關(guān)于漆包線排產(chǎn)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1、關(guān)于漆包線排產(chǎn)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型摘要 對(duì)于漆包線排產(chǎn)的優(yōu)化安排，我們通過分析與模擬并使用計(jì)算機(jī)編程得到問題所需求的合理估計(jì)值,對(duì)于工廠的排產(chǎn)安排有一定的指導(dǎo)作用。本文旨在通過合理假設(shè)得出工廠排產(chǎn)的利益最大化模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有一定的意義。對(duì)于問題一，題目要求制定業(yè)務(wù)員工作量額度以最大化工廠與業(yè)務(wù)員的利益。我們根據(jù)十個(gè)業(yè)務(wù)員的訂單情況以及在機(jī)器不空轉(zhuǎn)的情況下，對(duì)3月份的生產(chǎn)排產(chǎn)對(duì)接問題進(jìn)行方差模擬，在保證工廠和業(yè)務(wù)員的利益最大化的情況下制定合理的工作量額度。由于本問題沒有出現(xiàn)成本價(jià)格，只從訂單的數(shù)量以及生產(chǎn)費(fèi)用來衡量工廠收益。對(duì)于問題二，基于所有訂單都能如期完成的基礎(chǔ)上 ，將訂單按照型號(hào) 0.85m

2、m 1.32mm 與 2.0mm 3.75mm 分為甲和乙兩大類，并將各自類中所有訂單按照接單日期的先后順序進(jìn)行編號(hào)，再將 3 月 2 號(hào)到 4 月 6 號(hào)細(xì)分為 0 到 864 個(gè)小時(shí)，這樣就可以設(shè)出每臺(tái)機(jī)器在哪個(gè)時(shí)間段為哪個(gè)訂單做貢獻(xiàn),在滿足多數(shù)據(jù)不重疊有順序的前提下，對(duì)時(shí)刻進(jìn)行大量次數(shù)的隨機(jī)模擬，從而得出生產(chǎn)費(fèi)用中轉(zhuǎn)化費(fèi)用最低的排產(chǎn)波動(dòng)范圍。關(guān)鍵詞： 方差模擬、MATLAB、0-1 型整數(shù)規(guī)劃、隨機(jī)模擬一 問題重述在現(xiàn)實(shí)生活中，工廠根據(jù)業(yè)務(wù)員的訂單情況從工廠和業(yè)務(wù)員的利益出發(fā)，制定業(yè)務(wù)員的合理工作量額度以及根據(jù)訂單制訂合理的排產(chǎn)方案對(duì)現(xiàn)實(shí)中制造業(yè)的發(fā)展有著重要的指導(dǎo)作用。在實(shí)際情況中由于

3、業(yè)務(wù)員人數(shù)眾多以及訂單的數(shù)量之大很難做出協(xié)調(diào)，所以該模型有很重要的意義。本文主要從實(shí)際例子中抽象出最優(yōu)排產(chǎn)方案的模型求解。本論文主要討論以下問題：(1).對(duì)于給定的來自十名業(yè)務(wù)員的三月份訂單情況，尋求業(yè)務(wù)員合理的工作量額度，使得工廠與業(yè)務(wù)員的利益均能保證.。以業(yè)務(wù)員三月份的訂單為參考，在保證整體業(yè)務(wù)員有抽成的情況下尋求工廠利益的最大化，從而得出業(yè)務(wù)員合理工作量額度，最終結(jié)果表示為工廠利益與業(yè)務(wù)員利益同時(shí)達(dá)到最大值。(2).對(duì)于三月份訂單的情況，我們用時(shí)間量化、訂單順序化、機(jī)器順序化的思想建立了隨機(jī)生成模型。最終結(jié)果表示為每臺(tái)機(jī)器在每個(gè)時(shí)間段對(duì)每份訂單的開始貢獻(xiàn)時(shí)刻和結(jié)束貢獻(xiàn)時(shí)刻兩張二維表，也即

