《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱課程名稱數(shù)學(xué)分析/Mathematical Analysis課程編碼10000300110課程類型學(xué)科基礎(chǔ)課課程性質(zhì)專業(yè)基礎(chǔ)課適用范圍信息安全專業(yè)學(xué)分?jǐn)?shù)13先修課程初等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)234 實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐學(xué)時(shí)無課外學(xué)時(shí)無考核方式考試 （10000300210、10000300310）一、教學(xué)大綱說明 （一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁。本課程所占學(xué)分多，跨度大（計(jì)劃共四個(gè)學(xué)期），是一門內(nèi)容豐富而整體性強(qiáng)、思想深刻而方法基本的課程，以經(jīng)典微積分為主體內(nèi)容，其中，極限的思想貫穿全課程，它不僅為許多后

2、繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，而且對全面培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力起著十分重要的作用。本課程的任務(wù)是使學(xué)生系統(tǒng)地掌握極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的知識(shí)，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)的邏輯性，嚴(yán)密性方面的嚴(yán)格訓(xùn)練，使學(xué)生掌握近代數(shù)學(xué)的方法、技巧，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)乃至畢業(yè)后能勝任相應(yīng)的實(shí)際工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（二）教學(xué)目的和要求本課程教學(xué)目的是通過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論知識(shí)，初步掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與方法，使學(xué)生具備靈活、快捷的運(yùn)算能力與技巧，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維能力與推理論證能力，簡潔、清晰運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)

3、和語言的表達(dá)能力，提高建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用微積分這一工具解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力。在教學(xué)基本要求上分為三個(gè)檔次，即了解、理解和掌握。1、掌握能聯(lián)系幾何與物理的直觀背景，從正反兩方面理解基本概念；熟練運(yùn)用基本理論較進(jìn)行推理論證和分析問題；熟練運(yùn)用基本方法、靈活運(yùn)用基本技巧進(jìn)行運(yùn)算和解決應(yīng)用問題。包括實(shí)數(shù)與函數(shù)、各類極限、連續(xù)、（偏）導(dǎo)數(shù)、（全）微分、各類積分、級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、冪級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用。2、理解能從正面理解基本概念；能應(yīng)用和了解如何證明基本理論；能掌握基本方法解決問題，但不要求很熟練和技巧性。包括泰勒公式、函數(shù)圖像的討論、實(shí)數(shù)完備性基本定理的內(nèi)容、一般有理函數(shù)的不定積

4、分及萬能變換、歐拉變換、傅里葉級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)、計(jì)算與應(yīng)用、高斯公式、斯托克斯公式。3、了解要求能應(yīng)用基本理論，不要求掌握證明方法；對基本方法一般要求會(huì)做，不要求靈活技巧。包括各類近似計(jì)算問題、實(shí)數(shù)完備性基本定理的證明及應(yīng)用、上、下極限問題、可積性理論及積分在物理中的應(yīng)用、隱函數(shù)定理的證明、各類斂散問題中的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的拉貝判別法，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理的證明、n重積分與反常二重積分、復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式、場論初步，流形上的微積分。（注：課文中打*號(hào)的章節(jié)均為選講內(nèi)容）。（三）課程教學(xué)方法與手段本課程的教學(xué)以課堂教學(xué)為主，輔以習(xí)題練習(xí)與自學(xué)?；緝?nèi)容由老師講授，通

5、過習(xí)題課鞏固，其余部分主要是*號(hào)部分由學(xué)生自學(xué)提高。由于本課程具有強(qiáng)烈的幾何背景，結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo)，教學(xué)過程可恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代教育技術(shù)手段，把傳統(tǒng)的板書與現(xiàn)代化手段相結(jié)合，重要的定理、圖表、圖像制成多媒體，利用黑板進(jìn)行問題分析與推理。另外由于本課程與數(shù)學(xué)應(yīng)用聯(lián)系密切，課程的教學(xué)中可適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)內(nèi)容，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法來解決各種實(shí)際問題的能力。（四）課程與其它課程的聯(lián)系數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁。因此要學(xué)習(xí)本課程，需先修初等數(shù)學(xué)，而本課程的多元微積分部分需運(yùn)用空間平面、直線等有關(guān)知識(shí)，故需先修空間解析幾何知識(shí)。而后

6、繼課程包括：常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、點(diǎn)集拓?fù)?、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、物理學(xué)及其他應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)課程。（五）教材與教學(xué)參考書教材：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第三版）（上、下冊），高等教育出版社，2001年教學(xué)參考書：1、陳紀(jì)修，數(shù)學(xué)分析（第二版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年2、鄧東皋、尹小玲，數(shù)學(xué)分析簡明教程（第2版）（上、下冊），高等教育出版社，2006年3、菲赫金哥爾茨，微積分學(xué)教程（第1卷）（第8版）、微積分學(xué)教程（第2卷）（第8 版）、微積分學(xué)教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、吳良森、毛羽輝等，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版

