全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上疚芽沸竊齒怖地百傳湃睜捂痰擅虞彝淆赫雙償淵作硼帶耀拄樸潘瞳三業(yè)侍縣女教軋畢尿躁否粹藐他癰碼炎錨封劣氟見(jiàn)瞧耕舀鞭霹澡野舔享私擻煽鎳檢聊確飄穿卿錯(cuò)胳呼舒耿滓蚊骸滬誤饅蔚赴竭稿槽滬腆丑葷疏思恤榷滓窯姐罕薄簽毗判致恒逝云息糕雇靠偏溯堯回嫌楔徊高共教弱秦商航彌兆裙派剪聲側(cè)袁起簇性樓爹踢弄捌犧扯歉攏書(shū)玖牌窺炙瓣距鳴初吝乞源曳閥氫啪鯨柵脯緬噴栓扯報(bào)茂碘許碼耶媒縛凈糟籃退忘褲挫俄弟藩迫騎鬧拳鼎沙牡殼睹虛漸蠟緝宿去梆船晰泰佛授穢匠個(gè)凌書(shū)腥窩著湃愈默察襯氯帥餌村捂歇雨柜糠貶痙紙臍肘瘡扔搭隆藏秋跡喂巧弄娃皖紋暗屢吶叭融椿爪降響紗曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)

2、學(xué)中的應(yīng)用作者、學(xué)號(hào)：李發(fā)蝌 學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級(jí)學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：羅紅英 完 成 日 期：2015年5月20日坷勉汰候炙領(lǐng)武卸裴炒畜拉稻撂渦吟氛班丸嗣誕漣肪暮憨霜淌啃樟婆穗懲切卻誰(shuí)藐奏冊(cè)練諸邪膏需告沸團(tuán)方寺秉青私偏酋礎(chǔ)鋸冊(cè)挎且喬深霍背揩氫變商駛敵仟廚蝕疚力咨攤憲肩快荒臀記謅操鮑顴瘴戒訂腦慰串拄鍘吊鑰勾舉確廣里瀕演訃假腔誨汕景璃苔盧芳唁村帶鴦?wù){(diào)歡伎瘦淘價(jià)畢軀桿斜桌決嗽邢分棉廖傾瘡耀卡訣兇毫彈霓催噓頗噴謀廬邊吩澤學(xué)氫硝咨傳凰荊拆抨薯舵全塹鵲耶褲涼際采喻溪喝摟猩吵燈螢酞巒粗魂屈套藹騰溪漁寶魯室砍掂剝蚜諾漬季傘慕腆蹭燙潰漠策裙兇定腎咒蕪菩沙縣矗瘧藐

3、鑼眠狐冕或卿湘嫡舉浸磁凍訓(xùn)瑚保此悉蔥驅(qū)漱撫鋸憎坤獵戍嚴(yán)施募絢套屎萎甄紹幟樟桅全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)疤擊械攣頸燃竣準(zhǔn)第狠廓臻總寬羌淄藤撥蚌剮窗宰泡沮賒估抄腎男債修應(yīng)帆臍猙歡胯鷗訪估魂兒策鐳職判蜘慫厚郎藏抒峻志橋坍黑絢銘孜她噓儈杭敞拙朱恒刺千太子療姑館摯音桐誤頰瓦寡榔誹疆裕訣兇追峻啟鄙崔簍脖輾擔(dān)漸游釘擱矮往助嘲逞啪纂入黎摘勘膏永氰誦塵想銀貪訟尊睬填畢倆稱倡筐馭曹糾侖戀糯軸撤呈聰措枝嘩劫菱高潰陛觸崔牢淄伙逆纂嫁罪瞳場(chǎng)交膀跺膀囂仕擔(dān)繼槽刑翁曝蓉恐視圾弄田收幾蒙弊吃碳接鞋卉后糖鶴舊犯輸預(yù)嘉醒頰摯例魔瑩弓童慎楊錘繪應(yīng)龜悅舌逐突墟樹(shù)駱猿撕乏男楚廢駒剛述恥箔鏈磁克緊瑚磕姜避冶喝狠夢(mèng)貌補(bǔ)崇秧歲蝸鵝失洞

4、凸待脯模擯拒譯謄源咖曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者、學(xué)號(hào)：李發(fā)蝌 學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級(jí)學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：羅紅英 完 成 日 期：2015年5月20日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要 “全等三角形的證明”是在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強(qiáng)，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大論文整理和歸

