思維特訓(xùn)(十二)　全等與相似的綜合應(yīng)用

1、.思維特訓(xùn)十二全等與相似的綜合應(yīng)用形狀一樣的兩個(gè)圖形稱為相似圖形假設(shè)兩個(gè)圖形不僅形狀一樣，而且大小也相等，那么二者是全等圖形全等是相似的特殊情況，全等圖形可以看作是相似比為1的特殊的相似圖形證明全等的方法有“SSS“SAS“ASA“AAS“HL，證明相似的方法有“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似等類型一與相似有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題1如圖12S1，在ABC中，ABBC，ABC90，BM是AC邊上的中線，點(diǎn)D，E分別在邊AC和BC上，DBDE，EFAC于點(diǎn)F，有以下結(jié)論：1DBMCDE；2SBDES四邊形BMFE；3CDENBNBD；4A

2、C2DF.其中正確的結(jié)論有A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)圖12S12如圖12S2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE.以下結(jié)論中：CEBD；ADC是等腰直角三角形；ADBAEB；CDAEEFCG.其中一定正確的有圖12S2A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3如圖12S3，菱形ABCD中，ABAC，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且AEBF，連接CE，AF交于點(diǎn)H，那么以下結(jié)論：ABFCAE；AHC120；AEHCEA；AEADAHAF.其中正確的結(jié)論有圖12S3A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)類型二全等

3、三角形與相似三角形的綜合4ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的頂點(diǎn)E與ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.1如圖12S4，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且APAQ時(shí)，求證：BPECQE.2如圖12S4，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：BPECEQ；并求當(dāng)BP2，CQ9時(shí)BC的長(zhǎng)圖12S45在AOB中，C，D分別是邊OA，OB上的點(diǎn)，將OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OCD的位置1如圖12S5，假設(shè)AOB90，OAOB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，求證：ACBD；ACBD.2如圖，假設(shè)AOB為

4、任意三角形且AOB，CDAB，AC與BD相交于點(diǎn)E，猜測(cè)AEB是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由圖12S562019襄陽(yáng) 如圖12S6，在ABC中，ACB90，CD是中線，ACBC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC，BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，DF與AC相交于點(diǎn)M，DE與BC相交于點(diǎn)N.1如圖，假設(shè)CECF，求證：DEDF.2如圖，在EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中：探究線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；假設(shè)CE4，CF2，求DN的長(zhǎng)圖12S67如圖12S7，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接GA

5、，GB，GC，GD，EF.假設(shè)AGDBGC.1求證：ADBC；2求證：AGDEGF；3如圖，假設(shè)AD，BC所在直線互相垂直，求的值圖12S7類型三與全等、相似三角形有關(guān)的探究型問(wèn)題8在ABC中，ACB90，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線l不與直線AB重合與直線BC的夾角DBCABC，分別過(guò)點(diǎn)C，A作直線l的垂線，垂足分別為D，E.1問(wèn)題發(fā)現(xiàn)假設(shè)ABC30，如圖，那么_；假設(shè)ABC45，如圖，那么_2拓展探究當(dāng)0ABC90，的值有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖的情形給出證明3問(wèn)題解決隨著ABC位置的變化，假設(shè)直線CE，AB相交于點(diǎn)F，且，CD4，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)圖12S8詳解詳析1C解析 DBDE，DBEDEB，DBM

6、MBCCDEC.ABBC，ABC90，BM是AC邊上的中線，C45，BMAC，MBCC45，DBMCDE，故1正確；DBMCDE，DMBEFD，DBDE，BMDDFE，SBMDSDFE，S四邊形BDFESDFES四邊形BDFESBMD，SBDES四邊形BMFE.故2錯(cuò)誤；DBCBEN，DCBEBN，BCDEBN，CDENBNBD.故3正確；BMDDFE，BMDF.又ABC90，BM是AC邊上的中線，BMAC，AC2DF.故4正確應(yīng)選C.2D解析 利用SAS證明CAEBAD，可得到CEBD；利用平行四邊形的性質(zhì)可得AECD，再結(jié)合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS證明

