由離散分布均值的計算式(16)可得 (34)如果令，則式(33)可寫成 (35)例21 某系統(tǒng)中電纜線路的故障率l是每100公里0.5次/年

35、，求40年內10公里長度電纜線路不發(fā)生故障和發(fā)生一次故障的概率。解 由已知數(shù)據(jù)，10公里電纜40年內發(fā)生故障次數(shù)的均值為由此可得故障概率密度函數(shù)因此不發(fā)生故障，即x=0的概率為而發(fā)生一次故障，即x=1的概率為例22 如圖12所示兩相同元件構成的旁待備用系統(tǒng)的可靠性。設監(jiān)測信號和切換裝置均100%可靠，備用元件處于備用狀態(tài)時不發(fā)生故障。解 由式(33)可知，當備用元件不工作時該系統(tǒng)的工作概率，也就是可靠度應等于系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率，即 圖12旁待備用系統(tǒng)當工作元件發(fā)生故障時，由于系統(tǒng)中有1個備用元件可以被切換繼續(xù)工作，使系統(tǒng)不致失效。因之，在發(fā)生1次故障時，也屬于系統(tǒng)的工作狀態(tài)。于是這種系統(tǒng)的工

36、作概率是而根據(jù)式(31)，其平均持續(xù)工作時間則為現(xiàn)在假設每個元件的故障率均為0.02次/小時，要求系統(tǒng)工作時間不低于10小時，則可計算出該系統(tǒng)的如下可靠性指標：系統(tǒng)可靠度系統(tǒng)平均持續(xù)工作時間這個例子的計算過程可以推廣到n個相同備用元件的情形：4. 正態(tài)分布正態(tài)概率分布有時稱為高斯分布，是使用得最廣泛的一種分布之一，它的概率密度函數(shù)對均值完全對稱，其形狀和位置由均值和標準差唯一確定。正態(tài)分布密度函數(shù)可表達為： (36)圖13示出典型正態(tài)密度函數(shù)、累積分布函數(shù)以及故障率函數(shù)。它的主要特點是當隨機變量為時，概率為0.5，因之是正態(tài)分布的均值，而且由于確定了曲線的橫坐標位置，常稱它為位置參數(shù)；確定了離

37、散度的大小，常稱其為尺度參數(shù)，它也就是正態(tài)分布的標準差。圖13正態(tài)分布概率函數(shù)(a) 概率密度函數(shù)；(b) 累積分布函數(shù)；(c) 故障率式(36)不能用簡單的積分方法求解，通常是用數(shù)值積分由計算機解算，并編制了不同積分限時曲線下面積的標準表，從而可查表進行計算。標準表的依據(jù)是在式(36)中用標準正態(tài)變量Z進行以下代換 由圖8的曲線形狀看出，電子元件有一個較長的有效壽命期。電力系統(tǒng)中機械磨損較小的元件，其故障率曲線也可假設符合這一形狀。在工程應用中，常常假設大多數(shù)元件可以通過經常而細心的維護和預防性維修使其維持在經濟有效壽命期內,這樣一來，就可以利用指數(shù)分布模擬元件和系統(tǒng)的可靠性，使問題的分析大

38、大簡化。當然，這樣的假設將帶來偏樂觀的估計。尤其是當元件估計已臨近出廠規(guī)定的有效使用年限時，老化失效將可能起主導作用，常數(shù)故障率的假設將失效。 (37)而得出下面的標準形式： (38) 圖14 正態(tài)函數(shù)曲線如果手邊沒有標準正態(tài)分布表，正態(tài)函數(shù)曲線下的面積可以用近似多項式求解。例如要求圖14所示面積Q(Z)，則 (39)式中b1=0.31938153 b2= - 0.3563782b3=1.781477937 b4= - 1.821255978b5=1.330274429 r = 0.2316419經驗式(39)的計算誤差，因之結果足夠精確。例23 某城鎮(zhèn)新安裝2000盞公用照明燈具，其平均壽命

39、為1000小時，標準差為200小時。投入使用700小時后，需要準備多少燈具作為更換可能損壞的燈具之用？解 設燈具的使用壽命服從正態(tài)分布，則燈具使用700小時后可能損壞的概率可由圖15的陰影面積表示。于是由式(37)有據(jù)此可從標準正態(tài)分布表中查得相關數(shù)據(jù)，按下式計算出相應的概率Q(-1.5)：Q(-1.5) = 0.5 0.4332 = 0.0668圖15正態(tài)分布曲線從而得到使用700小時后燈具的期望故障數(shù)是即是說使用700 小時后大約需要134盞燈具作更換損壞燈具的備用。此外，應用近似式(39)也可計算出Q(-1.5) = Q(1.5) = 0.0668兩種方法結果相同。5. 指數(shù)分布一般所說