7、社，2006年5、裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第2版），高等教育出版社，2006年二、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)教學(xué)內(nèi)容：實(shí)數(shù)集的有關(guān)概念及性質(zhì)，確界概念與確界原理，函數(shù)相關(guān)問題。重點(diǎn)：三角形不等式，鄰域，有界集，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)，函數(shù)的有界性、單調(diào)性及奇偶性。難點(diǎn)：上、下確界概念及確界原理。第二章 數(shù)列極限教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，數(shù)列極限存在條件。重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義與幾何意義，收斂、發(fā)散數(shù)列與無窮小數(shù)列、收斂數(shù)列性質(zhì)。單調(diào)數(shù)列概念，單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則的內(nèi)容，數(shù)列極限的求法，。難點(diǎn)：利用-定義和柯西收斂準(zhǔn)則證明數(shù)列的斂散性，子列的概念。第三章

8、 函數(shù)極限教學(xué)內(nèi)容：各類函數(shù)極限的概念與性質(zhì)、函數(shù)極限的存在性，兩個(gè)重要極限，無窮量及階的比較，曲線的漸近線。重點(diǎn)：三十五種函數(shù)極限（含數(shù)列極限及無窮大、無窮?。┑母拍钆c關(guān)系，六種類型（x、）函數(shù)極限定義的運(yùn)用和性質(zhì)，歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則的內(nèi)容，兩個(gè)重要極限及函數(shù)極限的求法，等價(jià)無窮小與高階無窮小。難點(diǎn)：利用定義或柯西準(zhǔn)則證明函數(shù)極限的存在性，歸結(jié)原則的運(yùn)用。第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的連續(xù)與間斷，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。（注：一致連續(xù)性可以選講）重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與左、右連續(xù)概念，間斷點(diǎn)及分類，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

9、性、有界性、介值性、根的存在性與一致連續(xù)性定理的內(nèi)容，初等函數(shù)的連續(xù)性及在求極限中應(yīng)用。難點(diǎn)：間斷點(diǎn)的分類，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一致連續(xù)的概念與運(yùn)用。第五章 導(dǎo)數(shù)和微分教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則與公式、各類型函數(shù)的求導(dǎo)（含高階導(dǎo)數(shù)）法，函數(shù)極值的概念與費(fèi)馬定理，微分與高價(jià)微分概念與性質(zhì)及應(yīng)用。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，求導(dǎo)法則與公式及求導(dǎo)法，函數(shù)極值與費(fèi)馬定理，微分概念與性質(zhì)，可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系。難點(diǎn)：極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別，微分的概念。第六章 微分中值定理及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：三個(gè)微分中值定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不定式極限、泰勒公式，函數(shù)的極值與最值的求法，函數(shù)的

10、凹凸性及函數(shù)的作圖。重點(diǎn)：三個(gè)微分中值定理，特別是拉格朗日中值定理及推論1、2的內(nèi)容，函數(shù)單調(diào)性與凹凸性的判定，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式與恆等式，不定式極限求法、函數(shù)的極值與最值的求法及應(yīng)用。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)極限定理與泰勒公式。第七章 實(shí)數(shù)的完備性、教學(xué)內(nèi)容：區(qū)間套、點(diǎn)集聚點(diǎn)與開覆蓋的概念與性質(zhì)，實(shí)數(shù)完備性七個(gè)基本定理及應(yīng)用。重點(diǎn)：區(qū)間套、點(diǎn)集聚點(diǎn)與開覆蓋概念的概念、實(shí)數(shù)完備性七個(gè)基本定理的內(nèi)容。難點(diǎn)：聚點(diǎn)與開覆蓋的概念，有限覆蓋定理。第八章 不定積分教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的求法、重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念，利用換元積分法與分部積分法求不定積分，常用的簡單的有理函數(shù)、三角函數(shù)的

11、不定積分。難點(diǎn)：有理函數(shù)的部分分式分解以及不定積分的求法。第九章 定積分教學(xué)內(nèi)容：定積分的概念與性質(zhì)，（注：積分第二中值定理不作要求），三類可積函數(shù)，變限積分的概念，微積分學(xué)基本定理與牛頓萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法。重點(diǎn)：定積分的概念、幾何意義與主要性質(zhì)，可積性與有界性的關(guān)系，三類可積函數(shù)，變限積分的概念，微積分學(xué)基本定理與牛頓萊布尼茨公式，定積分的計(jì)算。難點(diǎn)：定積分的概念與性質(zhì)。第十章 定積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：定積分在幾何與物理方面的應(yīng)用。（注：其中平面曲線弧長與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面面積及定積分在物理中的某些應(yīng)用可選講）重點(diǎn)：用定積分計(jì)算各種形式平面圖形面積，已知截面面積函數(shù)求立體

12、體積和旋轉(zhuǎn)體的體積。第十一章 反常積分教學(xué)內(nèi)容：無窮積分與瑕積分?jǐn)可⑿缘母拍?、關(guān)系、性質(zhì)與判別。絕對收斂性與條件收斂性，混合型反常積分?jǐn)可⒌呐袆e。（注：其中狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容。）重點(diǎn)：無窮積分?jǐn)可⑿缘母拍?、常用的收斂與發(fā)散的無窮積分。無窮積分的比較判別法與柯西判別法。難點(diǎn)：應(yīng)用狄利克雷判別法與阿貝爾判別法判別條件收斂反常積分。第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：級(jí)數(shù)斂散性的概念與性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別，一般級(jí)數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念與判別，（注：級(jí)數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容，絕對收斂級(jí)數(shù)的兩亇重要性質(zhì)可選講）。重點(diǎn)：級(jí)數(shù)斂散性概念，級(jí)數(shù)收斂的必要

