第三講數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法

1、第三講 數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法一、觀察法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來考慮，一是對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分拆以后，尋找分拆項(xiàng)之間的規(guī)律；二是如果數(shù)列中出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)相間的話，則需用或來調(diào)節(jié)；三是和等差與等比數(shù)列相聯(lián)系，利用特殊數(shù)列求解。例1、求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。1，0，1，03，33，333，333311，103，1005，10007解：此數(shù)列可拆為三部分，第一部分為通項(xiàng)是，第二部分分子部分為，通項(xiàng)是，第三部分分母部分為通項(xiàng)是，再由來調(diào)節(jié)正負(fù)號(hào)即可，故；此數(shù)列是由兩個(gè)基本數(shù)列和求得，故；在此數(shù)列中， 從而可得 此數(shù)列是由兩個(gè)基本數(shù)列與對(duì)應(yīng)項(xiàng)求和而得，故通項(xiàng)公式為二

2、、公式法：主要應(yīng)用于可定性為等差或等比數(shù)列的類型，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。形如，已知；解法為：，為常數(shù)，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（為數(shù)列的公差） 得到形如（為常數(shù)且），已知；解法為：，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列例2、求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列中求通項(xiàng)公式。解： 則是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。 為所求的通項(xiàng)公式。已知中且求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由得 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故即為所求通項(xiàng)公式。例3、已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)有， 則是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。又，故為所求的通項(xiàng)公式?！揪毩?xí)】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差為5，求【答案】三、前n項(xiàng)和法:

3、若知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，； 需要注意的是，對(duì)于時(shí)的情況一定要檢驗(yàn)，若當(dāng)時(shí)，也滿足的表達(dá)式，則兩式可合并。例4、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故例5、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)有， 則是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。，又，故為所求的通項(xiàng)公式。例6、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： ， ，得：， ，即數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列，故 ，從而又，故為所求的通項(xiàng)公式?！揪毩?xí)】1、已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式2、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。【答案】1、；

4、2、；3、四、 遞推公式法：1、若遞推公式為型，其中且，數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列；解此種類型數(shù)列，必須對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，從而化為，可知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列。例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為例8.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 6. 例9、已知數(shù)列滿足， ，求解：在等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得 ， 即所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，故【練習(xí)】已知數(shù)列滿足 ，求【答案】；2、若遞推公式型，則只須將原遞推公式化為，再以迭乘法求解即可。例10、已知數(shù)列滿足，求解：由得，所以， 由迭乘法可得【練習(xí)】1、已知：，（）求數(shù)列的通項(xiàng)。2、已知是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)

5、列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】1、；2、；3、若遞推公式為型，則只須將原遞推公式化為，再以迭加法求解即可。例11、已知數(shù)列滿足，求解：由題得所以有，由迭加法可得【練習(xí)】已知數(shù)列滿足 ，求【答案】；4、若遞推公式為（其中、為常數(shù)，）型，則需把原遞推公式化為，其中，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列。例12、已知數(shù)列滿足，求解：原等式可化為所以有即數(shù)列是以2為首項(xiàng)、以3為公比的等比數(shù)列故 從而【練習(xí)】在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)= 。【答案】； 5、若遞推公式為（其中為常數(shù)，為關(guān)于n的一次函數(shù)）型，即時(shí)，則引入輔助數(shù)列且，則原遞推公式可化為，從而知道是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。例13、已知

6、數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式解：設(shè)，則，所以，即。設(shè)解之得，所以且，由于是以3為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以有。由此得：6、若遞推公式為（其中、為常數(shù)，）型，此類型題需把原遞推公式兩邊同除以得，從而可引入輔助數(shù)列且，則原遞推公式可化為，從而化上一類型求解。例14、已知數(shù)列滿足，求解：在原不等式兩邊同除以得：不妨引入輔助數(shù)列且 則故即數(shù)列是以1為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列，故有 則7、若遞推公式為（其中、為常數(shù)且）型，此類型題需把原遞推公式化為，其中A、B滿足，從而把數(shù)列化為前一種類型求解。例15、已知數(shù)列滿足，求解：由 可設(shè)所以有解得或則有故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以 由迭加法可得：又由

7、得8、若遞推公式為（其中為常數(shù)）型。例16、已知求 解：設(shè)令，解得， ， ，得， ，為所求。9、若遞推公式為（其中為常數(shù)）型。考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 ， 令 ， 則可歸為型。例17、數(shù)列中，求的通項(xiàng)。解： ，設(shè)， ，10、若遞推公式為，（其中為常數(shù)）型。例18、已知是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，且滿足，（1）求，（2）若， ，如此構(gòu)成數(shù)列，求。解：（1） ， 得：， ，（2）是數(shù)列的個(gè)項(xiàng)的和， 的第一項(xiàng)為，第項(xiàng)為，。【練習(xí)】已知數(shù)列滿足，且 求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】；五、方程消元法：例18、已知函數(shù)，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：數(shù)列滿足，且，解得，.【練習(xí)】已知正項(xiàng)數(shù)列中，已知 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】；六、 用數(shù)列的周期性求通項(xiàng)：例19、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：，從而數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列。又，其中。【練習(xí)】已知數(shù)列滿足，則= （ ）A0B CD【答案】B；七、 歸納、猜想、證明三步法