40、的指數(shù)分布，嚴格說來應該是負指數(shù)分布，也可以把它看成是泊松分布的特殊情況，即只考慮第一次故障概率的情況。指數(shù)分布是系統(tǒng)可靠性問題中用得最廣泛的一種分布，目前工程實用中常常不加證明地使用故障率為常數(shù)或者說與時間無關的假設。這一點通常用以下三種理由來解釋：第一，如果不作這樣的簡化，則尤其是對于大系統(tǒng)，問題的復雜程度將使解析方法難以應用；第二，評估所用的數(shù)據(jù)常常很有限，不足以檢驗所用分布的正確性。因此，使用更復雜的方法缺乏足夠可信數(shù)據(jù)的支撐；第三，如果只研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率值，已經有資料驗證，只要元件在統(tǒng)計上是獨立的，則分布類型對結果的影響甚小。不過應當強調的是，如果是研究與時間相關的概率，不同的分布

41、會得到明顯不同的結果。(1) 概率分布如早先所述，當故障率為常數(shù)時，可靠度是 (40)從而故障密度函數(shù)為 (41)圖16示出這種分布的可靠性函數(shù)圖16指數(shù)分布可靠性函數(shù)(a) R(t)和Q(t)；(b) 故障密度函數(shù)；(c) 累積故障分布函數(shù)；(d) 故障率由圖16a中表示的面積可分別計算給出不可靠度和可靠度 (42) (43)(2) 均值和標準差根據(jù)式(22)可得利用分部積分，上式可變?yōu)?(44)所以再由式(23)有因此 (45)也就是說，指數(shù)分布的期望值和標準差相等。例24 研究圖17所示兩相同元件并聯(lián)工作冗余系統(tǒng)的可靠性。解 設每個元件的故障率為，并且其壽命服從指數(shù)分布。按照題意可知，只

42、要有一個元件工作該系統(tǒng)就能正常運行，即必須兩個元件都故障系統(tǒng)才失效。因此可由式(5)計算系統(tǒng)的失效概率為圖17兩相同元件并聯(lián)工作冗余系統(tǒng)系統(tǒng)的工作概率為而根據(jù)式(31)得到系統(tǒng)平均持續(xù)工作時間為假設每個元件的故障率為0.02次/小時，要求系統(tǒng)至少持續(xù)工作10小時，則計算該系統(tǒng)的工作可靠度為系統(tǒng)的平均持續(xù)工作時間為小時這個例子的計算過程可以推廣到n個相同元件并聯(lián)工作冗余系統(tǒng)的情形，其中n=3的算式為3 馬爾可夫隨機過程概念3.1 引言馬爾科夫過程是一種常見的無后效性隨機過程，其特點是隨機過程在將來的狀態(tài)僅與其現(xiàn)在所處狀態(tài)有關，而與過去所處狀態(tài)無關。也就是說，當一個系統(tǒng)在某一時刻的狀態(tài)已知時，其后

43、的一切統(tǒng)計特性和它過去的狀況無關；因之也常將這種系統(tǒng)稱為無記憶系統(tǒng)。在應用馬爾科夫過程進行工程系統(tǒng)可靠性模擬時常簡稱馬爾科夫方法，并在服從指數(shù)分布或泊松分布時，它也是一個平穩(wěn)隨機過程，即被模擬系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間而變化。馬爾科夫方法既可模擬離散也可模擬連續(xù)隨機變量，對于離散變量的情形則特稱馬爾科夫鏈。在工程系統(tǒng)可靠性領域中，常常研究的是時間連續(xù)和空間離散的問題。3.2 離散馬爾可夫鏈3.2.1 基本模型 隨機轉移概率矩陣設如圖18示具有1和2兩個狀態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)空間圖，其中帶箭頭的線條及其相應的權值分別表示狀態(tài)轉移的方向及其常數(shù)轉移概率。研究相繼的離散時間點上系統(tǒng)狀態(tài)的轉移過程。由假設條件可知