13、條件，常見可求和級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的比較判別法、比式與根式判別法，p級(jí)數(shù)的斂散性，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨判別法。難點(diǎn)：狄利克雷判別法與阿貝爾判別法第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念、判別。（其中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容）。重點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的M判別法。難點(diǎn)：一致收斂性的概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法。第十四章 冪級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在x處的冪級(jí)數(shù)展開。重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)，利用

14、逐項(xiàng)積分與求導(dǎo)法求某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，重要函數(shù)：，的冪級(jí)數(shù)展開式及用間接方法將其它函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。難點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間端點(diǎn)處的性質(zhì)。第十五章 傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：正交函數(shù)系與三角級(jí)數(shù)，函數(shù)展開成各類型的傅里葉級(jí)數(shù)及其收斂性。重點(diǎn)：函數(shù)在區(qū)間上展開成傅里葉級(jí)數(shù)與在上展開成正、余弦級(jí)數(shù)及其收斂情況。難點(diǎn)：函數(shù)在在上展開成正、余弦級(jí)數(shù)。 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)教學(xué)內(nèi)容：R空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，二元函數(shù)與多元函數(shù)，二重極限與累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點(diǎn)：鄰域與區(qū)域的概念，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的極限求法與不存在的證明，重極限與累次極限的關(guān)系。難點(diǎn)：R空間的拓?fù)?/p>

15、結(jié)構(gòu)，二元函數(shù)的極限概念與求法。第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：多元函數(shù)可微性與全微分，偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t、方向?qū)?shù)與梯度，二元函數(shù)的極值問題，多元函數(shù)的最值問題。重點(diǎn)：二元函數(shù)可微性與全微分概念及一階全微分形式不變性。二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及求法（特別是利用鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)）、方向?qū)?shù)的概念與求法，梯度的概念及意義。二元函數(shù)的極值與判定，曲面的切平面與法線。難點(diǎn)：全微分概念與可微性判定，利用鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。第十八章 隱函數(shù)定理及應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念、存在性與求（偏）導(dǎo)法，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法

16、平面，曲面的切平面與法線，條件極值問題。重點(diǎn)：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的存在條件與求（偏）導(dǎo)法，雅可比行列式，平面曲線的切線與法線，曲面的切平面與法線，用拉格朗日乘數(shù)法解條件極值問題。難點(diǎn)：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換的關(guān)系，條件極值的概念。第十九章 含參量積分教學(xué)內(nèi)容：含參量正常積分、含參量反常積分的概念，含參量反常積分的性質(zhì)，歐拉積分。重點(diǎn)：含參量正常積分的概念與性質(zhì)，累次積分概念，含參量反常積分的性質(zhì)，函數(shù)概念及主要性質(zhì)（定義域、可導(dǎo)性、遞推公式、（），B函數(shù)的概念及定義域，函數(shù)與B函數(shù)關(guān)系。難點(diǎn)：累次積分概念以及兩個(gè)無窮限累次積分的次序交換。 第二十章 曲線積

17、分教學(xué)內(nèi)容：第一型曲線積分概念與計(jì)算，第二型曲線積分概念與計(jì)算。重點(diǎn)：第二型曲線積分的方向性，兩型曲線積分的計(jì)算。難點(diǎn)：第二型曲線積分的概念第二十一章 重積分教學(xué)內(nèi)容：二重積分，三重積分，格林公式，曲線積分與路線無關(guān)性。重點(diǎn)：二重積分的幾何意義，直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，二重積分的變量變換（主要為線性變換，極坐標(biāo)變換），格林公式，曲線積分與路線無關(guān)性，三重積分化為累次積分計(jì)算，三重積分的換元法（主要為：柱面變換，球坐標(biāo)變換）。難點(diǎn)：三重積分的換元法。第二十二章 曲面積分教學(xué)內(nèi)容：第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式與斯托克斯公式。重點(diǎn)：第二型曲面積分的方向性、型積分的計(jì)算。難點(diǎn)：第二型曲面積分的概念與計(jì)算，高斯公式、斯托克斯公式。三、建議學(xué)時(shí)分配第一學(xué)期教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配采用何種多媒體教學(xué)手段章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)一實(shí)數(shù)集與函數(shù)628部分內(nèi)容采用PPT二數(shù)列極限8210同上三函數(shù)極限102214同上四函數(shù)的連續(xù)性8210同上五導(dǎo)數(shù)和微分12214同上六微分中值定理及其應(yīng)用14216同上合計(jì)5812272第二學(xué)期教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配采用何種多媒體教學(xué)手段章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)七實(shí)數(shù)的完備性426部分內(nèi)