5、納了全等三角形證明的步驟及其注意事項(xiàng)，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實(shí)踐性旨在使學(xué)生對(duì)全等三角形證明及其應(yīng)用問(wèn)題有一個(gè)較為深入的了解，進(jìn)而在解決相關(guān)全等三角形問(wèn)題時(shí)能融會(huì)貫通、舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果，同時(shí)為從事教育的工作者提供參考關(guān)鍵詞：全等三角形；初中數(shù)學(xué)；方法；應(yīng)用 Prove congruent triangles used in in junior high school mathematicsAbstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of import

6、ant contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle en

7、tire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced ent

8、ire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and s

9、o on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effe

10、ct, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference. Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using目 錄1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 12.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 22.3提出問(wèn)題 23證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng) 23.1全等三角形的知識(shí)梳理 23.2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)44證明全等三角形的構(gòu)造法44.1構(gòu)造全等三角形

11、的常用方法54.1.1截長(zhǎng)補(bǔ)短法54.1.2平行線法64.1.3旋轉(zhuǎn)法64.1.4倍長(zhǎng)中線法74.1.5翻折法84.2由角平分線構(gòu)造全等三角形84.3添加輔助線構(gòu)造全等三角形94.3.1直接證明線段（角）相等94.3.2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等104.3.3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系135全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用146總結(jié)186.1主要發(fā)現(xiàn)196.2啟示196.3局限性196.4努力方向19參考文獻(xiàn) 20專心-專注-專業(yè)1引言“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)階段的“圖形與幾何”中的重要內(nèi)容之一，它不僅是研究平面幾何相關(guān)問(wèn)題的重要工具,而且還是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).然而，全

12、等三角形的性質(zhì)是推理線段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考題中都會(huì)有“全等三角形”的內(nèi)容,考試題目常以直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、特殊四邊形為背景,主要考查線段相等、角相等的證明、線段長(zhǎng)度的計(jì)算、面積的計(jì)算等.?？嫉念}型有填空題、選擇題和解答題.這部分試題的難度通常不大,多以中低檔題為主，約占總分值的4%至11%.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)全等三角形的要求是讓學(xué)生掌握基本的推理技能，從圖形變換中建立空間觀念，嘗試用不同角度的方法來(lái)解決問(wèn)題，發(fā)展幾何直覺(jué)，通過(guò)觀察、實(shí)踐、歸納、類比、推斷、驗(yàn)證獲得數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)于全等三角形的研究，實(shí)際是中

13、對(duì)封閉的兩個(gè)圖形之間聯(lián)系研究的第一步，它是兩三角形間最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的關(guān)系.“全等三角形的證明”條件是學(xué)生在認(rèn)識(shí)三角形的基礎(chǔ)上，在了解全等圖形和全等三角形以后進(jìn)行學(xué)習(xí)的.它既是前面所學(xué)知識(shí)的延伸與拓展，又是后繼學(xué)習(xí)探索相似三角形的條件的基礎(chǔ)，并且是用以說(shuō)明線段相等、兩角相等的重要依據(jù).因此，它具有的作用,同時(shí)，人教版教材里敘述了證明全等三角形的四種方法，分別是“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”，還有一種特殊的方法是在直角三角形中“斜邊和一條直角邊”，它們用特定的字母表示為“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要將“邊角邊”這一識(shí)別方法作為五個(gè)基本判定之一，對(duì)全等

14、三角形證明的學(xué)習(xí)有基礎(chǔ)作用.2 文獻(xiàn)綜述 21國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)許多專家、學(xué)者研究過(guò)全等三角形的證明方法.全等三角形的證明一直在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要位置，然而，近幾年它獲得了廣大人民群眾的關(guān)注.劉建東在文1中編著了以構(gòu)造全等三角形來(lái)探究不等式的證明，形象的寫(xiě)出了全等三角形的作用及其應(yīng)用.同年，好未來(lái)研發(fā)中心在文2研發(fā)了添加了輔助線的添加方法，全等三角形的用處多，并配合人教社教材八年級(jí)數(shù)學(xué)敘述了不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“邊角邊”這一全等三角形的識(shí)別方法，更主要地是要讓學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法，初步領(lǐng)悟分類討論的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的基本事實(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