7、BADBAE可得到ADBAEB；利用得出GFDAFE，結(jié)合得GDFGFD90.由平行四邊形的性質(zhì)得GCDAEF，進(jìn)而得出CGDEAF，得出比例式3D解析 由菱形ABCD中，ABAC，易證得ABC是等邊三角形，那么可得BEAC60，由SAS即可證得ABFCAE，那么可得BAFACE；利用三角形外角的性質(zhì)，即可求得AHC120；由BAFACE，AECAEC，推出AEHCEA；在菱形ABCD中，ADAB，由于AEHCEA，ABFCAE，于是AEHAFB，得到AEADAHAF.4解：1證明：ABC是等腰直角三角形，BC45，ABAC.APAQ，BPCQ.E是BC的中點(diǎn)，BECE.在BPE和CQE中，B

8、ECE，BC，BPCQ，BPECQESAS2證明：ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BCDEF45.BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，BPECEQ，.BP2，CQ9，BECE，BE218，BECE3，BC6.5解：1證明：OCD旋轉(zhuǎn)到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.OAOB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，OCOD，OCOD.在AOC和BOD中，OAOB，AOCBOD，OCOD，AOCBODSAS，ACBD.延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，交BO于點(diǎn)F，如下圖AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，OACAFO90，OBDBFE90，BEA9

9、0，ACBD.2AEB成立，理由如下：設(shè)AC交BO于點(diǎn)F.OCD旋轉(zhuǎn)得到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.CDAB，即.又AOCBOD，AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，AEBAOB.6解：1證明：ACB90，ACBC，ADBD，BCDACD45，BCEACF90，DCEDCF135.在DCE和DCF中，CECF，DCEDCF，CDCD，DCEDCF，DEDF.2AB24CECF.理由：DCFDCE135，CDFF18013545.又CDFCDE45，F(xiàn)CDE，CDFCED，即CD2CECF.ACB90，ACBC，ADBD，CDAB，AB24CECF.如圖，過(guò)點(diǎn)D作DGBC于

10、點(diǎn)G，那么DGNECN90，CGDG.當(dāng)CE4，CF2時(shí)，由CD2CECF得CD2.在RtDCG中，CGDG2.ECNDGN，ENCDNG，CENGDN，2，GNCG，DN.7解：1證明：GE是AB的垂直平分線，GAGB.同理GDGC.在AGD和BGC中，GAGB，AGDBGC，GDGC，AGDBGC，ADBC.2證明：AGDBGC，AGBDGC.由1知AGDBGC，得.在AGB和DGC中，AGBDGC，AGBDGC，即.又易知AGEDGF，AGDEGF，AGDEGF.3如圖，延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，那么AHBH.由AGDBGC，得GADGBC.在GAM和HBM中，GADG

11、BC，GMAHMB，AGBAHB90，AGEAGB45，.又AGDEGF，.8解：1如圖，CDBD，CDB90.DBCABC30，CDBC.在ABC和BAE中，ACBAEB90，BAEABC30，ABBA，ABCBAEAAS，BCAE，CDAE，.如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F，ABC45，ACB90，ACB是等腰直角三角形CBD45，ABD90.又AEBD，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，EFAE.CDBD，四邊形CDEF為矩形，EFCD，CDAE，.2的值無(wú)變化理由：如圖，延長(zhǎng)AC與直線l交于點(diǎn)G，ACB90，DBCABC，AGBBAG，BABG.又BCAG，C是AG的中點(diǎn)AEl，CDl，CDAE，GCDGAE，.3分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CGl交AE于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G，DBCHCB.DBCCBF，CBFHCB，CGBG.ACB90，CAGCBFHCBACG90，ACGCAG，CGAGBG.CGl，CFGEFB，.設(shè)CG5x，BE6x，那么AB10x.AEB90，AE8x，由2得AE