4、得出貢獻(xiàn)時(shí)間段。二問題分析2.1 問題一的分析要實(shí)現(xiàn)工廠與業(yè)務(wù)員利益在合理工作額度下達(dá)到最大化，我們考慮在總體業(yè)務(wù)員利益得到保證的情況下，進(jìn)一步探索工廠利益的最大化。問題分三個(gè)步驟完成，第一步對(duì)整體業(yè)務(wù)員三月份訂單進(jìn)行分析，獲得業(yè)務(wù)員訂單的變化。第二步基于保證業(yè)務(wù)員訂單數(shù)量的完成，達(dá)到工廠利益最大同時(shí)機(jī)器不空轉(zhuǎn)。第三步對(duì)十名業(yè)務(wù)員三月份訂單數(shù)量進(jìn)行方差模擬，得到最優(yōu)解。2.2 問題二的分析問題二在保證所有訂單都能如期交貨的情況下，采用隨機(jī)數(shù)法，在大量隨機(jī)數(shù)據(jù)下，尋得最優(yōu)排產(chǎn)使得生產(chǎn)費(fèi)用最低。問題分三個(gè)步驟完成，第一步，將訂單進(jìn)行排序，量化時(shí)間，設(shè)出每臺(tái)機(jī)器對(duì)不同訂單的貢獻(xiàn)時(shí)段。第二步，用隨機(jī)數(shù)

5、法，產(chǎn)生足夠數(shù)量且符合約束條件的每臺(tái)機(jī)器對(duì)不同訂單的貢獻(xiàn)時(shí)段。第三步，綜合第二步所生成的結(jié)果，以生產(chǎn)費(fèi)用最低為標(biāo)準(zhǔn)，得出合理的排產(chǎn)計(jì)劃。三 模型假設(shè)1. 工廠生產(chǎn)機(jī)器可 24 小時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)且不出現(xiàn)故障，不產(chǎn)生廢料。2. 客戶下單日機(jī)器即開始工作，直至交貨日期。3. 機(jī)器轉(zhuǎn)化生產(chǎn)型號(hào)時(shí)無需耗時(shí)。4.上個(gè)月訂單全部完成，不拖欠到本月。四符號(hào)說明第 i 項(xiàng)訂單開始的時(shí)刻(即接單時(shí)間)第 i 項(xiàng)訂單結(jié)束的時(shí)刻(即交貨時(shí)間)第 j 臺(tái)機(jī)器開始生產(chǎn)第 i 項(xiàng)訂單的時(shí)刻第 j 臺(tái)機(jī)器結(jié)束生產(chǎn)第 i 項(xiàng)訂單的時(shí)刻判斷第 j 臺(tái)機(jī)器從第 i - 1 項(xiàng)訂單轉(zhuǎn)為第 i 項(xiàng)訂單是否對(duì)第記錄第 j 臺(tái)機(jī)器從第 i - 1

6、 項(xiàng)訂單轉(zhuǎn)為第 i 項(xiàng)訂單的轉(zhuǎn)化各型號(hào)漆包線訂單總噸數(shù)第 i 項(xiàng)訂單對(duì)應(yīng)的銅漆包線類型i訂單號(hào)五模型的建立與求解5.1問題 1 的模型建立與求解通過細(xì)化額度,我們現(xiàn)在三月份將各個(gè)型號(hào)的漆包線(0.85mm，0.90mm，0.95mm，1.00mm，1.32mm，2.00mm，2.05mm，2.65mm，3.35mm，3.75mm)進(jìn)行分析，把業(yè)務(wù)員的訂單情況匯總為表格：（詳見附錄1）表5.1.1 ：每個(gè)業(yè)務(wù)員對(duì)不同型號(hào)的訂單數(shù)量及總量業(yè)務(wù)員（人）數(shù)量（噸）（噸）型號(hào)（mm）0.850.90.951.001.322.02.52.653.353.75總計(jì)1108050802010250230505

7、52560220310030305055553204602020100200511012060508042068060801001204407307080802608907080603050380910050602101060605030200總計(jì)3802604452102602652602901953352900在三月份，如果機(jī)器不空轉(zhuǎn)的情況下，最多能生產(chǎn)2700噸，但是三月份業(yè)務(wù)員的訂單總額卻是2900噸，根據(jù)附件可得超出訂單量可在4月份生產(chǎn)，不影響本月的銷售計(jì)劃。我們僅對(duì)三月份的銷售員的訂單情況通過MATLAB計(jì)算方差運(yùn)算，程序如下：（詳見附錄2）a=250 220 320 200 42