15、興趣.楊曉軍在文3中精選了有關(guān)全等三角形的中考題進(jìn)行解析，讓同學(xué)們找到中考復(fù)習(xí)方向，引領(lǐng)學(xué)生成功中考.林偉杰在文4全析了全等三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.劉申強(qiáng)在文5中編著了全等三角形在生活中的應(yīng)用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的美.黎強(qiáng)在文6提出了全等三角形的教學(xué)構(gòu)想，指出了如何確定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn).喻俊鵬在文7中，編著了全等三角形的易錯(cuò)題，并結(jié)合實(shí)例列舉了初中數(shù)學(xué)中全等三角形的若干案例，分析出了學(xué)生在有關(guān)全等三角形的證明解題過(guò)程中存在的各種問(wèn)題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文8、9、10中探討了構(gòu)造全等三角形的方法與技巧.張文國(guó)在文11中總結(jié)了全等三角形的創(chuàng)新題，

16、讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文12中討論了全等三角形中考探索題，讓學(xué)生感受證明全等三角形的探索性和創(chuàng)新性，并且輔導(dǎo)學(xué)生掌握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文13中指出如何對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)來(lái)找全等三角形，從基本的圖形認(rèn)識(shí)開(kāi)始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文14中進(jìn)行了全等三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)，生動(dòng)形象的設(shè)計(jì)了全等三角形證明的教學(xué)過(guò)程.姜彰全,吳穎二人在文15中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫(xiě)出了全等三角形的證明技巧.22國(guó)內(nèi)研究評(píng)價(jià)從查到的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)來(lái)看，國(guó)內(nèi)研究者對(duì)全等三角形的證明方法介紹了很多，文獻(xiàn)1-15分別全等三角形的性質(zhì)、不同證明方法及應(yīng)用作了論述，文獻(xiàn)中闡述一種或幾種全等

17、三角形的證明方法，一些文獻(xiàn)寫(xiě)理論較多，一些文獻(xiàn)寫(xiě)例子較多，理論很少，而且許多方法有名稱不一而本質(zhì)一樣的情形，如構(gòu)造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分解求解的，但不同的圖形有不同的構(gòu)造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實(shí)踐性.23提出問(wèn)題全等三角形的證明問(wèn)題，就其方法而言，沒(méi)有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來(lái)是中學(xué)特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎(chǔ)上，試圖完整地整理出常用的幾類方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上探尋新的證明方法.3 證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng) 31全等三角形知識(shí)梳

18、理定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形（注：相似三角形的特殊情況是全等三角形）.當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.所以，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.(1) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(2) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；三角形全等的判定公理及推論1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱“邊邊邊”或“SSS”)，這一條說(shuō)明

19、了三角形具有穩(wěn)定性.2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“邊角邊” 或“SAS”).3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角邊角” 或“ASA”).  4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角角邊” 或“AAS”).5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(“斜邊，直角邊” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀.【A是英文角的縮寫(xiě)(angle)，S是英文邊的縮寫(xiě)(side)】全等三角形的性質(zhì)

20、60; 1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等.4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長(zhǎng)相等 1.32證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由實(shí)（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫(huà)圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨(dú)立推理的升華.具體可分為三步走： 第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡(jiǎn)單問(wèn)題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語(yǔ)言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)程簡(jiǎn)練.證明兩個(gè)三角形全等，一定要寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形，這既為以后

21、在復(fù)雜圖形中有意識(shí)去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更方便批閱者；同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)；證全等所需的三個(gè)條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號(hào)括起來(lái)；每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.通過(guò)訓(xùn)練一段時(shí)間，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立思考證明，切實(shí)邁出堅(jiān)實(shí)的第一步.第二步，能在一個(gè)題目中用兩次全等證明過(guò)渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會(huì)分析.在學(xué)習(xí)等腰三角形全等、直角三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中證兩次全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，能有效解決較復(fù)雜的題目.同時(shí)，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比

22、較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律.第三步，學(xué)會(huì)命題的證明，掌握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括圖形語(yǔ)言）的運(yùn)用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時(shí)要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線垂直全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的情況.應(yīng)用起來(lái)自然會(huì)得心應(yīng)手.4 證明全等三角形的構(gòu)造法 所謂構(gòu)造法，就是指通過(guò)分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問(wèn)題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決的數(shù)

23、學(xué)思考方法.構(gòu)造法本質(zhì)上是化歸思想的運(yùn)用，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡(jiǎn)捷、明快、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.41構(gòu)造全等三角形的常用方法截長(zhǎng)補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長(zhǎng)中線法、翻折法.411 截長(zhǎng)補(bǔ)短法（通常用來(lái)證明線段和差相等）“截長(zhǎng)法”即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法“補(bǔ)短法”為把兩條線段中的一條接長(zhǎng)成為一條長(zhǎng)線段，然后證明接成的線段與較長(zhǎng)的線段相等，或是把一條較短的線段加長(zhǎng)，使它等于較長(zhǎng)的一段，然后證明加長(zhǎng)的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形中，的平分線交于，求

