例談直線與平面所成角的求解策略

1、例談直線與平面所成角的求解策略山西省臨猗中學(xué) 陸永泉 （044100）高考考查的直線與平面所成的角，主要指的是平面的斜線與平面所成的角，而斜線與平面所成交的定義就已經(jīng)給出了它的計算方法，即將其轉(zhuǎn)化為斜線與其在平面的射影所成的角。因此求解斜線與平面所成的角的關(guān)鍵是：作出或找出斜線在平面的射影，然后轉(zhuǎn)化到直角三角形中加以解決。一. 選點做垂線，連結(jié)得射影. 借助已知條件，在斜線上選一點作已知平面的垂線，連結(jié)垂足及斜足得所求的角.例1.（2004年，天津文）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點. P E C B F D A.求證：PA

2、平面EDB .求EB與底面ABCD所成的角的正切值. . 略. 解法1.作EFDC交DC于F，連結(jié)BF.設(shè)正方形ABCD的邊長為a，PD底面ABCD，PDDC，EFPD，F(xiàn)為DC的中點，EF底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故EBF為直線EB與底面ABCD 圖1所成的角，在RtBCF中，BF= FE=PD=，在RtEFB中，tanEBF=所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為.解法2. 如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=a。依題意A（a,0,0）,P(0,0,a),E(0, ),B(a,a,0),C(0,a,0),取DC的中點F（0，0），連結(jié)EF、BF E

3、F底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故EBF為EB與底面ABCD所成的角，在RtEFB中， zP y E C B F D A x所以,EB與底面ABCD所成的角的正切值為. 圖2二. 借現(xiàn)成結(jié)論，直接找射影. 結(jié)論1.從一個角的頂點引這個角所在平面的斜射線，使斜射線和這個角兩邊的夾角相等，則斜線在平面的射影是這個角的平分線所在的直線.結(jié)論2.兩個垂直的平面，其中一個平面內(nèi)的任一條斜線在另一平面的射影必為兩垂面的交線. P FA D C B例2.（2004年，全國卷）如圖3，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.求證：ABBC.設(shè)AB=BC=，求AC

4、與平面PBC所成角的大小。解. .略.作CFPB與F，連結(jié)AF、DF。因為PBCPBA所以AFPB，AF=CF因此，PB平面AFC，所以面AFC面PBC，交線是CF， 圖3因此直線AC在平面PBC內(nèi)的射影為直線CF，ACF為AC與平面PBC所成的角在RtABC中，AB=BC=2，所以BD=.在RtPDC中，DC=，PD=在RtPDB中，在RtFDC中，tanACF=所以ACF=300，即AC與平面PBC所成角為300.例3.在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點。1. 求證；四邊形BEDF是菱形；2. 求直線AD與平面BEDF所成的角解. .略. ADF=ADE，連結(jié)DB、AB，易證AD在平面BEDF的射影為DB。則ADB為直線AD與平面BEDF所成的角. 在RtADB中，DAB=900，DA=a,DB=a D CFA B D C EA BcosADB=ADB=arccos三. 借助點面距，無須作射影。例四：四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=AB=2，E是PB的中點.求異面直線PA和DC的距離. 圖4PD E C A B.求直線AE與平面PBC所成的角的正弦值.解：.略. PD平面ABCD，且AB面ABCD，PDAB，又ABAD，且PDAD=DAB平面PDA，故ABPA在RtPAB中，E是PB的中點，AE=PB，PA=