8、0 440 260 380 210 200;b=sum(a)/size(a,1); c=0; for i=1:10 c=(a(i)-b)2+c; end d=sqrt(c/(size(a,1)-1); disp(d);最終我們得到業(yè)務(wù)員在每月275噸左右訂量時(shí)，方差最小，即收益最高。同時(shí)也符合工廠的最優(yōu)利益。5.2問題 2 的模型建立與求解我們已知該工廠車間擁有 20 臺(tái)機(jī)器，由于機(jī)器不能在漆包線規(guī)格0.85mm 1.32mm與規(guī)格2.0mm 3.75mm之間互相轉(zhuǎn)化。因此，我們將規(guī)格種類0.85mm 1.32mm與2.0mm 3.75mm分別記為甲品種漆包線與乙品種漆包線?，F(xiàn)在我們對(duì)兩種類型

9、的漆包線訂單量進(jìn)行討論，通過對(duì)附錄表格的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，我們可以輕易地得出，甲類型與乙類型漆包線在3月份的總訂單量分別為 1555t與1335t. 經(jīng)計(jì)算，9臺(tái)機(jī)器在 36 天(工廠訂單共涵蓋36天)的產(chǎn)量為 1458t，10臺(tái)機(jī)器 36 天產(chǎn)量為1620t，11臺(tái)機(jī)器 36 天產(chǎn)量為1782t. 由此，我們可以進(jìn)行合理假設(shè)，工廠各指派 10 臺(tái)機(jī)器分別加工甲類型漆包線與乙類型漆包線.并且可以知道每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)的工作量為 0.1875t.。對(duì)甲類型訂單的分析對(duì)附錄表格進(jìn)行分析整理，將所有訂單按照接單日期的先后順序，將天數(shù)小時(shí)化(3月 2 號(hào)到 4 月 6 號(hào)細(xì)分為 0 到 864 小時(shí)），并記

10、3 月 2 日 0 點(diǎn)為時(shí)間軸起點(diǎn)，我們可以得到如下時(shí)間圖表 (圖 5.2.1)，并分析得到訂單屬性 (圖 5.2.2) 。圖5.2.1橫坐標(biāo)為時(shí)間軸，縱坐標(biāo)為訂單序號(hào)圖 5.2.2我們用表示第j臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)第i項(xiàng)訂單的時(shí)刻，用第i臺(tái)機(jī)器結(jié)束生產(chǎn)第i 項(xiàng)訂單的時(shí)刻。由訂單屬性可得不等式：其中 i = 1, 2, , 24 ，j = 1, 2, , 10 .由于機(jī)器只有結(jié)束第 i 項(xiàng)訂單的生產(chǎn)后，才能轉(zhuǎn)向生產(chǎn)第 (i + 1) 項(xiàng)訂單，可得方程：?jiǎn)栴}二要求每項(xiàng)訂單均能按時(shí)完成，并最小化費(fèi)用，而（-）表示第j臺(tái)機(jī)器對(duì)第 i 項(xiàng)訂單貢獻(xiàn)的小時(shí)數(shù)，故得方程：其中 i = 1, 2, , 24.工廠生產(chǎn)費(fèi)

11、用考慮三個(gè)方面：生產(chǎn)類型轉(zhuǎn)化的費(fèi)用、總空轉(zhuǎn)費(fèi)用、總加工費(fèi).由于生產(chǎn)總量固定，故而總加工費(fèi)為一常數(shù)為 15378 元，且在 36 天內(nèi)的總空轉(zhuǎn)天數(shù)數(shù)也為常數(shù)(1620-1555)/4.5=14.45，所以空轉(zhuǎn)費(fèi)用為 34667元.因此只需考慮生產(chǎn)類型轉(zhuǎn)化的費(fèi)用。因此可以定義用以判斷第j 臺(tái)機(jī)器從第 i - 1 項(xiàng)訂單轉(zhuǎn)為第 i 項(xiàng)訂單后，是否對(duì)第 i 項(xiàng)訂單有貢獻(xiàn). 定義用以判斷第j 臺(tái)機(jī)器從第 i - 1 項(xiàng)訂單轉(zhuǎn)為第 i 項(xiàng)訂單后，是否需要轉(zhuǎn)化費(fèi). 故而， 其中 i = 2,3, , 24 ，j = 1, 2, , 10 .于是可以得到第 j 臺(tái)機(jī)器從第 i - 1 項(xiàng)訂單轉(zhuǎn)為第 i 項(xiàng)訂單