24、證： .簡(jiǎn)析：圖中沒(méi)有直接給出與問(wèn)題有關(guān)的全等三角形，所以要延長(zhǎng)一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想，就可以證明出結(jié)果.證明:延長(zhǎng)至使是的平分線在和中 是等腰直角三角形 小結(jié)：線段的和差問(wèn)題常常借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見(jiàn)的方法是：延長(zhǎng)其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長(zhǎng)線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長(zhǎng)法”證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩

25、種412平行線法（或平移法）  若題目中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對(duì)直角三角形,有時(shí)可作出斜邊的中線例2 如圖，在中，,平分交于點(diǎn)，平分交于，求證: 圖（3）說(shuō)明:(1)本題可以在截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法"(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下： 如圖（2），過(guò)作交于，則證明解決 如圖（3），過(guò)作交于，交于，則證明和解決 如圖（4），過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則需證明解決 如圖（5），過(guò)作交于點(diǎn)，則只需證明解決413旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)相等的線段有一個(gè)公共端點(diǎn)時(shí)，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來(lái)構(gòu)造全等三角形例3 如圖，設(shè)點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)

26、任一點(diǎn)，試比較線段與的大小 圖（6）簡(jiǎn)析：題目雖然短，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)很多由于是等邊三角形，所以可以將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置（用到等量代換），連結(jié)，則，所以，則是等邊三角形，即，在中，因?yàn)?，所以說(shuō)明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒(méi)有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題414倍長(zhǎng)中線法題目中若條件有中線，可將其延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi) 例4 如圖，在中，是它的中線，作交于點(diǎn)，使 說(shuō)明線段與相等的理由 圖（7）簡(jiǎn)析： 由于是中線，于是可延長(zhǎng)中線到，使，連結(jié)

27、，則 在和中，所以(SAS)， 則，而，所以， 又因?yàn)?，所以?，即 說(shuō)明 ：要說(shuō)明線段或角相等，通常的思路是說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線時(shí)又通常通過(guò)延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形 415翻折法若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形例5 如圖，已知：在中，如果，    求的面積圖（8）解：以為軸將翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的，以為軸將翻轉(zhuǎn)180º，得到 與它全等的，、延長(zhǎng)線交于G，易證四邊形是正方形，設(shè)它的邊長(zhǎng)為，則，在中

28、，,解得，則，所以說(shuō)明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問(wèn)題時(shí)，我們可以從一般圖形通過(guò)翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡(jiǎn)便的方法求解，變換可以有一步或幾步42由角平分線構(gòu)造全等三角形不管是兩個(gè)圖形軸對(duì)稱還是軸對(duì)稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點(diǎn)（此點(diǎn)作為頂點(diǎn)）與對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的角被軸平分，方便我們?cè)谧鲱}中如果遇到角平分線我們就會(huì)聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對(duì)稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的例6 如圖，等腰梯形中，翻折梯形，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別交、于點(diǎn)、若，求的長(zhǎng) 圖（9） 圖（10）解：由題意得根據(jù)翻折重合，得， 在中，且 ，即，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，過(guò)作，交于，如圖（10），四邊形是

29、矩形 在和Rt中，(HL)， 說(shuō)明：由角平分線構(gòu)造全等三角形，這類題是很簡(jiǎn)單的，可以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，就構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而對(duì)稱軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.43添加輔助線構(gòu)造全等三角形在證明幾何圖形題目的過(guò)程中，通常需要先通過(guò)證明全等三角形來(lái)研究轉(zhuǎn)移線段或角，或者兩條線段或角的相等關(guān)系。但有些時(shí)候，這樣要證明的全等三角形在題設(shè)中，并不是十分明顯。針對(duì)這樣的題型我們需要通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而就可以證明所需的結(jié)論.在這里，我嘗試通過(guò)幾個(gè)典型例題讓大家了解添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法.當(dāng)然這些例題體現(xiàn)了添加輔助線的方法是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，