44、，這是一個離散馬爾可夫鏈。圖18兩狀態(tài)系統(tǒng)由圖可見，如果系統(tǒng)開始處于狀態(tài)1，則在一個時間間隔后，這個系統(tǒng)可能以1/2的概率停留在狀態(tài)1，或者以1/2的概率轉移到狀態(tài)2；即這時系統(tǒng)狀態(tài)1出現(xiàn)的概率是1/2，狀態(tài)2出現(xiàn)的概率也是1/2。如果系統(tǒng)開始處于狀態(tài)2，則在一個時間間隔后，系統(tǒng)可能以3/4的概率停留在狀態(tài)2，或者以1/4的概率轉移到狀態(tài)1，即這時系統(tǒng)狀態(tài)1出現(xiàn)的概率是1/4，狀態(tài)2出現(xiàn)的概率是3/4。如果用矩陣來模擬這一過程，則可構造以下矩陣 (46)式中，是在時間間隔開始時位于狀態(tài)i，經過一個時間間隔之后轉移到狀態(tài)j的概率。將其應用于圖18所示的系統(tǒng)，對于第一個時間間隔，如式(46)所示，

45、以及。將這一概念推廣到n個狀態(tài)的一般情況，可得如式(47)所示的矩陣。矩陣元素的定義是，行號i表示轉移發(fā)生時的起始狀態(tài)，列號j表示轉移到達的狀態(tài)。這個矩陣表示隨機過程的轉移概率，因此稱為系統(tǒng)的隨機轉移概率矩陣。應當注意，矩陣的每一行的概率之和必然為1。 (47)3.2.2 時間相關概率由前一節(jié)隨機轉移概率矩陣的概念，可以利用式(48)方便地計算任意時間間隔后系統(tǒng)各個狀態(tài)的概率。 (48)式中，P(x)為第x步時間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率矢量；為隨機轉移概率矩陣P的n次自乘。以圖18的系統(tǒng)為例，設其開始處于狀態(tài)1，則系統(tǒng)初始狀態(tài)矢量為。于是可計算2個時間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率：3.2.3 極限狀態(tài)概率

46、設若所研究的系統(tǒng)存在一個穩(wěn)定的極限狀態(tài)，則根據(jù)前述概念可推論出，一旦系統(tǒng)達到極限狀態(tài)，則這時再用隨機轉移概率矩陣與系統(tǒng)極限狀態(tài)概率相乘，其乘積不變。即如果表示極限概率矢量，而P為隨機轉移概率矩陣，則 (49)以圖18的簡單兩狀態(tài)系統(tǒng)為例，應用這一原理，并令和分別為在狀態(tài)1和2時的極限概率，則有即這個關系式中只有一個獨立方程，因之需要與下式聯(lián)立求解并在此寫成矩陣形式由此解出該系統(tǒng)兩個狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)(或稱極限)概率3.2.4 吸收狀態(tài) 狀態(tài)期望停留時間計算在不可修系統(tǒng)中，當進入某些狀態(tài)后就不再發(fā)生向其他狀態(tài)的轉移，例如進入失效狀態(tài)，就意味著任務的結束。將這種一旦進入就不再向外轉移的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)，這

47、時可靠性分析的一個主要求就是計算系統(tǒng)停留在非吸收狀態(tài)的平均時間間隔數(shù)，即計算系統(tǒng)在進入某一個吸收狀態(tài)前的平均運行時間間隔。這一理念也可用于可修系統(tǒng)，計算其進入不希望進入的一個或幾個狀態(tài)之前成功運行的平均時間間隔數(shù)。此時，這些狀態(tài)也許不是真正的吸收狀態(tài)，因為在經過維修之后可以向其他狀態(tài)轉移。然而，若把這些狀態(tài)(例如失效狀態(tài))規(guī)定為吸收狀態(tài)，就可利用吸收狀態(tài)的概念來計算平均持續(xù)運行時間間隔數(shù)。仍以圖18所示的兩狀態(tài)系統(tǒng)為例，如果系統(tǒng)從狀態(tài)1開始，停留在這一狀態(tài)而不進入狀態(tài)2的概率將隨時間間隔數(shù)的增加而逐步減少，即只要允許時間間隔數(shù)變得足夠大，則系統(tǒng)最終必然進入狀態(tài)2。從數(shù)學上分析，這是因為 (50

48、)式中，n為時間間隔數(shù)，（1/2）為停留在狀態(tài)1的概率。如果定義狀態(tài)2為吸收狀態(tài)，就意味著最終必然進入該狀態(tài)。需要計算的是進入吸收狀態(tài)2之前的平均時間間隔。推論到一般情形，則是計算系統(tǒng)進入吸收狀態(tài)之前的期望時間間隔數(shù)。設P為任意系統(tǒng)的隨機轉移概率矩陣，Q為P中刪去與吸收狀態(tài)對應的行和列后的降階矩陣，稱其為截尾矩陣。于是應用數(shù)學期望的概念得出N=1·1+1·Q+1·Q2+1·Qn-1=1+Q+Q2+Qn-1 (51)式中N為期望時間間隔數(shù)。考慮到Q中的元素均是小于1的概率值，即有因此，通過一定的初等數(shù)學變換，當時，可得 (52)3.2.5 算例研究圖19所