12、后所需要的轉(zhuǎn)化費(fèi)為：所以總轉(zhuǎn)化費(fèi)用為：此即為目標(biāo)函數(shù)，我們希望得到它的最小值。采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成 10000 組數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬(詳見附錄 3 )，選取其中一組代表性數(shù)據(jù)置于（附錄4）經(jīng)隨機(jī)模擬后得到的甲類型大致最小總轉(zhuǎn)化費(fèi)為 88300 元,將空轉(zhuǎn)費(fèi)以及加工費(fèi)計(jì)算進(jìn)去得到生產(chǎn)最小總費(fèi)用為88300+15378+34667=138345(元)。對(duì)乙類型訂單的分析思路。方法同甲類型，這里不再贅述。只將原始數(shù)據(jù)分析圖表圖 5.2.2橫坐標(biāo)為時(shí)間軸，縱坐標(biāo)為訂單序號(hào)圖 5.2.3經(jīng)計(jì)算，B 類型生產(chǎn)最小總費(fèi)用為 124600+14388+152000=290988(元)綜上，按照附錄中的排產(chǎn)方式，得到最

13、小總費(fèi)用為 138345+290988=429333(元)六模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1 模型評(píng)價(jià)(1)本文基于對(duì)業(yè)務(wù)員工作量的規(guī)劃以及工廠訂單的合理安排，采取了方差模擬，MATLAB運(yùn)算等，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力，可以在現(xiàn)實(shí)情況使用對(duì)應(yīng)求解方法使得工廠與業(yè)務(wù)員的利益最大化與平衡化。(2)充分結(jié)合現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)與合理假設(shè)，提出了如隨機(jī)模擬、多目標(biāo)方程和最優(yōu)問題求解等思想。6.2 模型改進(jìn)(1)計(jì)算復(fù)雜度的優(yōu)化由于前面所采用的算法都基于方差模擬、隨機(jī)生成數(shù)的思想，當(dāng)工廠訂單量遞增時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度將呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。對(duì)此，我們可以采取更加優(yōu)秀的搜索算法，例如使用分治算法進(jìn)行二分查找等。(2)準(zhǔn)確度的優(yōu)化由于所

14、采用方差模擬與隨機(jī)數(shù)法均存在波動(dòng)性，所得數(shù)據(jù)精確度可進(jìn)一步提高。對(duì)此，我們可以采取深度搜索算法，使之得到更為確切的排產(chǎn)方式，并且可以為之為參考，在其附近尋求更為精確的排產(chǎn)方式。七參考文獻(xiàn)1 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京: 高等教育出版社, 20092 卓金武，MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：北京航空航天出版社 2011附錄1：業(yè)務(wù)員（人）數(shù)量（噸）（噸）型號(hào)（mm）0.850.90.951.001.322.02.52.653.353.75總計(jì)11080508020102502305055256022031003030505555320460202010020051101206050

15、8042068060801001204407307080802608907080603050380910050602101060605030200總計(jì)3802604452102602652602901953352900附錄2：a=250 220 320 200 420 440 260 380 210 200;b=sum(a)/size(a,1); c=0; for i=1:10 c=(a(i)-b)2+c; end d=sqrt(c/(size(a,1)-1); disp(d);附錄3#include <iostream>#include <cstdio>#includ

16、e <cmath>#include <cstdlib>#include <ctime>using namespace std;int t2511, k2511;int u2511, v2511;int temp125 =0,0,0,24,48,48,72,72,96,144,168,192,192,192,312,336,336,360,360,408,432,504,528,552,624;int temp225 =0,336,216,336,360,312,432,360,432,504,408,552,456,456,672,600,576,696,6

17、72,720,672,720,768,864,840;double m25 =0,10,30,30,60,30,110,60,70,55,60,80,20,100,100,80,80,50,70,80,60,60,50,120,90;double s25 =0,0.85,0.9,1,0.95,1.32,0.85,0.95,0.9,0.95,0.85,0.9,1,1.32,0.95,0.85,1,0.9,1.32,1,0.9,1.32,0.95,0.95,0.85;/隨機(jī)生成數(shù)據(jù)double random(double start,double end)return start + (end -

18、 start) * rand() / (RAND_MAX + 1.0);int main() /隨機(jī)生成t int x;srand( unsigned( time(0) ) );/srand(time(NULL);for(int i = 1; i <= 24; i+) ui1 = temp1i;vi1 = temp2i;for(int j = 1; j <= 10; j+) uij = ui1;vij = vi1;int d = vij - uij;x = random(vij, uij);tij = x % d + uij;for(int i = 1; i <= 24; i+) for(int j = 1; j <= 10; j+) printf("%d ", tij);printf("n");int flag, sumk, sumt;srand( unsigned( time(0) ) );/srand(time(NULL);while(!flag) for(int i = 1; i <= 24; i+) f