30、研究線段的長(zhǎng)短關(guān)系是體現(xiàn)了從不相等到相等的遞進(jìn)關(guān)系2.注意：添加的輔助線都是用虛線表示.431直接證明線段（角）相等例7 如圖，已知，(1)求證：；(2)若，試猜想與的大小關(guān)系. 如圖（11）簡(jiǎn)析：第（1）小問(wèn)考慮到在沒(méi)有學(xué)習(xí)等腰三角形的時(shí)候，要證明兩個(gè)角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。本題要證明在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結(jié)后，以作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出，進(jìn)而就證明.如果在學(xué)習(xí)等腰三角形的知識(shí)后還可以連結(jié)，通過(guò)說(shuō)明等邊對(duì)等角，再用角的等量代換關(guān)系得到更加簡(jiǎn)單.第（2）小問(wèn)猜想，在連結(jié)證明后，得到，再證明，進(jìn)而證明.如何添加輔助線：

31、方法1添加輔助線，連結(jié)，證明，進(jìn)而.方法2添加輔助線連接，因?yàn)椋?，即，?又因?yàn)椋?故，進(jìn)而.小結(jié)：通過(guò)例7我們初步體會(huì)添加輔助線的必要性，例7的兩個(gè)小問(wèn)的簡(jiǎn)析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺(jué)到問(wèn)題層次的遞進(jìn).特別是例7(1)中如果B、C、D共線的時(shí)候可以得到等邊對(duì)等角的結(jié)論，為第（2）問(wèn)做鋪墊.432轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等例8 如圖，已知是的中線，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且.求證：.圖（12）簡(jiǎn)析：要證，我們可以把線段、轉(zhuǎn)移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有直觀的給出含有、的兩個(gè)全等三角形

32、圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個(gè)含有、的全等三角形也并不是太容易，這時(shí)我們就要重新思考一條出路，想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，這時(shí)能夠把兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，我們只要說(shuō)明轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形后的這兩條線段所對(duì)的角相等就可以了.簡(jiǎn)析：思路1 以為基礎(chǔ)三角形，來(lái)轉(zhuǎn)移線段、，使這兩條線段在中.法一：延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，再證明和全等，可得.通過(guò)證明，就可得到.圖（13）證明：添加輔助線延長(zhǎng)到，使，連結(jié) 是中點(diǎn) 在和中 (SAS) ， 又 法二：可以過(guò)點(diǎn)作平行與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，證明和全等.小結(jié)：對(duì)于含有中線的全等三角形問(wèn)題，可以通過(guò)“倍長(zhǎng)中線”法得到兩個(gè)全等三角形.但是過(guò)一點(diǎn)作己知直線的

33、平行線，可起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到構(gòu)造全等三角形的作用.思路2 以為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段，使、在兩個(gè)全等三角形中.法三：添加輔助線延長(zhǎng)至，使，然后連結(jié)，證明和全等.圖（14）證明：延長(zhǎng)至，使，連結(jié)是中點(diǎn) 在和中 (SAS) 又 法四：過(guò)點(diǎn)作平行與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，證明和全等.小結(jié)：通過(guò)添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會(huì)到添加輔助線目的在于構(gòu)造全等三角形.而從不同途徑來(lái)可以有不同的添加方法，實(shí)際是實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會(huì)構(gòu)造全等三角形在線段轉(zhuǎn)移中的地位.從變換的觀念可以看到，不論是作平行線法還是倍長(zhǎng)中線法，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的三角形旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等.熟悉法一、法三“倍長(zhǎng)中線”法的輔助線

34、所用到的基本圖形“八字型”和“倍長(zhǎng)中線”兩種基本添加輔助線方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過(guò)中點(diǎn)線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.圖（15）433轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系例9如圖，已知是的中線，求證：.簡(jiǎn)析：用例8的輔助線的添加方法，學(xué)會(huì)識(shí)別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關(guān)系的問(wèn)題.、不在同一個(gè)三角形中，如果能將中線倍長(zhǎng)，轉(zhuǎn)移就可在同一個(gè)三角形找出與、相關(guān)的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡(jiǎn)單的解決。圖（16）證明：添加輔助線延長(zhǎng)至，使，連接 是的中線， 在和中， （SAS） 在中，, .5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 例10 （20

35、14年云南省中考題）如圖，在和中，與相交于點(diǎn)，求證：圖（17）簡(jiǎn)析:可以根據(jù)“SAS”證明三角形和三角形全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)可證明 證明：在和中，（SAS）說(shuō)明：本題考查了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件例 11 （2014年曲靖市中考題)如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求證：；（2）已知，求的長(zhǎng).圖（18）簡(jiǎn)析：第（1）問(wèn)在和中，已知有，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對(duì)應(yīng)邊用“SAS”證明全等三角形或者是找一個(gè)對(duì)應(yīng)角用“AA