49、示的三狀態(tài)系統(tǒng)，轉移概率已在圖中標明。試計算(1)每個狀態(tài)的極限狀態(tài)概率，(2)當狀態(tài)3為吸收狀態(tài)時，停留在每一個非吸收狀態(tài)的平均時間間隔數(shù)。圖19三狀態(tài)例系統(tǒng)(1) 該系統(tǒng)的隨機轉移概率矩陣為如果極限狀態(tài)概率分別為P1、P2和P3，則由式(49)得與式 聯(lián)立并整理后，有解出P1=4/11，P2=4/11 和P3=3/11。(2) 如果狀態(tài)3是吸收狀態(tài)，則得截尾矩陣為則因此即N11=4，N12=2，N21=0，N22=2。這些數(shù)值表明，若系統(tǒng)開始處于狀態(tài)1時，停留在狀態(tài)1的平均時間間隔數(shù)是4（= N11）；若系統(tǒng)開始處于狀態(tài)1，停留在狀態(tài)2的平均時間間隔數(shù)是2（= N12），等等。N21是零，

50、表明若系統(tǒng)開始于狀態(tài)2，則停留在狀態(tài)1的時間間隔數(shù)為0。原因是從狀態(tài)2到狀態(tài)1沒有直接轉移，從狀態(tài)2到狀態(tài)1的唯一途徑是通過狀態(tài)3這個吸收狀態(tài)。3.3 連續(xù)馬爾可夫過程可靠性問題通常涉及到在空間上離散而在時間上連續(xù)的系統(tǒng)，當系統(tǒng)元件失效和修復的條件概率是常數(shù)時，即可滿足平穩(wěn)馬爾科夫過程的條件。不可維修或可維修系統(tǒng)以及串聯(lián)、并聯(lián)冗余或備用冗余系統(tǒng)均可運用馬爾可失方法進行分析。3.3.1 模擬方法如圖20的單個可維修元件系統(tǒng)狀態(tài)空間表達，設其故障率和修復率均為常數(shù)，即其特性可用指數(shù)分布模擬。圖20單個元件可維修系統(tǒng)（a）狀態(tài)空間圖，（b）可靠度和時間相關可用度設：=元件刻t可運行的概率=元件在時刻

51、t在時失效的概率=失效率=修復率則有圖20a所示系統(tǒng)運行和故障狀態(tài)的密度函數(shù)分別為參數(shù)和又可統(tǒng)稱為狀態(tài)轉移率，并給出如下定義：3.3.2 時間相關概率設前述系統(tǒng)狀態(tài)轉移時間間隔增量dt足夠小，以致在dt增量中發(fā)生兩個或更多個事件的概率可以忽略不計，則系統(tǒng)在dt之后運行狀態(tài)的概率，即在圖20a中時段t+dt內處于狀態(tài)0的概率是：在時刻t運行且在時間dt中不失效的概率+在時刻t失效且在時間dt中被修復的概率，即 (53)同理 (54)整理后并使用導數(shù)的通用符號，當dt0時，有于是得 (55a) (55b)用矩陣表示為 (55c)解出 (56a) (56b)式中，概率P0(t)和P1(t)分別是系統(tǒng)

52、起始時間t=0處于運行狀態(tài)時，作為時間函數(shù)的運行狀態(tài)和故障狀態(tài)的概率，通常稱為可用度和不可用度，也可稱為可用(概)率和不可用(概)率。值得強調的是，它與式(40)所示的可靠度 ，顯然不是同一概念。3.3.3 極限狀態(tài)概率如果分別用P0和P1表示運行狀態(tài)和故障狀態(tài)的極限狀態(tài)概率值，則當時，從式(56a）和(56b）可得 (57a) (57b)這些極限狀態(tài)概率也就相應于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用率和不可用率。3.3.4 隨機轉移概率矩陣評估方法當時間間隔的增量充分小，以使區(qū)間中發(fā)生兩次或多于兩次轉移的概率可以忽略不計；則可將連續(xù)過程離散化，利用離散馬爾科夫鏈的隨機轉移概率矩陣概念，分析連續(xù)過程的問題。因為充分小，在這個時間區(qū)間中發(fā)生轉移的概率可等于轉移率乘以該時間區(qū)間的長度。如果元件的故障率是，那么在時間中轉移為失效狀態(tài)的概率=，而在時間中不發(fā)生故障的概率=。從而得出圖