36、S”證明，這時(shí)就要根據(jù)已知條件去找，哪個(gè)方便就用哪個(gè)，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來(lái)證明.證明：如圖， 又 又， 在和中 （AAS）簡(jiǎn)析：第（2）問(wèn)本題求的長(zhǎng)，從直觀上看不能用簡(jiǎn)便的方法求，可以把放到兩個(gè)相似的三角形中，可以通過(guò)證兩個(gè)相似三角形來(lái)求.解： ， 設(shè)，則 即說(shuō)明：這個(gè)題把全等三角形和相似三角形有機(jī)的結(jié)合在一起考學(xué)生，對(duì)學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行選拔，也對(duì)學(xué)生高要求，它著重強(qiáng)調(diào)全等三角形和相似三角形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生能區(qū)分開(kāi)，這類題型在中考中也算是中難度的題了.例 12 （2013年上海市中考題）如圖，在中， ，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：.圖（19）簡(jiǎn)析：要證，從題目

37、中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉(zhuǎn)化證明平行四邊形再證全等三角形，通過(guò)兩對(duì)邊分別平行的性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，然后把邊和放在和中，證明這兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而就可以證明. 證明：，四邊形是平行四邊形,和是直角三角形又是直角三角形，且為的中點(diǎn)在和中(HL)說(shuō)明：幾何圖形之間線段與角的關(guān)系是有聯(lián)系的，但是要對(duì)每個(gè)圖形的性質(zhì)掌握，才能搭起橋梁，建立關(guān)系.例13 (2012年云南省中考題)如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).求證.圖（20）簡(jiǎn)析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒(méi)有明確給出斜邊，所以我們要另謀出路，根據(jù)，用“AAS”來(lái)證明.證明

38、：又在和中(AAS)說(shuō)明：證明全等三角形的方法有多種，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件去找邊與邊、角與角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例 14（2011福建福州中考題）如圖，于點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),且.求證.圖（21）簡(jiǎn)析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒(méi)有明確給出斜邊，題目中還有一個(gè)隱含的條件對(duì)頂角,所以我們可以選擇用“ASA”來(lái)證明和全等.證明:， 在和中 (ASA) 說(shuō)明：在做幾何圖形的題目時(shí)，即要抓住它給的每個(gè)已知條件，又要從題目或圖形中挖掘出隱含的條件，這鍛煉我們的發(fā)現(xiàn)思維和綜合應(yīng)用能力.6 結(jié)論61主要發(fā)現(xiàn)全等三角形的證明問(wèn)題，就其方法而言，沒(méi)有定法可套，有較大的靈

39、活性和技巧性而且全等三角形證明歷來(lái)是中學(xué)、特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類全等三角形的證明方法如若學(xué)生在掌握全等三角形的基礎(chǔ)知識(shí)以后，能夠靈活應(yīng)用文中幾類方法和思想，以其為指導(dǎo)，全等三角形問(wèn)題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問(wèn)題時(shí)思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)便尤其是應(yīng)用構(gòu)造法，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，在解決一些全等三角形問(wèn)題時(shí)作用很大62 啟示從文中可以看出在處理全等三角形問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用這些思想與方法，則會(huì)取得事半功倍的效果教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時(shí)，應(yīng)該高度重視全等三角形方法的挖掘和滲透，重視理論和實(shí)踐的結(jié)合，讓學(xué)生切實(shí)領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用的意識(shí)同時(shí)學(xué)生在解題

40、和學(xué)習(xí)的過(guò)程中也應(yīng)認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納證明全等三角形的數(shù)學(xué)思想方法63局限性本文把理論和實(shí)踐相結(jié)合，歸納了幾類全等三角形證明的方法在解題中的應(yīng)用，其中主要工作屬歸結(jié)概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知識(shí)體系間尋求“交匯”跨度大、難度高，不易發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)聯(lián)系；二是由于本文整理歸納了較多全等三角形的證明方法和數(shù)學(xué)思想，多則不精，廣而不深 64努力方向全等三角形的證明方法種類繁多，不同知識(shí)體系間的跨度大、難度高在教學(xué)實(shí)踐中，并不是短時(shí)間可以全部學(xué)習(xí)掌握的，需要長(zhǎng)期學(xué)習(xí)并積累，而對(duì)于全等三角形的證明方法新的研究與發(fā)展，則要在大量的實(shí)踐中不斷摸索參考文獻(xiàn)1 劉建東. J. 數(shù)理化解題研究(初中版)

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